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1.4线段垂直平分线与角平分线（知识梳理+同步练习）
知识梳理
一、线段的垂直平分线定义
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
核心条件：同时满足垂直、平分线段两个条件。
二、线段垂直平分线性质定理
线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两端点的距离相等。
几何意义：可直接证两条线段相等，无需证三角形全等。
三、线段垂直平分线判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
核心用途：证明点在中垂线上，或证明直线为线段中垂线。
四、线段垂直平分线重要结论
1. 线段的垂直平分线是这条线段的对称轴。
2. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点距离相等，此点为三角形外心。
五、角平分线的性质定理
角平分线上的任意一点，到角两边的垂线段长度相等。
关键：必须是垂线段，斜线段不相等。
用途：直接证垂线段相等，简化证明步骤。
六、角平分线的判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
适用：已知垂线段相等，可直接判定角平分线。
七、角平分线重要结论
1. 角平分线所在直线是角的对称轴。
2. 三角形三条角平分线交于一点，该点到三角形三边距离相等，此点为三角形内心。
八、轴对称核心关联考点
1. 线段是轴对称图形，对称轴为自身垂直平分线。
2. 角是轴对称图形，对称轴为角平分线所在直线。
同步练习
一、单选题
1．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．30
5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，线段分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（ ）
A．点D到和的距离相等 B．
C． D．
8．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
10．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图，直线，被直线所截，交点分别是，，已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，，按此规律依次进行，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点．
12．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________
13．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与关于直线对称，连接交直线于点，连接交直线于点，若，，则四边形的周长为___________．
14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____．
15．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________．
16．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________．
17．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______．
18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，已知的周长是，，则的长为__________．
19．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，已知，，平分，，则与的关系为__________．
20．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，，点为上一点，连接，将沿着翻折，使得点的对应点落在边的垂直平分线上，连接，则的周长为_________．
三、解答题
21．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹）
22．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，求证：．
23．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长．
24．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，．
(1)求的长；
(2)求的长．
25．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：．
(1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明．
(2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明．
(3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
试卷第2页（共8页）
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A A B D B A C
1．D
【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点．
2．B
【详解】解：作，如图所示：
∵，是的平分线，
∴
∵，
∴
∴点D到的距离是．
3．A
【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上，
∴点到，两边距离相等，符合题意；
选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意．
4．A
【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接，
∵点是的平分线的交点，于点，且，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
5．A
【详解】解：如图，
当时，有最小值，
∵平分，，，
∴，
∴长的最小值为3．
6．B
【详解】解：，
，
平分，，
，
同理，，
，
平分，，
，
，
，
，
．
7．D
【详解】解：∵线段分别是的角平分线、中线和高线，
∴点D到和的距离相等，，，，
∴错误的是选项D.
8．B
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分线段，
∴，
∴周长，
∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为．
9．A
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长．
10．C
【详解】解：∵，
∴，
∵与的角平分线相交于点，
∴，，
如图所示，过点作，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∵与的角平分线相交于点，，
∴，，
∴，
同理，，
依此类推，，
∴．
11．三边垂直平分
【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上，
∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点，
∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点．
12．
【详解】解：过点分别作于，于，于，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴.
13．23
【详解】解：∵与关于直线对称，，，
∴,,,
∴四边形的周长为：．
14．
【详解】解：过点I作于点E，
平分交于点，于点，
，
，，
，，
，，
，
，
解得．
15．
【详解】解：如图，作于点，于点，
由作图可得平分，
∴，
∵，，，
∴，
∵的面积为6，
∴的面积为，
∴的面积为．
16．24
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴．
17．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段的长度最短，
∴过点作，线段的最小值为，
∵是的平分线，点在上，，，
∴．
18．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴点与点关于对称，
∵将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，
∴，
∵的周长是，，
∴，
∴．
19．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即．
20．14
【详解】解：根据翻折可得，，
点的对应点落在边的垂直平分线上，
，
的周长为．
21．
延长和交于一点，作的角平分线，连接与角平分线交点即为所求点．
22．(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F，
∵的面积为14，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，点C在的内部，
∴点C在的平分线上，
∴是的平分线；
(2)证明：如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，垂足为E，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由（1）可知：是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23．2
【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为，
为边的中点，，
垂直平分，
，
是的平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
．
24．(1)3
(2)
【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且，
∴．
（2）解：∵，
，
∴，
又∵是的高，
∴，
即，
解得．
25．(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴．
(2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
(3)解∶；理由如下：
如图：作于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即．

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