资源简介

30.1.2 圆的切线（第1课时）教学设计
课题 30.1.2 圆的切线 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点作圆的切线，会运用切线的判定定理和性质定理解决问题； （2）经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成既能自主探究、又能合作探究的良好学习习惯； （3）体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性。
教学重点 理解切线的判定定理与性质定理，会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题。
教学难点 切线的判定定理和性质的应用（分清判定定理与性质定理的条件和结论）。
教学方法 情境教学法、启发探究法、动手操作、合作交流、反证法渗透 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、量角器
课后练习 必做：课本习题30.1第3、4、6题；探究性作业：课本习题30.1第9、10题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：直线和圆的位置关系及其对应的公共点个数、d 与 r 的关系。 ①相交 dr 2 个公共点，直线叫割线；②相切 dr 1 个公共点，直线叫切线，公共点叫切点；③相离 dr 0 个公共点。 教师过渡：当直线与圆相切时，这条直线叫圆的切线。怎样判定一条直线是圆的切线？圆的切线又有什么性质？这就是本节课研究的内容（板书课题）。 （设计意图：复习直线与圆的位置关系及 d 与 r 的对应，激活认知起点，为探究切线的判定与性质做好铺垫。） 回顾直线与圆三种位置关系及其 d 与 r、交点个数的对应，思考怎样判定一条直线是切线。 以旧引新，由位置关系的数量刻画自然过渡到切线的判定与性质。
二、探究点1
切线的判定方法 【探究点1】切线的判定方法 问题情境：转动雨伞时飞出的雨滴、用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 它们都是沿着圆的切线的方向飞出的。 追问1：如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 与⊙O 的位置关系是什么？ 由切线的概念及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”知：此时圆心 O 到直线 l 的距离就是半径 r，由 d=r 可知直线 l 是⊙O 的切线。 追问2：已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据切线的定义过点 A 作⊙O 的切线？圆心 O 到直线 AB 的距离与半径有什么数量关系？ 连接 OA，过 A 点作直线 BC⊥OA，则 BC 为⊙O 过点 A 的切线；圆心 O 到直线 BC 的距离等于圆的半径。 归纳：切线的判定定理——经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 追问3：切线判定定理如何用符号语言表示？ ∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于 A，　∴ BC 为⊙O 的切线。 追问4：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么。 （1）不是，因为没有垂直；（2）不是，因为没有经过半径的外端点；（3）不是，因为既不垂直也未经过半径外端。判定定理中“经过半径的外端”“垂直于这条半径”两个条件缺一不可。 追问5：判断一条直线是圆的切线有哪些方法？ 有三种方法： ①定义法：直线和圆只有一个公共点时，这条直线是圆的切线； ②数量关系法：圆心到直线的距离等于半径（即 dr）时，直线与圆相切； ③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 归纳：证切线时辅助线的添加方法——（1）有交点，连半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径。 （设计意图：通过生活实际与动手画图探究切线的判定定理，归纳判定切线的三种方法与辅助线添加口诀。） 观察雨滴、火花沿切线方向飞出；画过半径外端垂直于半径的直线，归纳判定定理与三种判定方法。 以实际情境与动手操作探究切线判定定理，渗透数形结合，突破判定方法的选择。
三、典型例题
例1（等腰△证切线） 【典型例题】例1（等腰三角形证切线） 例1　已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA=OB，CA=CB。求证：直线 AB 是⊙O 的切线。 【分析】直线 AB 经过⊙O 上的点 C（有交点），连接 OC，只需证明 OC⊥AB。 【详解】证明：连接 OC。∵ OA=OB，CA=CB，　∴ OC 是等腰三角形 OAB 底边 AB 上的中线；又三角形三线合一，　∴ AB⊥OC。∵ OC 是⊙O 的半径，　∴ AB 是⊙O 的切线。 答：直线 AB 是⊙O 的切线（证毕）。 【讲评要点】已知直线过圆上一点，用“连半径，证垂直”：连接 OC，利用等腰三角形“三线合一”证 OC⊥AB。 （设计意图：巩固切线的判定定理，体会“有交点，连半径，证垂直”的辅助线策略。） 连接OC，由等腰三角形三线合一证OC⊥AB，据判定定理得AB为切线。 以例1落实“连半径证垂直”的切线判定应用，强化规范证明书写。
四、探究点2
切线的性质 【探究点2】切线的性质 问题：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ （活动方法：师生共同分析，直接证明比较困难，可通过反证法证明。） 追问1：用反证法先要提出结论相反的假设，怎样提出？怎样证明？ 假设 OA 与 l 不垂直，过点 O 作 OM⊥l，垂足为 M。由垂线段最短知 OM五、典型例题
例2、例3 【典型例题】例2（等腰△证AC是切线） 例2　△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D。求证：AC 是⊙O 的切线。 【分析】要证 AC 是切线，直线 AC 与圆的公共点不确定（无交点），由判定用“作垂直，证半径”：过点 O 作 OE⊥AC，只需证 OE=OD（OD 为半径）。 【详解】过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD、OA。∵ ⊙O 与 AB 相切于点 D，　∴ OD⊥AB。又 △ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，　∴ AO 是 ∠BAC 的平分线，　∴ OEOD，即 OE 是⊙O 的半径。　∴ AC 经过半径 OE 的外端 E 且垂直于 OE，　∴ AC 与⊙O 相切。 答：AC 是⊙O 的切线（证毕）。 【讲评要点】切线公共点不确定时用“作垂直，证半径”：由角平分线性质把证半径转化为证 OE=OD。 【典型例题】例3（综合题·直径＋角平分线证切线） 例3　如图：AB 为⊙O 的直径，射线 CM 交⊙O 于点 D，BD 平分∠ABC，过点 D 作 EF⊥CM 于点 E，交 AB 的延长线于点 F，连接 AD。（原题第(2)问还涉及求线段长） 【方法引导】（1）证切线：直线过圆上一点 D（有交点），用“连半径，证垂直”——连接 OD。由 OA=OD 得∠2=∠3，由 BD 平分∠ABC 得∠1=∠2，故∠1=∠3，从而 OD∥BC；再由 EF⊥BC 得 OD⊥EF，所以直线 EF 是⊙O 的切线。 （2）求线段长：第(2)问需结合角平分线、平行线传递出的角相等关系，用三角形内角和、等边对等角及勾股定理列式求解。 【讲评要点】“直径+角平分线”往往隐藏角相等与平行：由角平分线传递相等角并结合半径相等（等边对等角）推出平行，再由垂直关系证切线。这是中考常考通法。 （设计意图：通过例2、例3综合运用切线的判定与性质，体会“连半径证垂直”与“作垂直证半径”两种辅助线策略。） 例2由角平分线性质证OE=OD（作垂直证半径）；例3连接OD，由角平分线+等边对等角证OD∥BC、OD⊥EF得切线。 以例2、例3落实两种证切线辅助线策略，突破切线的判定与性质综合应用。
六、课本练习
当堂巩固 【课本练习】当堂巩固 1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB。求证：AT 是⊙O 的切线。 【详解】在△ABT 中，由 ∠ABT=45° 及 AT=AB 可知 ∠T=∠ABT=45°，从而 ∠BAT=180° 45° 45°=90°，即 AT⊥AB 于 A。∵ AB 是半径（直径）AB 的外端，　∴ AT 是⊙O 的切线。 2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线 l1、l2 与⊙O 相切，A、B 是切点。l1 与 l2 有怎样的位置关系？证明你的结论。 【详解】由切线的性质知 l1⊥AB、l2⊥AB，垂直于同一条直线的两条直线平行，故 l1∥l2。 （设计意图：学完新知识后及时课堂巩固，强化切线判定与性质的运用，反馈学情、查漏补缺。） 练习1由等边对等角与内角和证∠BAT=90°得AT为切线；练习2由切线垂直于半径证l1∥l2。 通过基础课堂练习即时巩固切线判定与性质，当堂反馈、查漏补缺。
七、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·安徽）如图，AB 是⊙O 的弦，PB 与⊙O 相切于点 B，圆心 O 在线段 PA 上。已知 ∠P=50°，则 ∠PAB 的大小为______°。 【详解】连接 OB。∵ PB 与⊙O 相切于点 B，　∴ PB⊥OB，∠OBP90°。∴ ∠POB=90° ∠P=90° 50°=40°。又 OA=OB，　∴ ∠PAB=∠ABO=∠POB=。故答案为 20。 2．（2025·湖南）如图，△ABC 的顶点 A、C 在⊙O 上，圆心 O 在边 AB 上，∠ACB=120°，BC 与⊙O 相切于点 C，连接 OC。（1）求 ∠ACO 的度数；（2）求证：AC=BC。 【详解】（1）∵ BC 与⊙O 相切于点 C，　∴ OC⊥CB，∠OCB90°。　∴ ∠ACO=∠ACB ∠OCB=120° 90°=30°。 （2）∵ OAOC，　∴ ∠A=∠ACO=30°。故 ∠B=180° ∠A ∠ACB=180° 120° 30°=30°，　∴ ∠A=∠B，　∴ ACBC。 3．（综合压轴·方法点拨）关于“关联点（领域点）”的动态综合题，解题关键在于：把“点 P 是关联点”转化为直线（或线段）与圆的位置关系——当直线与圆相切或相交时，圆心到直线的距离 d 与半径 r 满足 d=r 或 d八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2．判定直线是切线的三种方法：定义法（1 个公共点）；数量关系法（d=r）；判定定理（连半径、证垂直）。 3．证切线时辅助线的添加：（1）有交点，连半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径。 4．切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；切线与圆只有一个公共点，圆心到切线的距离等于半径等五条性质。 5．有切线时常用辅助线：见切点，连半径，得垂直。 （设计意图：系统梳理切线的判定与性质，突出两种辅助线口诀，形成判定与性质的知识网络。） 回顾判定定理、三种判定方法、性质定理与辅助线口诀“连半径证垂直/作垂直证半径”。 结构化梳理切线判定与性质，帮助学生形成“判定一致、性质多样”的清晰认知。
板书设计
30.1.2 圆的切线（第1课时） 一、切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 符号：OA为半径，BC⊥OA于A → BC是切线 二、判定三种方法 1. 定义法：只有1个公共点 2. 数量关系法：dr 3. 判定定理：连半径、证垂直 三、辅助线口诀 有交点：连半径，证垂直 无交点：作垂直，证半径 四、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 见切点：连半径，得垂直 例1、例2、例3、真题板演 学生板演区
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