资源简介

2026—2027 学年 人教版九年级 数学（上册）
26.2 二次函数的图象和性质（第 2 课时）
y = ax + k 的图象和性质（上下平移——上加下减）
项目 内容
教材版本 人教版（2024 新版） 九年级 数学（上册） 第 26 章 26.2
课 题 26.2（第 2 课时）二次函数 y=ax +k 的图象和性质
课 型 新授课（第二课时）
授课时长 45 分钟
前 接 26.1.1 二次函数概念；26.2.1 y=ax 的图象和性质
后 继 26.2（第 3 课时）y=a(x h) （左右平移）；第 4 课时 y=a(x h) +k（综合平移）
一、教学基本信息
本课是 26.2「二次函数的图象和性质」的第 2 课时，研究对象为 y=ax +k（k 为常数，a≠0）。它在 y=ax 的基础上引入常数项 k，实现图象的"上下平移"，核心规律是"**上加下减**"。作为衔接最简式 y=ax 与后续顶点式 y=a(x h) +k 的必经阶梯，本课承担着把"解析式的变化"与"图象的平移"对应起来的关键任务，是"数形结合、从特殊到一般"思想的典型载体。
【课时定位说明】人教版（2024）26.2 建议按"y=ax → y=ax +k（上下平移）→ y=a(x h) （左右平移）→ y=a(x h) +k（综合）→ 一般式 y=ax +bx+c（配方法）"五步递进。本课聚焦其中**第 2 步——仅含上下平移的 y=ax +k**，不涉及左右平移与 h，确保规律单一、学生充分内化。
二、教材与学情分析
【教材分析】
教材在 26.2.1 研究 y=ax 后，通过"在同一直角坐标系中画出 y=2x +1 与 y=2x 1"的探究，引导学生发现：y=ax +k 与 y=ax 形状相同、位置上下平移，从而归纳出"上加下减"规律。本课渗透**数形结合、类比归纳、由特殊到一般**三大思想，是后续一般式配方、顶点式、最值应用的基础。
【学情分析】
学生已掌握 y=ax 的图象与性质、会用描点法，能理解"顶点、对称轴、开口方向、最值"；认知障碍主要有：① 误以为 k 影响开口大小（实际只影响上下位置）；② 对"k>0 向上、k<0 向下"的方向判断不牢；③ 把"上下平移"与后续"左右平移"混淆；④ 平移时顶点坐标与对称轴的变化梳理不清。
【已有基础 vs 主要障碍】
维度 已有基础（可迁移） 主要障碍（需突破）
知识与技能 会画 y=ax 、熟记其性质、会用描点法 k 的作用与"上下平移"规律不清
过程与方法 会列表描点、能操作几何画板 不会由 y=ax 类比推导 y=ax +k
情感态度 对图象变换感兴趣 对"上加下减"符号化规律感到抽象
核心素养 初步数形结合意识 几何直观、模型观念仍需强化
三、教学目标与重难点
【教学目标】（核心素养导向）
维度 目标内容
知识与技能 会用描点法画 y=ax +k 的图象；理解 k 对图象位置的影响；能准确说出顶点 (0,k)、对称轴（y 轴）、开口方向、最值
过程与方法 经历"画 y=ax 与 y=ax +k → 对比观察 → 归纳平移规律"的过程，发展类比与归纳能力
情感态度 在图象平移中感受"变与不变"的规律美，增强探究自信
核心素养 几何直观（由式看图象）、数学抽象（归纳平移规律）、推理能力（由 y=ax 推 y=ax +k）、模型观念（顶点式雏形）
【重点与难点】
◆ 重点：用描点法画 y=ax +k 的图象；归纳"上加下减"平移规律与顶点坐标、最值。
◆ 难点：① 理解 k 只改变位置、不改变形状（开口大小不变）；② "k 的正负 平移方向"的对应；③ 由 y=ax +k 的顶点、对称轴描述增减性与最值。
【突破策略】：在同一直角坐标系中画 y=ax 、y=ax +1、y=ax 1 三条抛物线，用几何画板动态演示 k 连续变化，配合"口诀 + 表格"把规律可视化。
四、教学方法与准备
环节 内容
教学方法 情境探究法、讲练结合、类比归纳、数智赋能（几何画板动态演示 k 变化）
学习方法 自主探究 + 合作交流 + 动手操作（描点、对比）
教学准备 教师：几何画板课件、学案（含描点表）、投影；学生：方格纸、计算器
五、教学过程（45 分钟 · 六环节详案）
【环节一】情境导入（4 分钟）
教师活动：复习 y=ax 的顶点 (0,0)、对称轴 y 轴、最值；提问"把抛物线 y=x 向上抬 3 个单位，解析式会怎样？"引发思考。
学生活动：回忆 y=ax 性质，猜测"加一个数"。
设计意图：由旧知制造认知冲突，引出 y=ax +k。
【环节二】合作探究——发现上下平移（9 分钟）
教师活动：① 让学生在同一坐标系中画 y=x 、y=x +2、y=x 2（取 x= 2, 1,0,1,2）；② 引导填写下表，观察顶点由 (0,0)→(0,2)→(0, 2)，形状不变；③ 几何画板拖动 k 值动态验证。
学生活动：列表描点、对比三图象、归纳规律。
设计意图：以"特殊—一般"递进，用描点与动态演示让"上加下减"看得见。
【环节三】归纳性质（10 分钟）
教师活动：组织填写下表，由 y=ax +k 直接读出：顶点 (0,k)、对称轴 y 轴、开口方向（a>0 向上 / a<0 向下，与 y=ax 相同）、最值（a>0 时 y 最小值=k；a<0 时最大值=k）、增减性（与 y=ax 一致，对称轴不变）。
学生活动：填表、对照、用"上加下减"口诀内化。
y＝ax ＋h(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，h) (图象有最低点) (0，h) (图象有最高点)
对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势).
最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h.
草图
设计意图：把图象语言转化为符号，落实几何直观。
【环节四】类比推导——由特殊到一般（6 分钟）
教师活动：提问"已知 y=3x +2，顶点、最值、平移方式是什么？"让学生由式直接作答并用图象验证；再指出"y=ax +k 是顶点在 y 轴上的顶点式"。
学生活动：由式读图、由图写式。
设计意图：双向训练"数与图"对应，铺垫后续顶点式。
【环节五】例题精讲（12 分钟 · 本课重心）
例1：在同一直角坐标系中画出 y=2x +1 与 y=2x 1（教材 P37 例2 迁移），指出顶点与对称轴。解析：两图象均由 y=2x 平移得到，顶点分别为 (0,1)、(0, 1)，对称轴均为 y 轴。
例2：函数 y= x +3 的开口、顶点、最值及平移方式。解析：a= 1<0 开口向下，顶点 (0,3)，最大值 y=3，由 y= x 向上平移 3 个单位得到。
例3（提升）：抛物线 y=ax +k 过点 (1,5) 与 ( 2,2)，求 a、k。解析：代入得 a+k=5、4a+k=2，解得 a= 1、k=6，即 y= x +6。
【环节六】巩固小结（4 分钟）
练习：① 说出 y= x 2 的顶点、对称轴、最值；② 把 y= 3x 向下平移 4 个单位所得解析式。
小结：y=ax +k 由 y=ax 上下平移得到——"k 正上移、k 负下移"；顶点 (0,k)、对称轴 y 轴；a 不变则形状不变。
作业：分层布置（见下）。
六、例题精讲要点
例题 关键步骤与答案
例1 y=2x +1 与 y=2x 1 均由 y=2x 平移：顶点 (0,1)、(0, 1)，对称轴均为 y 轴，a=2>0 开口向上
例2 y= x +3 a= 1<0 开口向下，顶点 (0,3)，最大值 y=3，由 y= x 向上平移 3 个单位
例3 过 (1,5)、( 2,2) 求 y=ax +k 代入：a+k=5、4a+k=2 → a= 1、k=6，即 y= x +6
七、核心概念辨析
【y=ax 与 y=ax +k 性质对照表】
性质 y=ax y=ax +k（k 为常数）
图象 抛物线 与 y=ax 形状相同的抛物线
顶点坐标 (0, 0) (0, k)
对称轴 y 轴（直线 x=0） y 轴（直线 x=0，不变）
开口方向 a>0 向上；a<0 向下 与 y=ax 相同（a 不变）
开口大小 由 |a| 决定 与 y=ax 相同（|a| 不变）
最值 a>0 最小值 0；a<0 最大值 0 a>0 最小值 k；a<0 最大值 k
平移关系 — 由 y=ax 向上（k>0）/向下（k<0）平移 |k| 个单位
【口诀】"k 正上移、k 负下移，上加下减；a 不变则形状不变，只改顶点纵坐标。"
【易错点剖析】
序号 易错点 正解提醒
① 认为 k 会改变开口大小 k 只上下平移，开口大小由 |a| 决定，与 k 无关
② k 的正负与平移方向记反 k>0 向上、k<0 向下，"上加下减"指常数项加减
③ 顶点坐标写成 (k,0) y=ax +k 顶点在 y 轴上，为 (0,k)
④ 与左右平移 y=a(x h) 混淆 本课只有 k（上下），h（左右）在第 3 课时研究
⑤ 增减性随 k 改变 对称轴仍为 y 轴，增减性与 y=ax 完全一致
八、三区板书设计
左区·复习导入 中区·探究与性质y=ax → y=ax +k顶点 (0,k)｜对称轴 y 轴口诀：上加下减
右区·例题板演与总结 例1/例2/例3 完整书写性质对照表易错提醒：k 不改开口、顶点 (0,k)
九、分层作业
层次 内容
基础 ① 说出 y= x 2 的顶点、对称轴、最值；② 画出 y= x +1 的图象（描点法）
提高 由顶点 (0, 3)、过 (1, 1) 求 y=ax +k 解析式；判断 y=2x +5 的开口与最值
拓展 用几何画板探究"k 连续变化时顶点轨迹"；写一篇"上下平移与上加下减"数学小笔记
十、时间分配
环节 时间
环节一 情境导入 4 分钟
环节二 探究上下平移 9 分钟
环节三 归纳性质 10 分钟
环节四 类比推导 6 分钟
环节五 例题精讲 12 分钟
环节六 巩固小结 4 分钟
十一、教学反思（课后填写）
本课以"上下平移"为单一线索，把 y=ax 与 y=ax +k 串联，重点突出、节奏合理。反思：学生对"k 不改变开口大小、只改顶点纵坐标"的理解仍需通过几何画板演示强化；应与第 3 课时左右平移做对比练习，防止混淆 h 与 k。

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