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3.1 列代数式表示数量关系（第3课时 正比例、反比例关系）
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备课时间 课 题 3.1 列代数式表示数量关系（第3课时 正比例、反比例关系）
教材版本 人教版 课 型 新授课
教学目标 1. 理解正比例和反比例关系的核心概念，能够准确判断给定的数量关系是否构成反比例关系或正比例关系. 2. 经历从具体到抽象的思维过程，初步感受反比例关系作为描述变量间关系的重要数学模型的价值. 3. 在自主探究与合作交流中，让学生感受数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心. 4. 发展学生的符号意识和数学建模素养，使学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界.
教学重点 正比例和反比例关系的概念理解及代数表达.
教学难点 准确区分正比例和反比例关系，并能在实际问题中灵活应用.
教法学法 启发式、学生自主探究与合作交流相结合.
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 师生活动 设计意图
一、情境引入 某品牌苹果采摘机器人可以1秒钟完成5平方米范围内苹果的识别.则2秒钟识别范围是 ，3秒钟识别范围是 ，4秒钟识别范围是 ，10秒钟识别范围是 ……t秒钟识别范围是 .
思考： (1) 机器人能识别的范围与所用时间之间的比值有什么规律？ (2) 你还能举一个类似的例子吗？ 师生活动： 教师展示问题情境，引导学生思考并回答这些问题，教师对学生的回答进行点评和总结. 设计意图： 从学生感兴趣的科技实例入手，既激发学习兴趣，又自然引出正比例关系.通过计算和观察，让学生初步感知"比值一定"的特征，为概念形成做好铺垫.
二、合作探究 正比例关系： 结合上述情境探究，引导学生归纳出正比例关系的定义，给出表示方法： 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.
符号表示方法： 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的比值（k是一个确定的值，且k ≠ 0），正比例关系可以用 = k（y = kx）来表示. 补充说明： 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 反比例关系： 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m3.解答下列问题： （1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表. （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260 000. 结合上述探究，引导学生归纳出反比例关系的定义，给出表示方法： 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
符号表示方法： 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k是一个确定的值，且k ≠ 0），反比例关系可以用 xy = k （ y = ）来表示. 补充说明： 一般地，对于工程问题，当工作总量保持不变，工作时间与工作效率是成反比例的量，它们成反比例关系. 典例分析： 例5如图：四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水. (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米 (2) 分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 圆柱的体积=底面积×高，高＝ . 解：（1）四个容器中水的高度分别为: ＝30（cm）, ＝15（cm）, ＝10（cm）, ＝5（cm）. （2）（2）xy=300. y与x成反比例关系. 归纳总结： 小试牛刀： 判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由： （1）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量. 成反比例关系，因为每天的平均用煤量×使用天数=煤的数量（一定） （2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数. 成反比例关系，因为每组的人数×组数=全班的人数（一定） （3）圆柱体积一定，圆柱的底面积与高. 成反比例关系，因为圆柱的底面积×高=圆柱体积（一定） （4）在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积. 不成反比例关系，因为黄瓜的面积+西红柿的面积=一块菜地的面积，不是积一定 （5）书的总册数一定，按各包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数. 成反比例关系，因为每包的册数×包数=书的总册数（一定） 方法提炼： 判断反比例主要根据定义来判断： 第一：有两个量，而且是相关联的量，其中一 个量随着另一个量的变化而变化； 第二：两个量之间的乘积不变. 应用拓展： 思考：生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？ 师生活动： 结合学生的回答，引出正比例关系的概念，并用符号语言进行描述. 师生活动： 让学生根据每天造雪量计算所需的造雪天数，并填写表格.引导学生观察表格中的数据变化趋势，发现每天造雪量和造雪天数的变化规律与关系. 结合学生的回答，引出反比例关系的概念，并用符号语言进行描述.
师生活动： 教师先让学生独立思考并解答问题（1），然后请一位同学上台板演解题过程.接着引导学生用式子表示高度y与底面积x的关系，并判断y与x成什么比例关系. 师生活动： 组织学生进行小组讨论，归纳总结正比例关系与反比例关系的区别，从定义、表示方法等方面进行对比.然后每个小组派代表发言，教师进行补充和完善，最后形成完整的对比表格展示在黑板上. 师生活动： 学生独立完成后同桌之间互相批改，教师巡视指导点评. 师生活动： 让学生分组讨论生活中还有哪些成反比例关系的例子，比一比哪个小组举的例子最多.每个小组讨论结束后，派代表发言分享小组讨论的结果. 设计意图： 通过学生自主探究、总结归纳，让学生亲身经历正比例关系概念的形成过程，加深对概念的理解，同时培养学生的抽象概括能力. 设计意图： 通过“计算—观察—归纳”的探究路径，让学生亲历概念的形成过程，突破从具体到抽象的思维障碍，工程问题的补充强化了数学与生活的联系. 设计意图： 通过具体的例题，让学生进一步加深对正比例和反比例关系相关概念的理解，学会运用所学知识解决实际问题，提高学生的解题能力和应用意识. 设计意图： 通过小组合作探究和对比总结，让学生更加清晰地理解正比例关系和反比例关系的本质区别，加深对知识的记忆和理解，同时培养学生的合作能力和归纳总结能力. 设计意图： 通过针对性的练习，及时巩固学生对反比例关系的理解和判断方法，让学生在练习中发现问题，及时纠正，提高学生的学习效果. 设计意图： 通过小组竞赛的形式，激发学生的学习积极性和主动性，让学生在讨论中进一步感受数学与生活的紧密联系.
三、巩固练习 基础题： 下列说法中，错误的是（　　） A. 百米赛跑，路程100米不变，速度和时间成反比例； B. 排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例； C. 购买西瓜和香蕉的总费用一定，西瓜的费用和香蕉的费用成反比例； D.长方形的面积一定，长和宽成反比例. 提升题： 某社区计划用 a 天完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务，则每天完成的改造任务 p = ，则每天完成的改造任务 p 与天数 a 之间成 （反比例关系或正比例关系）. 拓展题： 矩形的面积为36 cm ，长为 x cm，宽为 y cm. (1)写出 y 与 x 这两个量之间的关系式，并指出这两个两满足什么关系； (2)当长是 8cm 时，宽是多少 (3)当宽为 4cm 时，长是多少 师生活动： 学生依次完成基础、提升和拓展练习，教师巡视，对有困难的学生进行个别指导.完成后，小组内交流答案，教师选取部分题目进行讲解. 设计意图： 设计分层练习，满足不同层次学生的学习需求，使每个学生都能在原有基础上得到发展. 基础题巩固学生对基本概念的理解，提升题考查学生对知识的应用能力，拓展题则培养学生的综合运用能力和创新思维，兼顾全体学生.
四、课堂小结 通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？你有什么收获和体会？ 小结： （1）正比例关系与符号表示. （2）反比例关系与符号表示 （3）正比例关系与反比例关系的区别 师生活动： 教师和学生一起回顾本节课所学内容. 设计意图： 通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识脉络，加深对重点知识的理解和记忆，培养学生的总结归纳能力和反思意识.
五、布置作业 必做题：教材 P75 页练习 第 1~ 3 题. 选做题：教材 P75 页习题 3.1 第 4、5 题. 设计意图： 作业难度适中，根据“双减”要求，为了让不同的人在数学上有不同的发展，根据学生的个体差异，分层布置了作业. 必做题面向全体学生，要求必做,夯实基础. 选做题给学有余力的学生选做，体现分层次教学，培养同学们发散思维的能力.
板书设计 §3.1 列代数式表示数量关系 ——第3课时 正比例、反比例关系 1. 正比例关系 学生答题区
2. 反比例关系 3. 正比例关系与反比例关系的区别 （1）定义 （2）表示方法
教学评价
在本节课的教学过程中，我通过创设丰富的实际情境，引导学生自主探究、合作交流，让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识.在教学方法上，注重情境教学法、问题驱动教学法和讲练结合教学法的综合运用，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率.在教学过程中，关注学生的个体差异，及时给予指导和反馈，让每个学生都能参与到课堂学习中来.整节课体现了以学生为主体、教师为主导的教学理念，通过师生互动、生生合作，营造了积极思考、勇于表达的课堂氛围，达到了预期的教学目标.

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