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30.1.2 圆的切线（第2课时·切线长定理）教学设计
课题 30.1.2 圆的切线（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算； （2）在运用切线长定理解题的过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题； （3）在探究切线长定理的过程中体会圆的轴对称性，感受数学探究的乐趣与成功的体验，建立自信心。
教学重点 理解切线长定理（切线长相等；圆心与这一点的连线平分两切线的夹角）。
教学难点 切线长定理及其应用（切线长定理的证明、与等腰三角形及垂径定理的综合运用）。
教学方法 观察实验法、启发探究法、动手操作、合作交流 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、白纸
课后练习 必做：课本习题30.1第2、5、7题；探究性作业：课本习题30.1第8、11题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景
引入新课 【创设情景，引入新课】 复习：切线的三种判定方法。 ①定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②数量法：到圆心的距离等于圆的半径（d=r）的直线是圆的切线；③判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 教师过渡：我们已经知道切线是直线，是无限长的、无法度量。那么怎样用“长度”来刻画切线的某些特性呢？这就需要引入“切线长”的概念，并研究它的规律（板书课题）。 （设计意图：复习切线的三种判定方法，激活认知起点，由“切线不可度量”自然引出切线长的概念。） 回顾切线判定三方法，思考怎样用“线段长”刻画切线的特性。 以旧引新，由切线的不可度量引出切线长的概念，为探究切线长定理做铺垫。
二、探究点1
切线长的定义 【探究点1】切线长的定义 追问1：如何过圆上一点作已知圆的切线？ 连接 OA，过 A 作 l⊥OA，则直线 l 为⊙O 的切线。 追问2：如果点 P 是圆外一点，又怎样作该圆的切线呢？过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 连接 PO，作 PO 的中点 A（用尺规作中垂线找中点），以 A 为圆心、PA 为半径作圆，圆 A 交⊙O 于 M、N 两点，连接 PM、PN，则 PM、PN 即为⊙O 的切线。过圆外一点可以作两条直线与⊙O 相切。 追问3：什么是切线长？ 切线上一点到切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。 追问4：切线长与切线有什么区别？ 切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 （设计意图：通过作圆上、圆外一点的切线，抽象归纳出切线长的概念，明确切线与切线长的区别。） 动手作圆上、圆外一点的切线，口答切线长定义，辨析切线与切线长的区别。 以作图操作探究切线长的概念，突出“一条线段的长”，为切线长定理奠基。
三、典型例题
例1（铁环半径） 【典型例题】例1（铁环半径） 例1　为了测量一个圆形铁环的半径，某同学将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据。若三角板与圆相切且测得 PA=5cm，求铁环的半径。 【分析】设铁环圆心为 O，连 OP、OA，由切线性质知 Rt△OPA 中 ∠A=90°；用勾股定理即可求半径 OP。 【详解】连接 OP、OA。∵ AP 与圆相切，　∴ OP⊥PA。又 OA 平分 ∠PAQ，∠BAC=60°，　∴ ∠PAQ=120°，∠PAO=∠QAO=60°。因此 Rt△OPA 中 ∠POA=30°，由 PA=5（30° 所对直角边）得斜边 OA=2×PA=10。 由勾股定理得 OP=（cm）。 答：铁环的半径为 5√3 cm（约 8.66cm）。 【讲评要点】利用切线垂直于半径把实际问题转化为直角三角形，结合角平分线与勾股定理求半径。 （设计意图：以实际测量问题为载体，强化“切线垂直于半径”“切线长”在直角三角形中的应用与计算。） 由切线垂直与角平分线确定Rt△OPA中的角，用含30°Rt与勾股定理求半径5√3。 以实际测量情境综合运用切线性质与勾股定理，突破圆的半径计算。
四、探究点2
切线长定理 【探究点2】切线长定理 追问1：PA 为⊙O 的一条切线，沿直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B。OB 是⊙O 的半径吗？PB 是切线吗？PA、PB 有何关系？∠APO 与 ∠BPO 有何关系？ 由轴对称性可知：OB 是⊙O 的半径；PB 是⊙O 的切线；PA=PB；∠APO=∠BPO。 追问2：请归纳出圆的切线长定理。 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等；圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。 追问3：结合下图，能用符号语言表述切线长定理吗？ 符号语言：∵ PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，　∴ PA=PB，∠OPA=∠OPB。 追问4：怎样证明切线长定理？ 【证明】连接 OA、OB。∵ PA 切⊙O 于点 A，　∴ OA⊥PA；同理 OB⊥PB。又 OA=OB，OP=OP，　∴ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），　∴ PA=PB，∠APO=∠BPO。 追问5：若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M，你又能得出什么新结论？并给出证明。 结论：OP 垂直平分 AB。证明：由切线长定理得 PA=PB，∠OPA=∠OPB，故 △PAB 是等腰三角形，PM 为顶角的平分线（三线合一），　∴ OP 垂直平分 AB。 追问6：若延长 PO 交⊙O 于点 C，连接 CA、CB，你又能得出什么新结论？并给出证明。 结论：CA=CB。证明：由 PA=PB、∠APO=∠BPO，且 PC=PC，　∴ △PCA≌△PCB（SAS），　∴ AC=BC。 （设计意图：借助圆的轴对称性探究并证明切线长定理，并推广出“OP 垂直平分 AB、CA=CB”等结论，体会切线长定理的应用价值。） 沿PO对折观察对称性，归纳切线长定理，用HL证PA=PB，并推导OP垂直平分AB、CA=CB。 以轴对称性直观发现、以全等严谨证明切线长定理，强化证明与应用的规范化。
五、典型例题
例2、例3 【典型例题】例2（四边形外切） 例2　已知：四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 与⊙O 分别相切于点 E、F、G、H。求证：AB+CD=AD+BC。 【分析】由切线长定理，从同一点引圆的两条切线相等，把各边拆成两段切线长之和再整体代换。 【详解】证明：由切线长定理得 AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，故 AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH。 ∴ AB+CD=AD+BC（证毕）。 【讲评要点】“四边形各边都与圆相切”可整体代换：两组对边之和相等——这是切线长定理的经典结论。 【典型例题】例3（切线三角形周长·方法引导） 例3　如图：PA、PB 切⊙O 于点 A、B，直线 DE 切⊙O 于点 C，且交 PA 于 D、交 PB 于 E。（原题第(4)提及求 △PDE 的周长，相关数值在原文档缺失） 【方法引导】这类“过圆外一点引两条切线，再加一条切线与两条切线相截”的图形，关键是活用切线长定理：从同一点出发的两条切线长相等（PA=PB、DA=DC、EC=EB），把所求图形的周长转化为各段切线长之和。 具体地，△PDE 的周长=PD+PC+CE+EB=(PD+DA)+(EC+EB)=PA+PB，即可由已知的某段切线长直接整体求出，无需逐段算出。 【讲评要点】遇到两切线交于一点时，连续使用切线长定理作等量代换，把“周长”整体转化为“两段大切线长之和”。 （设计意图：通过例2、例3综合运用切线长定理作等量代换与周长计算，突出“同一公共点引切线长相等”的应用。） 例2用切线长相等与整体代换证AB+CD=AD+BC；例3用三次切线长代换得周长=PA+PB。 以例2、例3落实切线长定理的等量代换应用，突破周长与线段和的转化。
六、课本练习
当堂巩固 【课本练习】当堂巩固 练习　PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，OA=3。 （1）若 AP=4，则 OP=______；（2）若 ∠BPA=60°，则 OP=______。 【详解】（1）由切线性质 OA⊥PA，在 Rt△OAP 中 OP=，故 OP=5； （2）由切线长定理 OP 平分 ∠BPA，∠APO=×60°=30°。在 Rt△OAP 中 30° 所对直角边 OA=3，故斜边 OP=。 答案：（1）5；（2）6。 （设计意图：及时巩固切线长定理与切线性质，反馈学情、查漏补缺。） 用勾股定理求OP=5，用切线长平分角与含30°Rt求OP=6。 通过基础课堂练习即时巩固切线长定理应用，当堂反馈、查漏补缺。
七、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·南陵校考）如图，在△ABC 中，∠B=90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心、OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相切于点 D。求证：DE∥OC。 【详解】证明：连接 OD。∵ AC 切⊙O 于点 D，　∴ OD⊥AC，∠ODC=90°；又 ∠B=90°，且 OD=OB、OC=OC，　∴ Rt△OCD≌Rt△OBC（HL），　∴ ∠DOC=∠BOC。 又 OD=OE，　∴ ∠ODE=∠OED；而 ∠DOB=∠ODE+∠OED（外角），故 ∠BOC=∠OED，　∴ DE∥OC（同位角相等）。 答：DE∥OC（证毕）。 2．（2025·太原统考）四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过 B、C、D 三点。 （1）如图 1，若 BC 是⊙O 的切线，求 ∠BCD 的大小； 【方法引导】连接 OB、OC，由 BC 切⊙O 于 B 得 OB⊥BC，再结合菱形性质（对角线互相垂直平分、对边平行）与圆内接三角形、等边三角形判定，求出圆心角与菱形的锐角，即可得 ∠BCD。 （2）如图 2，若 ∠BAD=60°，AB 与⊙O 交于点 E，求⊙O 的半径。（原题相关线段数值在原文档缺失） 【方法引导】第(2)问求半径：连接圆心与切点（或弦中点）作垂直，在直角三角形中结合菱形边长与勾股定理（或含 30°、60° 特殊直角三角形）列式求解。 （设计意图：加入中考真题，明确考试方向、熟悉题型，强化切线长定理与切线性质的综合运用。） 第1题由HL证Rt全等得角相等，再证DE∥OC；第2题结合菱形性质用切线性质求角、求半径。 以中考题为载体综合运用切线性质与菱形性质，提升分析、证明与应考能力。
八、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1．切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。 2．切线与切线长的区别：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，可度量。 3．切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等；圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。符号：PA、PB 切⊙O 于 A、B，则 PA=PB，∠OPA=∠OPB。 4．由切线长定理的推广结论：连接两切点，圆心与圆外点的连线垂直平分切点弦（OP 垂直平分 AB）；延长后可得 AC=CB。 5．方法：从同一点引的两条切线长相等，常作等量代换求线段和、周长；连线时“见切点，连半径，得垂直”。 （设计意图：系统梳理切线长定义、定理与推广结论及代换方法，形成切线长定理的知识结构。） 回顾切线长定义、定理及其推广，总结“切线长相等作代换”的解题方法。 结构化梳理切线长定理，突出等量代换思想，构建切线问题求解的知识体系。
板书设计
30.1.2 圆的切线（第2课时） 一、切线长的定义 切线上一点到切点的线段长 切线是直线；切线长是线段长 二、切线长定理 过圆外一点引两切线 PA=PB　∠OPA=∠OPB 符号：PA、PB切⊙O于A、B 三、推论 连接两切点：OP垂直平分AB 延长PO：CA=CB 四、方法 从同一点引切线长相等→代换求周长 见切点：连半径，得垂直 例1、例2、例3、真题板演 学生板演区
教学反思

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