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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
【课标要求】
1.结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1．简谐运动的有关概念
已知函数，
振幅 周期 频率 相位 初相
A
2.用“五点法”画一个周期内的简图时，要找五个特殊点
0 π 2π
x
0 A 0 0
3.函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【常用结论】
函数的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
【注意】
左右平移时需要注意参数ω.
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的最大值为A，最小值为.(　　)
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到的图象.(　　)
(3)把的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为.(　　)
(4)的初相为.(　　)
答案：×；×；×；√.
2．【2021·全国甲卷·高考真题】已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
3．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式，则有（ ）

A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m，则，
又水轮每分钟旋转4圈，故转1圈需要15 s，
则，可得，故选项B和C正确.
4．(必修第一册P241T5改编) 【26-27高三上·山东日照·开学考试】为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】已知原函数，
为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为，
所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度.
考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
考向1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换
例1 (1)【2021·全国乙卷·高考真题】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
(2)【2016·北京·高考真题】将函数图象上的点向左平移 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
【答案】A
【详解】由题意得，，
可得，
因为 位于函数的图象上，所以，
可得，，，
又，故的最小值为， A选项正确.
【解题技法】
1.由的图象到的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度；
2.如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
对点训练1 (1)为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】设将函数的图象向右平移个单位，
则，
故，
取得，故需将函数向右平移个单位长度．
(2)【26-27高三上·黑龙江·开学考试】函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，，
因为，
则将的图象向左平移个单位，就可以得到的图象，
因为函数的最小正周期为，
则将其向左平移个单位，即相当于将其向右平移个单位即可得到的图象，
所以．
考向2 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象求参
例2 如图是函数的图象，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为在函数的图象上，所以，，
所以，此时，，
又点在函数的图象上，所以，
由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.
故选：C.
【解题技法】
确定的步骤和方法
1.求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则，；
2.求ω：确定函数的最小正周期T，则；
3.求φ：常用方法如下：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
对点训练2 【2023·新课标Ⅱ卷·高考真题】已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

【答案】
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
考向3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用
例3 【26-27高三上·天津北辰·阶段检测】函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______．
①
②的图象关于点中心对称
③在区间上单调递增
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】①③④
【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以.
又图象经过点，代入解析式得：，即，解得.
因为，所以.故选项①正确.
由图象可知，函数在处取得零点，且此时图象处于下降阶段.
对于正弦曲线，当时，函数值为0且处于下降趋势.
所以，整理得：，解得：，
因为，且，所以.即函数解析式为.
选项②：将代入解析式：.
因为，所以点不是函数图象的对称中心，故选项②错误.
选项③：令，当时，，
正弦函数在区间上是单调递增的.
因为，所以函数在区间上单调递增，故选项③正确.
选项④：将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为：
，代入，得：
，这与函数的解析式完全一致.故选项④正确.
【解题技法】
1. 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).
2. 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
对点训练3 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期是
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】AB
【详解】由题图可知函数的最小值为，且，所以，
根据，得，即，
根据的图象与轴的交点的位置，可知，
且，可得，所以函数，
根据，得，
根据的图象与轴的交点的位置，可知，
可得．
设函数的最小正周期为，由图象可得，且，
则，解得，可得，
所以函数．
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
对于选项C：因为，不为最值，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
对于选项D：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
因为，故D错误；
故选：AB.
考点2 三角函数模型的应用
考向1 三角函数模型的应用
例4 海中心大夏的阻尼器全名为“电涡流摆设式调谐质量阻尼器”，是一种为了消减强风下高层晃动的专业工程装置：质量块和吊索构成一个巨型复摆，它与主体结构的共振，能消减大楼晃动，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）的函数关系为，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达平衡位置的时间依次为，，，，且，，则______.
【答案】/
【详解】由得，
因为，，所以，
设的最小正周期为，则，解得，
所以，所以.
故答案为：.
【解题技法】
1.已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系；
2.函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
对点训练4 【2026·云南玉溪·模拟预测】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ）
A．关于的函数解析式为
B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米
D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）
【答案】BCD
【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为，
由题意，，所以，
由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故，
则，
又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以，
即，所以，所以，
不妨取，则，故，A错误；
由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时，
需经历分钟，B正确；
根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为：
，
则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确；
对于函数，
令得，
所以函数的单调递减区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降，
对于函数，
令得，
所以函数的单调递减区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降，
即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确.
【难点突破】
正弦型函数的综合应用问题
1.设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为．
(1)在上的面积为______；
(2)在上的面积为______．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)函数在上的面积为，
对于函数而言，，
函数在上的面积为：，由于函数的周期为，作出函数在上的图象，如下图：
由于函数在上的面积为：，则由函数的对称性可得在上的面积为；
(2)由于，而的区间长度也等于其一个半周期，如下图：
由正弦函数图象的对称性可知，图中1,2,3三个区域的面积相等，则函数与轴及直线，所围成的图形可以割补成一个长方形与图中区域3，则它的面积等于长方形面积与图中区域3的面积的和，故为
故答案为：；
2. 【2021·全国甲卷·高考真题】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【教考衔接】
1.化标准形式是解题前提
利用三角恒等变换把给定函数化为标准形式 ；
2.准确理解四个参数的几何意义
振幅A决定图象的纵向伸缩程度，其值为最大值与最小值之差的一半；
角频率决定周期，满足 ；
初相决定图象的左右平移位置；
纵向位移b决定图象的上下平移，其值为最大值与最小值之和的一半；
3.图象变换要区分两种路径
由变换到有两条路径：先平移后伸缩或先伸缩后平移，无论哪种路径，都要注意变换顺序对平移量的影响；
4.由图象求解析式要抓关键点
由图象求解析式通常分三步：首先由最高点、最低点的纵坐标求出A和b；其次由周期求出；最后求初相，通常代入一个已知点，优先选择最值点或零点；
5、函数性质讨论要用整体代换
讨论正弦型函数的单调性、对称性、最值、零点等性质时，最有效的方法是整体代换，整体代换的好处是把复合函数问题转化为基本正弦函数问题，避免直接对复合函数求导或讨论.
变式练1 【2026·河南·三模】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
D．直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于3
【答案】BCD
【详解】由图像最大值为，最小值为，且，得,
由图像得，所以，因此,
将点代入，得 ，解得，
所以 ，
选项 A：，A 错误；
选项 B：由, 得,
当时，递增区间为, B 正确;
选项 C：将的图像向右平移个单位长度后得到的图像, C 正确;
选项 D：解方程，即，得,
解得,即或,
因为，所以的解为，，
所有交点横坐标之和为：，D 正确.
变式练2 【2026·北京丰台·二模】已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________.
【答案】 2 （答案不唯一，满足即可）
【详解】设函数的最小正周期为，
则，即，
且，则，所以；
由图可知：为函数的对称轴，
结合函数的周期可知函数的对称轴为，
又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以函数的图象的对称轴方程为，
所以的图象的一条对称轴方程为.
课时练5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
【试题部分】
一、单选题
1．【2022·浙江·高考真题】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，
所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
2．【26-27高三上·北京丰台·阶段检测】已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由相邻最值点求周期与 ，再由最大值点及 求 ，代入求值．
【详解】由图可知， 与 分别为相邻的最小值点、最大值点，所以 ，故 ，
所以．
又由图知 ，于是 ，其中 为整数．
结合 ，得 ，故 ．
因此 ．
4．【2023·全国甲卷·高考真题】函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
5．【2022·天津·高考真题】关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
二、填空题
6．【2020·江苏·高考真题】将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】/
【详解】
当时
故答案为：
7．定义一种运算：，将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数图象关于轴对称，则的最小值为______.
【答案】
【详解】由题意得：，
的图象向左平移（）个单位长度得：，
图象对应的函数图象关于轴对称，
，，
，，
的最小值为，
故答案为：.
8．【26-27高三上·北京平谷·开学考试】将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【分析】先根据三角函数图象平移规则得到的解析式，再结合两函数的值域特征推导方程有实根时，的取值规律，任选符合条件的取值即可．
【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到，
再向上平移2个单位长度得，
的值域为，的值域为，
要使得，需使得，
由，得，
由，得，
所以，即，
所以，
化简得，
取，得．
9．【2025·上海·高考真题】小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【详解】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
10．【2026·北京·三模】海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）：
时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________．
【答案】
【详解】如图所示，作出符合题意的图象，
由函数图象可知，周期，
所以，函数解析式为，
把代入得 ，
而，
所以，函数解析式为；
由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，
安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，
那么港口水深要不低于米才安全，
则令，得 ，
，
当时，货船停靠的时长为；
当时，，
可得货船停靠的时长为；
当时，不存在符合实际意义的解；
所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为.
三、解答题
11．（已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)如图，在给出的直角坐标系中，画出在区间上的图象.
【答案】(1)，；(2图象见解析.
【详解】解：(1)
.
所以函数的最小正周期为，
当时，函数的最大值为.
(2列表如下：
故函数在区间上的图象如下图所示：
12．【26-27高三上·湖北·阶段检测】已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题图可知，，，，则．
又，，，解得，，由，可得，
．
（2）将的图象向左平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，函数的最小正周期，
则，，
，，
则，
所以．
提素能5道题
1．21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】设，，结合题意计算可得两函数解析式，再作差即可得，再利用二倍角公式及二次函数性质计算即可.
【详解】设，.
由题意可得，，，，即；
由题意可得，，，，即.
所以
.
当时，，
所以当时，取最大值；当时，取最小值.
所以，即的值域为.
所以的最大值为.
2．【26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测】已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．是偶函数
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为
【答案】AC
【详解】由题可得，所以，
又，所以，
所以，即，
又，所以，所以，
令，所以函数的对称中心为，
令，所以函数的一个对称中心是，A正确；
图象不关于y轴对称，不是偶函数，B错误；
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的可得到函数的图象，
再向右平移个单位长度，可得到函数即的图象，C正确；
因为方程即在区间上恰有2个不同的解，
所以即在区间上恰有2个不同的解，
令且，
所以方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为且，D错误.
3．已知函数在上既无最大值，也无最小值，且，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论成立的有（ ）
A．
B．
C．在区间上不单调
D．若方程在上的解为，，且，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为在上既无最大值，也无最小值，且，
则在上单调，且关于轴对称，关于，即中心对称，
所以，，解得，
解得，所以，故A正确；
对于B，将函数的图象向右平移个单位长度得的图象，
故B错误；
对于C，当时，，
结合正弦函数的单调性知此时不单调，故C正确；
对于D，当时，，由正弦函数的图象和性质可知
，
所以，
所以，
由题意可知，所以，
即，解得，故D正确.
4．【2026·上海·高考真题】有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
【答案】
【详解】
设壶嘴最低点，最高点分别是，
图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，
当水平液面经过点时，可将油倒出，
设倾斜角为，当液面经过点时，，
先考虑液面不超过点，即的情况，
设液面与分别交于点，
设的中点为，过作的垂线，垂足为，
则，，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
即，
即，所以，
即，
因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出.
故答案为：
5．【2026·陕西西安·模拟预测】某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案：
(1)分别用表示两个方案中矩形的面积；
(2)分别求出的最大值，并比较二者最大值的大小．
【答案】(1)
(2)的最大值分别为，，且
【详解】（1）如图1，在Rt中，，
所以.在Rt中，.
．则，.
如图2，过点作于点，过点作CD的垂线，交弧于点，
在Rt中，，所以.
由扇形和矩形的对称性可得，，
则在Rt中，，则，.
则.
（2）由，得.
方案一：，
当时，即时，取最大值，最大值为.
方案二：，
所以当时，即时，取最大值，最大值为，
因为，所以.
第 1 页 共 8 页函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
【课标要求】
1.结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1．简谐运动的有关概念
已知函数，
振幅 周期 频率 相位 初相
A
2.用“五点法”画一个周期内的简图时，要找五个特殊点
0 π 2π
x
0 A 0 0
3.函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【常用结论】
函数的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
【注意】
左右平移时需要注意参数ω.
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的最大值为A，最小值为.(　　)
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到的图象.(　　)
(3)把的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为.(　　)
(4)的初相为.(　　)
2．【2021·全国甲卷·高考真题】已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
3．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式，则有（ ）

A． B． C． D．
4．(必修第一册P241T5改编) 【26-27高三上·山东日照·开学考试】为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
考向1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换
例1 (1)【2021·全国乙卷·高考真题】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
(2)【2016·北京·高考真题】将函数图象上的点向左平移 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
【解题技法】
1.由的图象到的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度；
2.如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
对点训练1 (1)为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
(2)【26-27高三上·黑龙江·开学考试】函数的图象，可以由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A． B． C． D．
考向2 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象求参
例2 如图是函数的图象，那么（ ）
A． B． C． D．
【解题技法】
确定的步骤和方法
1.求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则，；
2.求ω：确定函数的最小正周期T，则；
3.求φ：常用方法如下：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
对点训练2 【2023·新课标Ⅱ卷·高考真题】已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

考向3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用
例3 【26-27高三上·天津北辰·阶段检测】函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______．
①
②的图象关于点中心对称
③在区间上单调递增
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【解题技法】
1. 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).
2. 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
对点训练3 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期是
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
考点2 三角函数模型的应用
考向1 三角函数模型的应用
例4 海中心大夏的阻尼器全名为“电涡流摆设式调谐质量阻尼器”，是一种为了消减强风下高层晃动的专业工程装置：质量块和吊索构成一个巨型复摆，它与主体结构的共振，能消减大楼晃动，由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）的函数关系为，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达平衡位置的时间依次为，，，，且，，则______.
【解题技法】
1.已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系；
2.函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
对点训练4 【2026·云南玉溪·模拟预测】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ）
A．关于的函数解析式为
B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米
D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）
【难点突破】
正弦型函数的综合应用问题
1.设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为．
(1)在上的面积为______；
(2)在上的面积为______．
2. 【2021·全国甲卷·高考真题】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【教考衔接】
1.化标准形式是解题前提
利用三角恒等变换把给定函数化为标准形式 ；
2.准确理解四个参数的几何意义
振幅A决定图象的纵向伸缩程度，其值为最大值与最小值之差的一半；
角频率决定周期，满足 ；
初相决定图象的左右平移位置；
纵向位移b决定图象的上下平移，其值为最大值与最小值之和的一半；
3.图象变换要区分两种路径
由变换到有两条路径：先平移后伸缩或先伸缩后平移，无论哪种路径，都要注意变换顺序对平移量的影响；
4.由图象求解析式要抓关键点
由图象求解析式通常分三步：首先由最高点、最低点的纵坐标求出A和b；其次由周期求出；最后求初相，通常代入一个已知点，优先选择最值点或零点；
5、函数性质讨论要用整体代换
讨论正弦型函数的单调性、对称性、最值、零点等性质时，最有效的方法是整体代换，整体代换的好处是把复合函数问题转化为基本正弦函数问题，避免直接对复合函数求导或讨论.
变式练1 【2026·河南·三模】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
D．直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于3
变式练2 【2026·北京丰台·二模】已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________.
课时练5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用
【试题部分】
一、单选题
1．【2022·浙江·高考真题】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．【26-27高三上·北京丰台·阶段检测】已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．【2023·全国甲卷·高考真题】函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．【2022·天津·高考真题】关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．【2020·江苏·高考真题】将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
7．定义一种运算：，将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数图象关于轴对称，则的最小值为______.
8．【26-27高三上·北京平谷·开学考试】将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的一个取值为_______________．
9．【2025·上海·高考真题】小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
10．【2026·北京·三模】海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）：
时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________．
三、解答题
11．（已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)如图，在给出的直角坐标系中，画出在区间上的图象.
12．【26-27高三上·湖北·阶段检测】已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求．
提素能5道题
1．21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．【26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测】已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心是
B．是偶函数
C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象
D．方程在区间上恰有2个不同的解，则的取值范围为
3．已知函数在上既无最大值，也无最小值，且，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论成立的有（ ）
A．
B．
C．在区间上不单调
D．若方程在上的解为，，且，则
4．【2026·上海·高考真题】有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
5．【2026·陕西西安·模拟预测】某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案：
(1)分别用表示两个方案中矩形的面积；
(2)分别求出的最大值，并比较二者最大值的大小．
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