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1.3全等三角形的判定（知识梳理+同步练习）
知识梳理
一、全等判定总原则
判定两个三角形全等，必须具备三组对应元素，且至少有一条边，角角角、边边角不能判定全等。
二、四种通用全等判定（任意三角形通用）
1. SSS（边边边）
三边对应相等的两个三角形全等。
适用：已知三条边、周长相等、等边三角形判定。
2. SAS（边角边）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
关键：角必须是两边夹角，非夹角不能判定（禁止SSA）。
3. ASA（角边角）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4. AAS（角角边）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
推论：只要两组角相等，再加任意一条对应边相等，即可全等。
三、直角三角形专属判定 HL
HL（斜边直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：HL只适用于直角三角形，不需要找角，是特殊判定。
直角三角形也可使用 SSS、SAS、ASA、AAS 通用判定。
四、不能判定全等的两种情况
1. AAA（角角角）：三个角相等，只能证明相似，大小不一定相等，不能全等。
2. SSA（边边角）：两边和其中一边对角相等，不能判定全等。
五、常见隐含条件（做题必找）
1. 公共边：同一图形中共用边相等。
2. 公共角：同一图形中共用角相等。
3. 对顶角：对顶角相等。
4. 平行线：内错角相等、同位角相等。
5. 中点：平分线段，得两条边相等。
6. 角平分线：分出两个等角。
六、全等证明标准步骤
1. 准备条件：利用已知、定义、性质推出所需边角相等。
2. 摆齐三组条件：按判定定理顺序罗列。
3. 下结论：写出“∴△×××≌△×××（判定依据）”。
4. 证边相等、角相等：先证全等，再用全等性质得对应边角相等。
同步练习
一、单选题
1．（2025·江阴市·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
7．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（ ）
A．或 B．或 C． D．
10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
11．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示）
12．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________．
13．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________．
14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________．
15．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____．
16．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ．
17．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______．
18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________．
19．（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，甲、乙两人分别从A地前往B地，若A，B两地之间的距离为8千米，甲行走的路线为12千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可）
20．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________
三、解答题
21．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：．
22．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，．求证：．
23．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)若，，，求的周长．
24．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）如图，D为外部一点，连接，，已知，
(1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接）
(2)①通过作图可以得到：______，______；
②判定的依据是______（从、、或中选填）；
(3)求．
25．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
(3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点．
26．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】
(1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
(2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
试卷第8页（共9页）
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C B C D B A C
1．【答案】A
【详解】解：如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是ASA．
故选：A．
C
【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性．
2．A
【详解】解：由图可知 ，
在和 中，隐含条件
A 项：添加，结合，，属于，不符合全等三角形判定定理，不能判定
B 项：添加，结合，，符合，能判定
C 项：添加，结合，，符合 ，能判定
D 项：添加，结合，，符合，能判定 ．
3．C
【详解】根据题意整理已知条件：
由 ，，可得 ，
∵ ，，
且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边，
满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据．
4．C
【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示，
，，
，
平分，
，
在和中，，
．
，．
，，
，
在和中，，
，
．
，设，，
，
，
．
5．B
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得．
6．C
【详解】解：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
7．D
【详解】解：如图所示，延长交于点．
∵平分，
∴,
∵于点P，
∴,
∵,
∴,
∴，
∵与等底同高，
∴,
∵与等底同高，
∴,
∵，
∴．
8．B
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
9．A
【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为，
则，，，
∵，
∴要使与全等，则有或，
当时，，
即，解得；
当时，，
即，
解得，
综上所述，点Q的运动速度为或．
10．C
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，故③正确；
∵在中，，
∴，故④错误，
综上，正确的是①②③．
11．
【详解】解：∵，
∴和为直角三角形，
在和中，
，
∴，
则全等的依据是．
12．
【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小；
第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小；
第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具．
13．2
【详解】解：如图所示，过点D作于点E，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点D到的距离为2．
14．
【详解】解：∵，，
∴，
∴和都是直角三角形，
∵，且、是和的一组对应直角边，
根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等，
∵在中，是斜边，在中，是斜边，
∴需要添加的一个条件是．
15．
【详解】解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．6
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
17．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
18．
【详解】解：延长交于，过点作于点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即，
解得，
又∵，
即，
∴，
∴中上的高为．
19．9（答案不唯一）
【详解】解：如图，延长、交于点，连接，
由题意可得千米，千米，
，，，
，
，，
千米，
，
，
，
，
又∵，
∴，
∵乙行走的路线为整数千米，
乙行走的路线可能为9或10或11．
20．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
21．证明：，
,
即，
在和中，
.
22．证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
23．(1)，理由如下：
，
∴ ，
，
∴，
平分 ，
∴，
，
∴；
（2）解：，
∴，
，
∴，
，
∴的周长为．
24．(1)
（2）解：①通过作图可以得到：．
②结合作图得，
∵
∴判定的依据是；
（3）解：在中，，
在中，．
∵，
∴．
∴
．
25．(1)，
(2)
(3)证明：过点D作于点M，过点E作于点N，
由（1）可知，当，，，时，
，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即点G是的中点．
【详解】（1）解：∵，
∴，；
（2）解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
同理，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
答：图中实线所围成的图形的面积为；
（3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论．
26．(1)
(2)上述结论仍然成立；理由如下：
如图所示，延长到，使，连接，
∵，
，
又，，
，
∴，，（全等三角形的对应角、对应边相等）
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，
即：，结论仍然成立．
【详解】（1）解：、、之间的数量关系是，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）上述结论仍然成立；理由如下：
如图所示，延长到，使，连接，
∵，
，
又，，
，
∴，，（全等三角形的对应角、对应边相等）
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，
即：，结论仍然成立．

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