资源简介

一元二次方程专题讲义（教师版）
一元二次方程专题讲义
—— 概念解法 · 判别式 · 根与系数 · 根的分布 · 实际应用 ——
教 师 版（含全部解析与参考答案）
项目 内容
讲义定位 九年级一元二次方程全章复习与题型突破（人教、北师大、苏科版通用）
编排结构 知识清单 6 节 → 易错警示 8 条 → 题型精讲 15 个 → 综合自测 12 题 → 速查表
训练体量 典例精讲 30 例 · 变式训练 30 题 · 综合自测 12 题
图表配套 程序绘制配图 19 幅（图 1—图 19）· 结构化对照表 9 张
两版差异 教师版含【解析与答案】【参考答案】；学生版整块剔除并在题下留虚线答题区
建议用法 自查知识清单 → 按题型限时做变式 → 综合自测 45 分钟 → 按速查表复盘错题
目 录
第一部分 讲义使用说明 3
第二部分 知识清单 4
第 1 节 一元二次方程的概念与一般形式 4
第 2 节 解法体系：五种方法的选择与操作 5
第 3 节 判别式与根的情况 7
第 4 节 根与系数的关系（韦达定理） 9
第 5 节 根的符号、区间分布与整数根 10
第 6 节 实际应用的常用模型与结论 11
第三部分 高频易错点警示 13
第四部分 题型突破精讲（15 大题型） 14
题型 1 一元二次方程的有关概念与一般形式 14
题型 2 直接开平方法与配方法 15
题型 3 公式法与因式分解法 16
题型 4 非标准方程：换元、绝对值、分式与含参讨论 17
题型 5 判别式与根的情况（含求参数范围） 19
题型 6 韦达定理：不解方程求对称式的值 20
题型 7 韦达定理进阶：由根的关系求参数与构造新方程 21
题型 8 根的符号与区间分布 23
题型 9 整数根与有理根问题 24
题型 10 方程背景下的代数式求值与变形 26
题型 11 增长率与百分率问题 27
题型 12 销售利润与方案决策 29
题型 13 几何图形中的面积与围栏问题 31
题型 14 动点、数字与传播等其他实际应用 32
题型 15 新定义与阅读理解探究题 35
第五部分 全章综合自测（12 题，建议 45 分钟） 38
第六部分 题型—通法—易错—配图 速查表 41
第一部分 讲义使用说明
本讲义按"知识清单—易错警示—题型突破—综合自测—速查表"五个层次组织，覆盖一元二次方程全部考点：概念与一般形式、五种解法、判别式与根的情况、根与系数的关系（韦达定理）、根的符号与分布、整数根、代数式变形求值、七类实际应用以及新定义探究题。
两版配套：教师版含全部典例解析、变式参考答案与自测详解；学生版题号、题型、配图与教师版完全一一对应，解析与答案整块剔除并在题下留虚线答题区，可直接印发。
使用建议：先通读知识清单完成自查，再按题型顺序限时做变式训练（小题 2 分钟、大题 8 分钟）；错题回写到第三部分对应的易错点编号旁，形成个人错因清单。
配图说明：全讲义 19 幅图（图 1—图 19）均按题中真实数据绘制，关键点、临界值、取值区间与几何标注都直接标在图上，解题时可“对图检查”自己的分类是否完整。
表 1 本讲义结构总览
层次 内容 数量 功能定位
知识清单 概念、解法、判别式、韦达定理、根分布、应用模型 6 节 + 8 表 基础过关，先建立方法选择框架
易错警示 高频失分点及纠正动作 8 条 考前快速排错
题型突破 题型解读→方法规律→典例精讲→变式训练 15 大题型 / 30 变式 主体训练，逐题型突破
综合自测 选择 4 + 填空 4 + 解答 4 12 题 限时检测，含答案详解（教师版）
速查表 题型—通法—易错—配图索引 1 表 复盘与考前快速检索
第二部分 知识清单
第 1 节 一元二次方程的概念与一般形式
1. 定义的三个条件（缺一不可）
① 方程两边都是整式（分母中不含未知数，未知数不在根号内）；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是 2。
判断一个方程是否为一元二次方程，必须先通过去分母、去括号、移项、合并同类项把它化为一般形式后再判断，不能只看表面形式。例如 (x-1)(x+1)=x 化简后为 -1=0，不含二次项，不是一元二次方程。
2. 一般形式与各项系数
一般形式：ax +bx+c=0（a、b、c 为常数，a≠0）。其中 ax 叫二次项，a 是二次项系数；bx 叫一次项，b 是一次项系数；c 叫常数项。写系数时必须带上前面的符号。
例：把 3x(x-2)=5(x+1) 化为一般式，得 3x -11x-5=0，其中 a=3，b=-11，c=-5。
3. 特殊（不完整）形式及其天然解法
表 2 特殊形式与首选解法
形式 特征 首选解法 说明
ax +c=0（b=0） 缺一次项 直接开平方法 x =-c/a，需 -c/a≥0 才有实根
ax +bx=0（c=0） 缺常数项 因式分解法（提公因式） 必有一个根 x =0，另一根 x =-b/a
ax +bx+c=0（齐全） 三项齐全 公式法 / 十字相乘 先看能否分解，不能分解用公式法
4. 由概念求参数的两种典型问法
（1）"是关于 x 的一元二次方程"：既要令未知数的最高次数为 2，又要保证二次项系数不等于 0，两者缺一不可，最后必须用系数≠0 检验取舍。
（2）"a 是方程的根"：把根代入方程得到关于字母的等式，常用整体代入求代数式的值，如由 a -2a-3=0 得 a -2a=3，进而求 2a -4a+5=2×3+5=11。
图 18 一元二次方程的几何由来：黄金分割 a =b(a+b)，设 b=1 得 a -a-1=0，其正根 a=(1+√5)/2≈1.618
第 2 节 解法体系：五种方法的选择与操作
图 2 解一元二次方程的方法选择顺序（先看结构特征，再定方法）
表 3 五种解法对照
方法 适用结构 理论依据 关键步骤 易错提醒
直接开平方法 (x+m) =n，n≥0 平方根定义 写成 x+m=±√n 漏负根；n<0 时说"无实数根"
配方法 二次项系数化 1 后一次项系数为偶数；求证/求最值 等式性质 + 完全平方公式 加一次项系数一半的平方 只对左边加而忘记右边同步加
公式法 任意一元二次方程（通法） 配方法的结论 先算 Δ=b -4ac，Δ≥0 时 x=(-b±√Δ)/(2a) b、c 忘记带符号；Δ<0 仍硬套公式
因式分解法 右边为 0，左边能分解 若 ab=0，则 a=0 或 b=0 提公因式 / 公式 / 十字相乘 两边同除含未知数的因式而丢根
换元（整体）法 出现重复结构，如 (x -x) 、x+1/x 整体思想 + 降次 设 y 解 y 的方程，再回代 回代后未再解，或忽略 y 的取值范围
图 3 配方法的几何直观：加上一次项系数一半的平方，恰好补成边长为 x+3 的正方形
配方法的标准五步（以 2x -4x-3=0 为例）
① 化二次项系数为 1：x -2x-3/2=0；② 移项：x -2x=3/2；③ 两边同加 (-2/2) =1：x -2x+1=5/2；④ 写成平方：(x-1) =5/2；⑤ 开平方：x=1±√10/2。
配方法还是求代数式最值的工具：x -2x+5=(x-1) +4，当 x=1 时取最小值 4；-2x +8x-5=-2(x-2) +3，当 x=2 时取最大值 3。
图 19 十字相乘与公式法的操作细节对照（含符号与化简要求）
图 14 因式分解法的逻辑树：ab=0 a=0 或 b=0，同除公因式将丢根
第 3 节 判别式与根的情况
图 1 Δ 的符号决定抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交点个数，即方程根的个数
表 4 判别式 Δ=b -4ac 与根的情况
Δ 的符号 根的情况 求根公式的表现 对应抛物线位置
Δ>0 两个不相等的实数根 x=(-b±√Δ)/(2a) 中 √Δ 为正数 与 x 轴有两个交点
Δ=0 两个相等的实数根 x =x =-b/(2a) 只能取一个值 与 x 轴唯一公共点（相切）
Δ<0 没有实数根 √Δ 无意义（初中范围） 与 x 轴无交点
三条常用结论
（1）逆向使用：由"有两个不相等实根"得 Δ>0 且 a≠0；由"有实数根"得 Δ≥0，若二次项系数含参数且未指明"一元二次方程"，必须补充讨论 a=0 的一次方程情形。
（2）证明"总有两个不相等实根"：把 Δ 配方成完全平方式加正数，如 Δ=(m-2) +4>0 恒成立。
（3）当 ac<0 时 Δ=b -4ac>0 恒成立，可直接判定方程必有两个不相等实根，不必计算。
图 7 常数项 c 的符号与根的情况：c<0 时必有两根，c=0 时必有一根为 0
图 16 用图象数交点判断方程解的个数（含绝对值、含参方程同样适用）
第 4 节 根与系数的关系（韦达定理）
图 4 韦达定理的图象意义：x +x =-b/a 决定对称轴位置，x x =c/a 决定两根符号
定理与前提
若一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）有两个实数根 x 、x ，则 x +x =-b/a，x x =c/a。使用前提：方程确有实根，即 Δ≥0；含参数时必须先由 Δ≥0 限定参数范围，再解出参数值并检验。
表 5 常用变形（把目标式凑成和与积）
目标式 变形结果 目标式 变形结果
x +x (x +x ) -2x x 1/x +1/x (x +x )/(x x )
(x -x ) (x +x ) -4x x = Δ/a |x -x | √Δ/|a|
(x +1)(x +1) x x +(x +x )+1 x x +x x x x (x +x )
以 x 、x 为根的方程 x -(x +x )x+x x =0 |x |+|x | 型 先定符号，再平方转化
图 5 不解方程求两根之差：|x -x |=√Δ/|a|，只依赖 a 与 Δ
第 5 节 根的符号、区间分布与整数根
图 6 根的区间分布：两根分居 1 两侧只需 a·f(1)<0；两根都在 (m,n) 内需四个条件同时成立
表 6 根的符号条件（前提：a≠0 且 Δ≥0）
根的情况 需要满足的条件 说明
两根同号 x x =c/a>0（即 ac>0） 还需 Δ≥0
两根异号 x x =c/a<0（即 ac<0） 此时 Δ>0 自动成立，无需再验
两根同为正 c/a>0 且 -b/a>0 即 ac>0、a、b 异号、Δ≥0
两根同为负 c/a>0 且 -b/a<0 即 ac>0、a、b 同号、Δ≥0
一根为 0 c=0 且 a≠0 另一根为 -b/a
互为相反数 b=0 且 c/a≤0 两根为 ±√(-c/a)
互为倒数 c=a 且 Δ≥0 由 x x =1 得 c/a=1
整数根问题的两条通法
通法一（判别式法）：整数系数方程有整数根 Δ 必为完全平方数。设 Δ=n （n 为非负整数），因式分解求参数。
通法二（分离参数法）：把方程变形为 m=g(x) 的形式（m 在左、含 x 的分式在右），再由 x 为整数得"分母必须整除常数"，用因数讨论求参数，最后代回检验。
第 6 节 实际应用的常用模型与结论
图 8 连续两轮增长率模型 a(1+x) =b：基数 a、末数 b、增长率 x 三者知二求一
表 7 应用题等量关系模型
模型 基本量关系 设未知数建议 常见舍根理由
增长率 a(1+x) =b（降低率用 a(1-x) =b） 设平均增长（降低）率为 x 负值、大于 1 的降低率、不合实际的倍数值
销售利润 总利润=(售价-进价)×销量；销量随单价线性变化 设涨价 x 元或直接设售价 x 元 与"让利顾客、薄利多销"要求矛盾的一根
几何面积 矩形面积、靠墙三边围栏、等宽道路平移 设垂直墙的边或直接设所求边 超过墙长/边长为负/超出实际尺寸
数字问题 多位数=100a+10b+c（按位值展开） 设个位（或十位）数字 数字必须为 0~9 的整数
传播问题 两轮共 1+x+x 人（含初始 1 人） 设每轮每人传染 x 人 负值
动点问题 用 t 表示线段长，再表示面积/长度 设运动时间为 t 秒 超出运动总时间、边长为负
勾股/几何综合 a +b =c 或面积公式 设较短边 负值、不符合图形位置的值
应用题的规范书写（四步）
设：写出"设……为 x"并注明单位；列：依据等量关系列出方程并化为一般式；解：求出两个根；验：把两根与实际条件比对，舍去不合实际的根，最后作答。漏写"答"与单位、漏检验是最常见的扣分点。
第三部分 高频易错点警示
表 8 八大易错点与纠正动作
编号 易错表现 典型案例 纠正动作
E1 忽略二次项系数不为 0 "(m-2)x^|m|+3x-1=0 是一元二次方程"只求次数为 2，得 m=±2 不检验 凡二次项含参数，最后一步必写"又 a≠0，故 m=…，m=…舍去"
E2 未化为一般式就抄系数 把 x =3x-1 中的 b 写成 0 任何解法前先去括号、移项、合并，写成 ax +bx+c=0
E3 Δ 计算符号错 b=-3 时把 b 写成 -9；-4ac 漏乘 c 的符号 Δ=(-3) -4×2×(-1)=9+8=17，逐项代入后再合并
E4 两边同除含未知数的因式丢根 x =3x 两边除 x，只留 x=3，丢掉 x=0 一律移项后分解：x(x-3)=0
E5 开平方漏负根 (x-1) =9 只写 x=4 写成 x-1=±3，两个根都要写
E6 韦达定理忘记 Δ≥0 由 x +x 、x x 解出参数后不检验判别式 先用 Δ≥0 圈范围，再对求出的参数逐个检验
E7 增长率与降低率混用 两次降价写成 a(1-2x)=b 两轮变化一律 a(1±x) ，且降低率 0E8 应用题不检验、不作答 保留负根或超墙长的根 解出两根后立即与实际条件比对，写明"不合题意，舍去"
第四部分 题型突破精讲（15 大题型）
每个题型按"题型解读→方法规律→典例精讲→变式训练"四栏编排。典例的【解析与答案】只在教师版给出，学生版在题下留有虚线答题区；变式训练的【参考答案】同样只在教师版给出。
题型 1 一元二次方程的有关概念与一般形式
题型解读
这类题给出一个含字母参数的方程，要求判断或反求参数，使方程满足"一元二次方程"的定义；也可能给出方程的一个根，要求代数式的值。分值不高但几乎每套卷必考，核心陷阱是二次项系数不能为 0。
方法规律
定义型：由"最高次数为 2"列方程（或不等式）求参数，再由"二次项系数≠0"取舍，两个条件必须同时写出。
根代入型：把根代入方程得到关于字母的等式，再用整体代入求值，不要试图先解方程。
化为一般式时按"去括号—移项—合并同类项—按降幂排列"固定顺序书写，避免符号错位。
典例精讲
例 1-1 当 m 取何值时，关于 x 的方程 (m-2)x^|m|+3x-1=0 是一元二次方程？
【解析与答案】
解：由一元二次方程的定义，未知数的最高次数必须是 2，所以 |m|=2，解得 m=2 或 m=-2。
又因为二次项系数 m-2≠0，所以 m≠2，故 m=2 舍去。
答：m=-2。
【方法点拨】本题若只解 |m|=2 而漏掉 m-2≠0，会多写出 m=2 这一错误答案；当 m=2 时原方程变为 3x-1=0，是一次方程（对应易错点 E1）。
例 1-2 已知 a 是方程 x -2x-3=0 的一个根，求代数式 2a -4a+5 的值。
【解析与答案】
解：把 x=a 代入方程，得 a -2a-3=0，即 a -2a=3。
所以 2a -4a+5=2(a -2a)+5=2×3+5=11。
【方法点拨】"是方程的根"最有效的用法就是代入后整体代换，此处不必解出 a=3 或 a=-1（虽然解出也能验证结果一致）。
变式训练
变式 1-1 已知关于 x 的一元二次方程 (k-1)x +2x+k -1=0 的一个根是 0，求 k 的值。
【参考答案】
把 x=0 代入得 k -1=0，k=±1；又 k-1≠0 即 k≠1，所以 k=-1。
变式 1-2 把方程 (2x+1)(2x-1)=3x(x+2) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数与常数项。
【参考答案】
去括号得 4x -1=3x +6x，移项合并得 x -6x-1=0；二次项系数为 1，一次项系数为 -6，常数项为 -1。
题型 2 直接开平方法与配方法
题型解读
凡能写成 (x+m) =n 形式的方程都可以直接开平方；配方法既是解法工具，也是求代数式最值、证明代数式恒正的核心手段，常与二次函数最值问题结合命题。
方法规律
开平方前先确认右边非负：右边为负数时直接判定"无实数根"，不要对负数开平方。
两边是平方形式时（如 (2x-1) =(x+3) ），直接写"底数相等或互为相反数"，比展开配方更快。
配方法五步：化 1、移项、加 (b/2) 、写成平方、开平方；几何直观见图 3（补成正方形）。
典例精讲
例 2-1 用合适的方法解方程 (2x-1) =(x+3) 。
【解析与答案】
解：两边同时开平方，得 2x-1=±(x+3)。
① 2x-1=x+3，解得 x=4；② 2x-1=-(x+3)，即 2x-1=-x-3，3x=-2，解得 x=-2/3。
所以 x =4，x =-2/3。
【方法点拨】若展开后移项用因式分解：[(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)]=0，即 (x-4)(3x+2)=0，结果相同。切忌两边开平方后只写 2x-1=x+3（对应易错点 E5）。
例 2-2 用配方法解方程 2x -4x-3=0，并求代数式 2x -4x+5 的最小值。
【解析与答案】
解方程：两边除以 2，得 x -2x-3/2=0，移项得 x -2x=3/2。
两边同加 1，得 x -2x+1=5/2，即 (x-1) =5/2。
开平方得 x-1=±√10/2，所以 x =1+√10/2，x =1-√10/2。
求最值：2x -4x+5=2(x -2x)+5=2(x-1) +3，因为 (x-1) ≥0，所以当 x=1 时代数式取最小值 3。
【方法点拨】配方后的式子 2(x-1) +3 同时给出对称轴 x=1 与最小值 3，这是配方法的最大价值。
变式训练
变式 2-1 解方程 3(x-2) -27=0。
【参考答案】
移项、系数化 1 得 (x-2) =9，开平方得 x-2=±3，所以 x =5，x =-1。
变式 2-2 用配方法解方程 2x +3x-1=0。
【参考答案】
化为 x +(3/2)x=1/2，两边加 9/16 得 (x+3/4) =17/16，开平方得 x=(-3±√17)/4。
题型 3 公式法与因式分解法
题型解读
公式法是通法，任何一元二次方程都能用；因式分解法更快捷，但只适用于右边为 0 且左边可分解的方程。考试中常要求"用最合适的方法"，能否快速识别结构决定解题速度。
方法规律
公式法必须先把方程化为一般式，再逐个抄写 a、b、c（含符号），先算 Δ 再代入求根公式（见图 19）。
缺常数项（c=0）一律提公因式；能用平方差或完全平方公式的直接用公式；二次三项式分解用十字相乘。
形如 A =kA 的方程必须移项后提取公因式 A，绝不能两边同除 A，否则会丢掉 A=0 这个根（见图 14）。
典例精讲
例 3-1 用适当方法解下列方程：(1) 2x -3x-1=0；(2) 3x -7x+2=0。
【解析与答案】
(1) a=2，b=-3，c=-1，Δ=b -4ac=(-3) -4×2×(-1)=9+8=17>0，
所以 x=(3±√17)/(2×2)=(3±√17)/4，即 x =(3+√17)/4，x =(3-√17)/4。
(2) 用十字相乘：3x -7x+2=(3x-1)(x-2)=0，所以 3x-1=0 或 x-2=0，
解得 x =1/3，x =2。
【方法点拨】第 (1) 题 Δ 不是完全平方数，十字相乘行不通，必须用公式法；第 (2) 题能分解，用分解法更快。判断"能否分解"只需看 Δ 是否为完全平方数。
例 3-2 解方程 (x-3) +2x(x-3)=0。
【解析与答案】
解：把 (x-3) 看作公因式提取，得 (x-3)[(x-3)+2x]=0，即 (x-3)(3x-3)=0。
所以 x-3=0 或 3x-3=0，解得 x =3，x =1。
【方法点拨】若两边同除 (x-3) 会只剩 x=1，直接丢掉 x=3 这个根（对应易错点 E4）。
变式训练
变式 3-1 解方程 (2x+1) =3(2x+1)。
【参考答案】
移项得 (2x+1) -3(2x+1)=0，提取 (2x+1) 得 (2x+1)(2x+1-3)=0，即 (2x+1)(2x-2)=0，所以 x =-1/2，x =1。
变式 3-2 用公式法解方程 x -2√2·x+1=0。
【参考答案】
a=1，b=-2√2，c=1，Δ=8-4=4>0，x=(2√2±2)/2=√2±1，即 x =√2+1，x =√2-1。
题型 4 非标准方程：换元、绝对值、分式与含参讨论
题型解读
方程表面不是一元二次方程，但通过换元（整体代入）、去绝对值、去分母等手段可以化归为一元二次方程求解。这类题考查化归思想，也是压轴小题的常见形式。
方法规律
换元三查：一查新元的取值范围（如 y=|x|≥0、y=x ≥0），二查回代后是否解完，三查是否需要检验（见图 13）。
含绝对值的方程：把含未知数的整体设为新元，或按正负分类讨论，最后用图象数交点验证解的个数（见图 16）。
可化为一元二次方程的分式方程：去分母后必须代入最简公分母检验，使分母为 0 的根是增根，必须舍去。
图 13 换元法的标准流程：设元—解新方程—回代—检验
典例精讲
例 4-1 解方程 (x -x) -4(x -x)-5=0。
【解析与答案】
解：设 y=x -x，原方程化为 y -4y-5=0，即 (y-5)(y+1)=0，得 y =5，y =-1。
回代：① x -x=5，即 x -x-5=0，Δ=1+20=21>0，x=(1±√21)/2；
② x -x=-1，即 x -x+1=0，Δ=1-4=-3<0，此方程无实数根。
所以原方程的实数根为 x =(1+√21)/2，x =(1-√21)/2。
【方法点拨】换元后 y 的两个值不一定都能回代出实根，必须逐个用 Δ 检验，本题 y=-1 就"落空"了。
例 4-2 解方程 (x+1)/(x-1) - 4/(x -1) = 1。
【解析与答案】
解：最简公分母为 (x-1)(x+1)，两边同乘得 (x+1) -4=(x-1)(x+1)，
即 x +2x+1-4=x -1，化简得 2x-3=-1，解得 x=2。
检验：x=2 时 (x-1)(x+1)=3≠0，所以 x=2 是原方程的解。
【方法点拨】若解得的值使 (x-1)(x+1)=0（如 x=1 或 x=-1），必须作为增根舍去；本题解出 x=2 有效。去分母后可能退化为一元一次方程，仍要检验。
变式训练
变式 4-1 解方程 x -|x|-6=0。
【参考答案】
设 t=|x|（t≥0），得 t -t-6=0，即 (t-3)(t+2)=0，t=3（t=-2 不合 t≥0，舍去），所以 |x|=3，x =3，x =-3。
变式 4-2 解方程 (x +2x) -2(x +2x)-3=0。
【参考答案】
设 y=x +2x，得 y -2y-3=0，y=3 或 y=-1。x +2x=3 得 x =1，x =-2；x +2x=-1 即 (x+1) =0 得 x =-1。共三个实数根。
题型 5 判别式与根的情况（含求参数范围）
题型解读
给出根的情况反过来确定参数取值范围，或证明方程恒有两个不相等实根。关键在两点：一是把"根的情况"翻译成 Δ 的不等式，二是二次项系数是否含参数（对应易错点 E1、E6）。
方法规律
"有两个不相等实根" Δ>0 且 a≠0；"有实数根" Δ≥0，若未说明是一元二次方程，还要单独讨论 a=0。
"总有两个不相等实根"类证明题：把 Δ 配方为 (m-k) +t（t>0）的形式，说明恒正。
ac<0 时 Δ>0 恒成立，可在选择题中快速判断（见图 7）。
典例精讲
例 5-1 已知关于 x 的方程 (k-1)x +2x+1=0 有实数根，求 k 的取值范围。
【解析与答案】
解：题目没有说明这是一元二次方程，需分两种情况讨论。
① 当 k-1=0 即 k=1 时，方程为 2x+1=0，解得 x=-1/2，有实数根，符合题意。
② 当 k≠1 时，方程是一元二次方程，需 Δ=2 -4(k-1)×1=8-4k≥0，解得 k≤2 且 k≠1。
综上，k 的取值范围是 k≤2。
【方法点拨】漏掉 k=1 会错答成"k≤2 且 k≠1"。若题目改为"有两个不相等实根"，则答案须写成 k≤2 且 k≠1。
例 5-2 求证：无论 m 取何实数，关于 x 的方程 x -(m+2)x+2m-1=0 总有两个不相等的实数根。
【解析与答案】
证明：Δ=[-(m+2)] -4×1×(2m-1)=m +4m+4-8m+4=m -4m+8。
配方得 Δ=(m-2) +4。
因为无论 m 取何实数，(m-2) ≥0，所以 (m-2) +4≥4>0，即 Δ>0 恒成立。
所以无论 m 取何实数，原方程总有两个不相等的实数根。
【方法点拨】"恒有两个不等实根"的证法固定为：算 Δ→配方→说明恒正。
变式训练
变式 5-1 已知关于 x 的一元二次方程 mx +2x-1=0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。
【参考答案】
由一元二次方程得 m≠0；由 Δ=4+4m>0 得 m>-1。所以 m>-1 且 m≠0。
变式 5-2 若关于 x 的方程 x +2x+m-1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及此时的根。
【参考答案】
Δ=4-4(m-1)=8-4m=0，得 m=2；此时方程为 x +2x+1=0，即 (x+1) =0，所以 x =x =-1。
题型 6 韦达定理：不解方程求对称式的值
题型解读
不解方程，利用 x +x =-b/a、x x =c/a 求含两根的代数式的值。凡是关于 x 、x 的对称式（交换两根后不变的式子）都能用韦达定理整体求出（见图 4、图 5）。
方法规律
先把目标式变形成只含 x +x 与 x x 的形式（见表 5），再整体代入。
求 |x -x | 用 √Δ/|a|，不必解方程；求 1/x +1/x 时先验 x x ≠0（即 c≠0）。
遇到非对称式（如 x +2x ）时不能直接用韦达定理，需借助 Δ 求出两根之差，或先解出具体根。
典例精讲
例 6-1 已知 x 、x 是方程 x -5x+6=0 的两个根，不解方程，求下列各式的值：(1) x +x ；(2) 1/x +1/x ；(3) |x -x |。
【解析与答案】
由根与系数的关系得 x +x =5，x x =6。
(1) x +x =(x +x ) -2x x =25-12=13。
(2) 1/x +1/x =(x +x )/(x x )=5/6。
(3) (x -x ) =(x +x ) -4x x =25-24=1，所以 |x -x |=1（也可直接用 √Δ/|a|=√1/1=1）。
【方法点拨】(1)(2) 是最常考的两类变形；(3) 一定要先平方再开方，且开方取绝对值，结果非负。
例 6-2 已知 x 、x 是方程 2x -3x-1=0 的两个根，求 (x -x ) 与 x x +x x 的值。
【解析与答案】
x +x =-(-3)/2=3/2，x x =-1/2。
(x -x ) =(x +x ) -4x x =9/4+2=17/4。（用 √Δ/|a| 验证：Δ=9+8=17，(√17/2) =17/4，一致。）
x x +x x =x x (x +x )=(-1/2)×(3/2)=-3/4。
【方法点拨】二次项系数不为 1 时，两根之和的负号与分母 a 最容易出错，建议先写出 -b/a、c/a 再代入数值。
变式训练
变式 6-1 已知 x 、x 是方程 x +4x-1=0 的两个根，求 (x +2)(x +2) 的值。
【参考答案】
x +x =-4，x x =-1。(x +2)(x +2)=x x +2(x +x )+4=-1-8+4=-5。
变式 6-2 已知 α、β 是方程 x -x-2023=0 的两个根，求 α -2α-β 的值。
【参考答案】
由 α 是根得 α -α=2023，且 α+β=1。α -2α-β=(α -α)-(α+β)=2023-1=2022。
题型 7 韦达定理进阶：由根的关系求参数与构造新方程
题型解读
已知两根满足某个关系式（差为定值、平方和为定值、互为倒数等），反向确定参数；或以已知方程的两根构造新方程。核心陷阱是求出的参数必须使 Δ≥0（对应易错点 E6）。
方法规律
三步走：先用韦达定理表示和与积→代入关系式解参数→用 Δ≥0 检验取舍。第一步就要把 Δ 的范围写在一旁备用。
构造以 x 、x 为根的方程：x -(x +x )x+x x =0；若新根是原两根的某种变形（如 x +1、x +1），先算新和与新积。
x =x 要拆成 x =x 与 x =-x 两种情况，不要只考虑其中一种。
典例精讲
例 7-1 已知关于 x 的方程 x -(2k+1)x+k +k=0 的两个实数根 x 、x 满足 x x -x -x =1，求 k 的值。
【解析与答案】
由根与系数的关系得 x +x =2k+1，x x =k +k。
又先验判别式：Δ=(2k+1) -4(k +k)=4k +4k+1-4k -4k=1>0，所以对任意 k 方程都有两个不相等实根。
代入条件：k +k-(2k+1)=1，即 k -k-2=0，(k-2)(k+1)=0，解得 k =2，k =-1。
经检验，两个值都满足 Δ>0，所以 k=2 或 k=-1。
【方法点拨】本题 Δ=1 恒为正，故两根均合法；若 Δ 含参数，必须逐个代入检验。
例 7-2 已知关于 x 的方程 x +(2m-1)x+m =0 的两个实数根 x 、x 满足 x =x ，求 m 的值。
【解析与答案】
x =x 说明 x =x 或 x =-x ，分两种情况。
① 若 x =x ，则方程有两个相等的实数根，Δ=(2m-1) -4m =1-4m=0，解得 m=1/4。
② 若 x =-x ，则 x +x =0，即 -(2m-1)=0，解得 m=1/2；此时 Δ=1-4×(1/2)=-1<0，方程无实数根，舍去。
综上，m=1/4。
【方法点拨】m=1/2 是本题设计的"陷阱答案"，只有把 Δ≥0 写在前面的同学才能排除（对应易错点 E6）。
变式训练
变式 7-1 已知关于 x 的方程 x +2x+m-1=0 的一个根是 2，求另一个根及 m 的值。
【参考答案】
设另一根为 x ，由 x +x =-2 得 2+x =-2，x =-4；由 x x =m-1 得 2×(-4)=m-1，m=-7。检验 Δ=4-4(m-1)=36>0 成立。
变式 7-2 已知 x 、x 是方程 x -2kx+k +2k-1=0 的两个实数根，且 x +x =2，求 k 的值。
【参考答案】
x +x =2k，x x =k +2k-1。x +x =4k -2(k +2k-1)=2k -4k+2=2(k-1) =2，得 k=0 或 k=2。Δ=4k -4(k +2k-1)=4-8k≥0，得 k≤1/2，故 k=2 舍去，k=0。
题型 8 根的符号与区间分布
题型解读
判断或控制两根的正负、以及两根落在哪个区间内。符号问题用韦达定理即可；区间问题需要结合抛物线图象，从判别式、对称轴、端点函数值三方面同时列条件（见图 6）。
方法规律
符号类：同号看积、异号看积为负（此时 Δ>0 自动成立）、同正再加"和为正"、同负再加"和为负"。
区间类：一根大于 1 一根小于 1 的充要条件是 a·f(1)<0；两根都在 (m,n) 内需要 Δ≥0、m<-b/(2a)0、a·f(n)>0 四个条件同时成立。
解含参数的不等式组时，把每个条件单独解出后再取交集，避免漏掉 Δ。
典例精讲
例 8-1 已知关于 x 的方程 x -2x+a-1=0。
(1) 若两根异号，求 a 的取值范围；(2) 若两根都是正数，求 a 的取值范围。
【解析与答案】
(1) 两根异号 x x =a-1<0，解得 a<1。（此时 ac<0，Δ=4-4(a-1)>0 自动成立，无需另外限制。）
(2) 两根同为正数需同时满足：x x =a-1>0，x +x =2>0，Δ=4-4(a-1)=8-4a≥0。
由 a-1>0 得 a>1；由 8-4a≥0 得 a≤2；x +x =2>0 恒成立。取交集得 1【方法点拨】第 (1) 问用了"异号则 Δ>0 自动成立"的简化结论；第 (2) 问若漏掉 Δ≥0，会多写出 a>2 那一段。
例 8-2 已知关于 x 的方程 x -2mx+m -1=0 的一个根大于 1，另一个根小于 1，求 m 的取值范围。
【解析与答案】
设 f(x)=x -2mx+m -1，二次项系数 a=1>0，抛物线开口向上。
一根大于 1、一根小于 1 的充要条件是 f(1)<0，
即 1-2m+m -1<0，m -2m<0，m(m-2)<0，解得 0所以 m 的取值范围是 0【方法点拨】开口向上时 f(1)<0 已能保证 Δ>0（顶点在 x 轴下方），不必再单独写 Δ>0。
变式训练
变式 8-1 已知关于 x 的方程 x +(m-3)x+m=0 的两个根都是负数，求 m 的取值范围。
【参考答案】
需 x x =m>0，x +x =3-m<0（即 m>3），Δ=(m-3) -4m=m -10m+9=(m-1)(m-9)≥0（即 m≤1 或 m≥9）。取交集得 m≥9。
变式 8-2 已知关于 x 的方程 x -4x+a=0 的两个根都在 1 与 3 之间（含 1 与 3 以外），求 a 的取值范围。
【参考答案】
四条件：Δ=16-4a≥0 a≤4；对称轴 x=2 在 (1,3) 内成立；f(1)=1-4+a=a-3>0 a>3；f(3)=9-12+a=a-3>0 a>3。取交集得 3题型 9 整数根与有理根问题
题型解读
要求方程的根为整数（或有理数），并据此确定整数参数的值。这类题把方程与整数的整除性结合起来，是九年级期中、期末试卷中区分度最高的一类。
方法规律
通法一：整数系数方程有整数根 判别式 Δ 必为完全平方数。设 Δ=n （n 为非负整数），移项后用平方差因式分解求参数。
通法二：用求根公式把根表示成含参数的分式，分离常数（如 2-1/m），由"分母整除常数"确定参数取值。
无论哪种通法，求出的参数都必须代回原方程检验根是否真为整数，并检验二次项系数是否为 0。
典例精讲
例 9-1 已知关于 x 的方程 mx -(3m-1)x+2m-2=0。
(1) 求证：无论 m 取何实数，该方程都有实数根；(2) 若该方程的两个根都是整数，且 m 为整数，求 m 的值。
【解析与答案】
(1) 证明：需要分两种情况讨论。当 m=0 时，原方程化为 x-2=0，解得 x=2，有实数根；当 m≠0 时，方程是一元二次方程，Δ=(3m-1) -4m(2m-2)=9m -6m+1-8m +8m=m +2m+1=(m+1) ≥0，方程也有实数根。所以无论 m 取何实数，该方程都有实数根。
(2) 当 m≠0 时，由求根公式得 x=[(3m-1)±(m+1)]/(2m)，所以 x =(4m-2)/(2m)=2-1/m，x =(2m-2)/(2m)=1-1/m。
两根都是整数，则 1/m 必须是整数，又 m 为整数，所以 m=±1。
检验：m=1 时两根为 1 和 0，均为整数；m=-1 时两根为 3 和 2，均为整数。所以 m=1 或 m=-1。
【方法点拨】把根写成整数±1/m 的形式（分离常数）是整数根问题的标准突破口；m=0 时方程退化为一次方程，也必须单独说明。
例 9-2 已知 m 为整数，关于 x 的方程 x +mx+m+2=0 的两个根都是整数，求 m 的值。
【解析与答案】
设 Δ=m -4(m+2)=m -4m-8=n （n 为非负整数），
配方得 (m-2) -12=n ，即 (m-2) -n =12，(m-2+n)(m-2-n)=12。
两个因子的和为 2(m-2)（偶数），故两因子同奇偶，只能是同偶，于是分组为 2×6 或 (-2)×(-6)。
① m-2+n=6 且 m-2-n=2，两式相加得 2(m-2)=8，m=6；② 两式都为负时得 2(m-2)=-8，m=-2。
检验：m=6 时方程为 x +6x+8=0，根为 -2、-4，都是整数；m=-2 时方程为 x -2x=0，根为 0、2，都是整数。
所以 m=6 或 m=-2。
【方法点拨】"Δ 设为完全平方数 + 平方差分解 + 奇偶讨论"是整数根问题的通法，缺一步就会漏解或多解。
变式训练
变式 9-1 m 取任意整数时，方程 x -(2m-1)x+m -m=0 的两根是否都是整数？请说明理由。
【参考答案】
Δ=(2m-1) -4(m -m)=1，x=[(2m-1)±1]/2=m 或 m-1，是两个相邻整数。所以不论 m 取何整数，两根都是整数。
变式 9-2 已知 a 为整数，关于 x 的方程 x +(a-3)x+2a-4=0 的两个根都是整数，求 a 的值。
【参考答案】
Δ=(a-3) -4(2a-4)=a -14a+25=n ，配方得 (a-7) -n =24，(a-7+n)(a-7-n)=24。两因子同偶：可取 12×2、6×4 及它们的相反数，解得 a=14、12、0、2。逐个代回检验：a=14 时根为 -3、-8；a=12 时根为 -4、-5；a=0 时根为 4、-1；a=2 时根为 1、0，均符合。所以 a=14、12、0 或 2。
题型 10 方程背景下的代数式求值与变形
题型解读
已知某数是方程的根，或已知两根，求某个代数式的值。式子可能不是关于两根对称的，也可能通过"整体代换 + 韦达定理"混合求解，是选择题压轴的常客。
方法规律
单个根代入：把根代入方程得到"降次关系"（如 m =5-2m），用它把高次降为一次再合并。
非对称式（如 x +2x ）：拆成 (x +x )+x 或利用两根之差 x =(和+差)/2 求出具体根；两根之差用 √Δ/|a|。
"同结构、不同字母"型（如 a +a-1=0 与 b +b-1=0 且 a≠b）：立刻把 a、b 看作同一方程的两根，转用韦达定理。
典例精讲
例 10-1 已知 m、n 是方程 x +2x-5=0 的两个实数根，求 m +3m+n 的值。
【解析与答案】
因为 m 是方程的根，所以 m +2m-5=0，即 m +2m=5，从而 m =5-2m。
于是 m +3m+n=(5-2m)+3m+n=5+m+n。
由根与系数的关系得 m+n=-2，所以原式=5+(-2)=3。
【方法点拨】"降次"与"韦达"两条路合流：高次用代入降次，一次项之和用韦达定理。
例 10-2 已知 x 、x 是方程 x -4x+1=0 的两个实数根，且 x 【解析与答案】
x +x =4，两根之差 |x -x |=√Δ/|a|=√(16-4)=2√3。
由 x 所以 x +2x =(2-√3)+2(2+√3)=2-√3+4+2√3=6+√3。
【方法点拨】非对称式不能直接套用和与积，必须靠"和 + 差"确定具体根；解方程 x=2±√3 也可，但用差值更快。
变式训练
变式 10-1 已知 a +a-1=0，b +b-1=0，且 a≠b，求 1/a+1/b 的值。
【参考答案】
a、b 是方程 x +x-1=0 的两个不相等实根（Δ=5>0），a+b=-1，ab=-1。1/a+1/b=(a+b)/(ab)=(-1)/(-1)=1。
变式 10-2 已知关于 x 的方程 x +2x+k-1=0 的两个实数根满足 x +x -x x =3，求 k 的值。
【参考答案】
x +x =-2，x x =k-1。代入得 -2-(k-1)=3，解得 k=-4。检验 Δ=4-4(k-1)=8-4k=24>0 成立，所以 k=-4。
题型 11 增长率与百分率问题
题型解读
连续两轮相同增长（降低）率问题，是中考应用题最稳定的题型之一。列方程的关键是分清"基数 a、末数 b、轮次 2"，用 a(1±x) =b 直接列出（见图 8）。
方法规律
增长用 1+x，降低用 1-x；两轮就是平方，不是乘 2（对应易错点 E7）。
形如 (1+x) =k 的方程直接开平方，只取使 1+x>0 的根，另一根因率为负（或超过 100%）舍去。
两轮率不同用 a(1+x)(1+y)=b；求"平均每次降低率"即令两轮率相同。
典例精讲
例 11-1 某公司 2024 年的年利润为 100 万元，2026 年的年利润为 144 万元。若这两年利润的平均年增长率相同，求这个平均年增长率。
【解析与答案】
设平均年增长率为 x，根据题意得 100(1+x) =144，
即 (1+x) =1.44，开平方得 1+x=±1.2，解得 x =0.2=20%，x =-2.2。
因为增长率 x>0，且 x =-2.2 不合实际意义，舍去。
答：这个平均年增长率为 20%。
【方法点拨】从 2024 年到 2026 年经历了两轮增长，所以是平方；若写成 100(1+2x)=144 就错了。
例 11-2 某种药品经过两次降价后，零售价由每盒 50 元降到 32 元，已知两次降价的百分率相同。
(1) 求平均每次降价的百分率；(2) 若按同样的百分率再降价一次，每盒价格为多少元？
【解析与答案】
(1) 设平均每次降价的百分率为 x（0即 (1-x) =0.64，开平方得 1-x=±0.8。由 00，取 1-x=0.8，解得 x=0.2=20%（另一解 x=1.8 不合题意，舍去）。
(2) 再降价一次后的价格为 32×(1-20%)=32×0.8=25.6（元）。
答：平均每次降价 20%，再降一次后每盒 25.6 元。
【方法点拨】第 (2) 问是"在第 (1) 问基础上再来一轮"，直接用末数乘 (1-x) 即可，不必重新列方程。
变式训练
变式 11-1 某工厂 2024 年的产品产量为 a 吨，连续两年以相同的增长率增长，两年后的产量是第一年的 2.25 倍，求年平均增长率。
【参考答案】
设增长率为 x，则 a(1+x) =2.25a，(1+x) =2.25，1+x=1.5（负值舍去），x=0.5=50%。
变式 11-2 某商品原价每件 100 元，经过两次降价后每件 81 元，若两次降价百分率相同，求平均每次降价的百分率。
【参考答案】
设百分率为 x，100(1-x) =81，(1-x) =0.81，1-x=0.9（负值舍去），x=0.1=10%。
题型 12 销售利润与方案决策
题型解读
商品售价变化会引起销量线性变化，用"总利润=(售价-进价)×销量"列一元二次方程；题目常附带"让顾客得实惠""薄利多销""售价不高于某值"等限制，需要在两个根中进行取舍（见图 9）。
方法规律
设"涨价 x 元"时售价为 (原售价+x)，销量为 (原销量-kx)；设"售价为 x 元"时销量为 原销量-k(x-原售价)。两种设法结果一致，但表达式不同，务必先列表梳理。
给出限制条件（让利、不高于、不低于）后，两个根只能取符合条件的那一个，作答时要写明取舍理由。
若问"最大利润"，把 W 配方成 W=a(x-h) +k 后判断顶点横坐标是否落在自变量取值范围内。
图 9 利润 W 随售价 x 变化的图象：顶点决定最大利润，水平线与图象的交点个数决定方案数
典例精讲
例 12-1 某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 50 元时，每月可卖出 300 件；市场调查发现，售价每上涨 1 元，月销量就减少 10 件。若该商店希望这种商品月利润为 3750 元，且让顾客尽量得到实惠，售价应定为每件多少元？
【解析与答案】
设售价定为每件 x 元，则每件利润为 (x-40) 元，月销量为 300-10(x-50)=(800-10x) 件。
根据题意得 (x-40)(800-10x)=3750，
整理得 x -120x+3575=0，解得 x =55，x =65。
因为要让顾客尽量得到实惠，售价应取较低值，所以 x=65 舍去。
答：售价应定为每件 55 元。
【方法点拨】x=65 时销量 150 件、每件利润 25 元；x=55 时销量 250 件、每件利润 15 元，两者利润同为 3750 元，取舍依据是题目的实际要求（对应易错点 E8）。
例 12-2 在例 12-1 的条件下，售价定为多少元时月利润最大？最大月利润是多少元？
【解析与答案】
设月利润为 W 元，则 W=(x-40)(800-10x)=-10x +1200x-32000，
配方得 W=-10(x-60) +4000。
因为 a=-10<0，抛物线开口向下，且自变量的实际范围为 40≤x≤80，顶点横坐标 x=60 在此范围内，
所以当售价定为 60 元时月利润最大，最大月利润为 4000 元。
【方法点拨】配方后 -10(x-60) +4000 同时给出"取最值的售价"和"最值本身"，无需再列表尝试。
变式训练
变式 12-1 某商品进价每件 30 元，按每件 40 元出售时每周可卖出 500 件；若售价每降低 1 元，每周可多卖出 100 件。要使这种商品每周利润为 5600 元且薄利多销，售价应定为每件多少元？
【参考答案】
设售价为 x 元，则 (x-30)[500+100(40-x)]=5600，即 (x-30)(4500-100x)=5600，整理得 x -75x+1406=0，Δ=1，x=(75±1)/2=38 或 37。薄利多销应取较低售价，所以售价定为 37 元。
变式 12-2 某商品进价每件 30 元，按每件 40 出售时每月卖 100 件，售价每上涨 2 元少卖 10 件；规定售价不得高于每件 45 元。若该商品每月利润为 1000 元，求售价。
【参考答案】
设售价为 x 元（40≤x≤45），销量为 100-5(x-40)=(300-5x) 件。(x-30)(300-5x)=1000，整理得 x -90x+2000=0，(x-40)(x-50)=0，x=40 或 x=50。因 x≤45，舍去 x=50，所以售价为每件 40 元。
题型 13 几何图形中的面积与围栏问题
题型解读
矩形面积、靠墙围栏、等宽道路、图形剪拼等问题都要用含未知数的代数式表示边长，再由面积公式列一元二次方程。图形的长度限制是舍根依据（见图 10）。
方法规律
靠墙围栏：设垂直墙的边为 x，则平行墙的边为总长-2x；或设平行墙的边为 x，则垂直墙的边为 (总长-x)/2。列式后必须用墙长限制取舍。
等宽道路：用平移法把道路平到边缘，草地变成 (长-路宽)(宽-路宽) 的矩形，等量关系立刻清晰。
用字母表示边长时要保证各边为正，最后对两根逐一检验（对应易错点 E8）。
图 10 靠墙围栏：解出 x=4 或 x=16 后，须用"墙可用长度 12 m"舍去 x=16
典例精讲
例 13-1 某农户要用总长 20 m 的篱笆围一个矩形菜园（一面利用原有围墙，墙可利用的长度为 12 m），要使菜园面积为 32 m ，平行于墙的一边应取多长？
【解析与答案】
设平行于墙的一边长为 x m，则垂直于墙的两边各长 (20-x)/2 m。
根据题意得 x·(20-x)/2=32，整理得 x -20x+64=0，即 (x-4)(x-16)=0，
解得 x =4，x =16。
因为墙可利用的长度只有 12 m，x=16>12 不合题意，舍去；所以 x=4，此时 (20-4)/2=8（m）。
答：平行于墙的一边取 4 m，垂直于墙的两边各 8 m（面积 4×8=32 m ，符合）。
【方法点拨】本题若不看墙长限制，会得到两个都"合法"的答案；应用题中"图形能否存在"就是检验标准。
例 13-2 一块长 20 m、宽 12 m 的矩形地面，计划修两条互相垂直且等宽的道路（分别与两组对边平行），余下部分铺草坪，要使草坪面积为 180 m ，道路宽应为多少米？
【解析与答案】
设道路宽为 x m。用平移法把两条道路平移到矩形边缘，草坪拼成一个长 (20-x) m、宽 (12-x) m 的矩形，
根据题意得 (20-x)(12-x)=180，
整理得 x -32x+60=0，即 (x-2)(x-30)=0，解得 x =2，x =30。
因为道路宽不能超过矩形的宽 12 m，所以 x=30 不合题意，舍去。
答：道路宽应为 2 m。
【方法点拨】平移法是道路问题的通法，比"总面积减道路面积（含重复减去交叉部分）"更快且不易出错。
变式训练
变式 13-1 用长 30 m 的篱笆围成一个矩形菜地，并在中间平行于宽的方向加一道隔墙把它分成两块，若菜地总面积为 36 m ，求矩形菜地的宽。
【参考答案】
设宽为 x m（共 3 条宽），则长为 (30-3x)/2 m。x(30-3x)/2=36，整理得 x -10x+24=0，x=4 或 x=6。检验：x=4 时长为 9 m，x=6 时长为 6 m，均合理，故宽为 4 m 或 6 m。
变式 13-2 把一根长 40 cm 的铁丝围成一个面积为 96 cm 的矩形框，求这个矩形的长和宽。
【参考答案】
设一边长为 x cm，则另一边为 (20-x) cm。x(20-x)=96，整理得 x -20x+96=0，(x-8)(x-12)=0，x=8 或 12。所以长 12 cm、宽 8 cm。
题型 14 动点、数字与传播等其他实际应用
题型解读
统一用"设时间 t（或设数字）—用 t 表示线段长—列面积/数量等量关系"三步解决。动点问题的定义域、数字问题的位数限制、传播问题的轮次结构是三个不同的失分点（见图 11、图 12、图 17）。
方法规律
动点：先写 t 的取值范围，再把每条线段用 t 表示（注意"剩余长度=总长-已走路程"），最后列方程并舍去超出范围的根。
传播：每轮每人传染 x 人时，两轮共 1+x+x 人（含最初 1 人），可借助树状图数清人数（见图 12）。
数字：多位数必须按位值展开，如三位数=100a+10b+c，绝不能写成 abc（见图 17）。
图 11 动点问题：BP=7-t、BQ=5-t，面积 S 随 t 变化，S=4 时只有 t=3 在 0≤t≤5 内
图 12 传播模型的树状结构：每轮每人传染 x 人，两轮合计 1+x+x 人
图 17 数字问题的位值表示：多位数必须按 100a+10b+c 展开
典例精讲
例 14-1 如图 11-1，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=7 cm，BC=5 cm。点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动。求运动几秒时，△PBQ 的面积等于 4 cm 。
【解析与答案】
设运动 t 秒时△PBQ 的面积为 4 cm ，由题意知 0≤t≤5（Q 到 B 时运动结束）。
此时 BP=AB-AP=7-t，BQ=BC-CQ=5-t。
根据题意得 (7-t)(5-t)=4，即 t -12t+35=8，整理得 t -12t+27=0，
(t-3)(t-9)=0，解得 t =3，t =9。
因为 0≤t≤5，所以 t=9 不合题意，舍去。
答：运动 3 秒时△PBQ 的面积等于 4 cm 。
【方法点拨】写定义域 0≤t≤5 是本题的得分点之一；t 表示时间，BP 与 BQ 都应是"总长减去已走的 t"。
例 14-2 有一人患流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感（含最初患者）。若每轮传染中平均一个人传染的人数相同，求平均一个人传染了几个人。
【解析与答案】
设平均每轮一人传染 x 人（x 为正整数），如图 12 所示。
第一轮新增 x 人，第二轮新增 x 人，共 1+x+x 人患病。
根据题意得 1+x+x =121，整理得 x +x-120=0，即 (x-10)(x+11)=0，
解得 x =10，x =-11。因为人数不能为负，所以 x=-11 舍去。
答：平均每轮一人传染 10 个人。
【方法点拨】若题目说"另外新增 121 人"，则方程应写成 x+x =121；读题时必须确认是否含最初患者。
变式训练
变式 14-1 一个两位数，个位数字比十位数字大 2，且个位数字与十位数字的积等于 24，求这个两位数。
【参考答案】
设十位数字为 x（1≤x≤7 的整数），则个位数字为 x+2。x(x+2)=24，整理得 x +2x-24=0，(x+6)(x-4)=0，x=4（x=-6 不合数字要求，舍去）。所以这个两位数是 46。
变式 14-2 一块矩形场地，长比宽多 5 m，面积为 104 m ，求这块场地的长与宽。
【参考答案】
设宽为 x m，则长为 (x+5) m。x(x+5)=104，整理得 x +5x-104=0，Δ=25+416=441=21 ，x=(-5±21)/2，取正根 x=8（x=-13 舍去）。所以宽 8 m、长 13 m。
题型 15 新定义与阅读理解探究题
题型解读
给出一段材料或一个新概念（如"和根方程""差根方程"），要求现学现用。题目本身不难，关键是准确翻译定义中的条件，并把它转化为方程或不等式（见图 15）。
方法规律
新定义类：先把定义拆成"条件 1、条件 2"，逐条对照；凡涉及"有两个实数根"的要求，先验 Δ≥0 再讨论关系式。
阅读理解类：材料给的是方法（配方法、整体代入、图象法），第一问照搬方法验证，第二问把方法迁移到新问题。
判断方程解的个数时，把方程两边看作两个函数，用图象数交点（见图 15、图 16），比解方程更直观。
图 15 解方程 x -2x-3=1 即求抛物线与直线 y=1 交点的横坐标
典例精讲
例 15-1 新定义：若一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）有两个实数根 x 、x ，且满足 x +x =x x ，则称这个方程为"和根方程"。
(1) 判断方程 x -4x+4=0 是否为"和根方程"，并说明理由；(2) 若关于 x 的方程 x -mx+2m-4=0 是"和根方程"，求 m 的值。
【解析与答案】
(1) 是。理由：方程 x -4x+4=0 的判别式 Δ=16-16=0，有两个相等的实数根，
由根与系数的关系得 x +x =4，x x =4，满足 x +x =x x ，所以它是"和根方程"。
(2) 由定义需先保证方程有实数根：Δ=(-m) -4(2m-4)=m -8m+16=(m-4) ≥0 恒成立，所以恒有实数根。
两根之和为 m，两根之积为 2m-4，由定义得 m=2m-4，解得 m=4。
检验：m=4 时 Δ=(4-4) =0≥0，符合定义。所以 m=4（此时方程为 x -4x+4=0，正是第 (1) 问的方程）。
例 15-2 阅读理解：求代数式 x -6x+10 的最小值。解：x -6x+10=(x-3) +1，因为 (x-3) ≥0，所以最小值为 1。请仿照上述方法解决：
(1) 求代数式 -2x +8x-5 的最大值；(2) 用长 20 m 的篱笆围一个三面围栏的矩形场地（一面靠墙），求面积的最大值及此时各边的长。
【解析与答案】
(1) -2x +8x-5=-2(x -4x)-5=-2(x-2) +8-5=-2(x-2) +3。
因为 -2(x-2) ≤0，所以当 x=2 时，代数式取最大值 3。
(2) 设平行于墙的一边长 x m，则垂直于墙的两边各 (20-x)/2 m，
面积 S=x(20-x)/2=- (x -20x)=- (x-10) +50。
因为 - <0，所以当 x=10 时 S 取最大值 50，此时垂直于墙的两边各 (20-10)/2=5（m）。
答：面积最大值为 50 m ，此时平行墙的边为 10 m，垂直墙的两边各 5 m。
【方法点拨】材料提供的是"配方法求最值"，迁移时先配方、再判断二次项系数的符号确定是最大值还是最小值。
变式训练
变式 15-1 新定义：若一元二次方程有两个实数根 x 、x 且 |x -x |=1，则称该方程为"差根方程"。已知关于 x 的方程 x +kx+k-1=0 是"差根方程"，求 k 的值。
【参考答案】
Δ=k -4(k-1)=k -4k+4=(k-2) ≥0，恒有实根。|x -x |=√Δ/|a|=|k-2|=1，解得 k=3 或 k=1。
变式 15-2 结合图 16 判断：关于 x 的方程 |x -2x-3|=k 有三个解时 k 的值，以及有四个解时 k 的取值范围。
【参考答案】
y=|x -2x-3| 的图象在 x 轴上方的"翻折峰顶"为 (1,4)。与水平线 y=k 恰有三个交点时 k=4；有四个交点时 0第五部分 全章综合自测（12 题，建议 45 分钟）
一、选择题
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　）
A. x +1/x=0　　B. ax +bx+c=0　　C. (x-1)(x+2)=x 　　D. (x-1) =2x
【解析与答案】
选 D。
A 中未知数在分母上，是分式方程；B 中未说明 a≠0，a=0 时不是二次方程；C 化简得 x-2=0（二次项抵消），是一次方程；D 化为 x -4x+1=0，是标准的一元二次方程。
2. 一元二次方程 x -4x+7=0 的根的情况是（　）
A. 有两个不相等的实数根　B. 有两个相等的实数根　C. 没有实数根　D. 只能确定一个根
【解析与答案】
选 C。Δ=(-4) -4×1×7=16-28=-12<0，方程没有实数根（也可由 x -4x+7=(x-2) +3>0 恒成立判断）。
3. 已知 x 、x 是方程 x -2x-5=0 的两个实数根，则 x +x 的值是（　）
A. 14　　B. 4　　C. -10　　D. -6
【解析与答案】
选 A。x +x =2，x x =-5，x +x =(x +x ) -2x x =4+10=14。
4. 某种商品原价每件 200 元，连续两次降价 a% 后每件 148 元，则可列方程（　）
A. 200(1-a%) =148　B. 200(1-a%)=148　C. 200(1-2a%)=148　D. 200(1+a%) =148
【解析与答案】
选 A。连续两次同样百分率的降价属于 a(1-x) =b 模型，其中 x=a%；选项 C 是最常见的错误写法（对应易错点 E7）。
二、填空题
5. 方程 x =3x 的解是 __________。
【解析与答案】
x =0，x =3。（移项分解为 x(x-3)=0，切忌两边同除 x 而丢 x=0 的根。）
6. 若关于 x 的方程 x +2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 __________。
【解析与答案】
m≤1。（Δ=4-4m≥0 解得 m≤1。）
7. 请写出一个以 2 和 -3 为两根的一元二次方程：__________。
【解析与答案】
x +x-6=0。（两根之和为 -1，两根之积为 -6，代入 x -(和)x+积=0 即可；答案不唯一，其非零倍数均可。）
8. 已知实数 a、b 满足 a -2a-5=0，b -2b-5=0 且 a≠b，则 1/a+1/b 的值是 __________。
【解析与答案】
-2/5。（a、b 可看作方程 x -2x-5=0 的两个不相等实根，a+b=2，ab=-5，1/a+1/b=(a+b)/(ab)=2/(-5)=-2/5。）
三、解答题
9. 用适当的方法解下列方程：
(1) x -6x+5=0；　(2) 2y +4y-1=0；　(3) (x-2) =3(x-2)；　(4) x -4|x|+3=0。
【解析与答案】
(1) 分解得 (x-1)(x-5)=0，x =1，x =5。
(2) a=2，b=4，c=-1，Δ=16+8=24>0，y=(-4±2√6)/4=(-2±√6)/2。
(3) 移项得 (x-2) -3(x-2)=0，提取 (x-2) 得 (x-2)(x-5)=0，x =2，x =5。
(4) 设 t=|x|（t≥0），t -4t+3=0，(t-1)(t-3)=0，t=1 或 t=3，所以 x=±1 或 x=±3，共四个实数根。
10. 已知关于 x 的方程 x -(2k+1)x+k +k=0。
(1) 求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 若该方程有一个根为 2，求 k 的值及另一个根。
【解析与答案】
(1) 证明：Δ=(2k+1) -4(k +k)=4k +4k+1-4k -4k=1>0，
所以无论 k 取何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 把 x=2 代入得 4-2(2k+1)+k +k=0，即 k -3k+2=0，(k-1)(k-2)=0，解得 k=1 或 k=2。
当 k=1 时方程为 x -3x+2=0，另一根为 1；当 k=2 时方程为 x -5x+6=0，另一根为 3。
所以 k=1 时另一根为 1，k=2 时另一根为 3（也可用 x +x =2k+1 直接得另一根为 2k-1）。
11. 某商店销售一种台灯，每盏进价 40 元。当售价为每盏 50 元时每月可卖出 300 盏；售价每上涨 1 元，月销量就减少 10 盏。
(1) 要使这种台灯月利润为 3750 元且让顾客尽量得到实惠，售价应定为每盏多少元？(2) 售价定为多少元时月利润最大？最大月利润是多少？
【解析与答案】
(1) 设售价为每盏 x 元，则 (x-40)[300-10(x-50)]=3750，即 (x-40)(800-10x)=3750，
整理得 x -120x+3575=0，解得 x =55，x =65。让顾客得到实惠，取 x=55，所以售价定为 55 元。
(2) 设月利润为 W 元，W=-10x +1200x-32000=-10(x-60) +4000。
因为 a=-10<0 且 40≤x≤80，顶点 x=60 在范围内，所以售价为 60 元时月利润最大，最大月利润为 4000 元。
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x -(m+1)x+m=0 的两个实数根 x 、x 恰好是一个直角三角形的两条直角边的长。
(1) 用含 m 的式子表示 x +x 与 x x ；(2) 若该直角三角形斜边长为 √10，求 m 的值及这两条直角边的长。
【解析与答案】
(1) x +x =m+1，x x =m。（Δ=(m+1) -4m=(m-1) ≥0，恒有两个实数根。）
(2) 由勾股定理 x +x =10，即 (x +x ) -2x x =(m+1) -2m=m +1=10，
解得 m=3 或 m=-3。
因为 x 、x 是边长，必须为正数，所以 x +x =m+1>0 且 x x =m>0，得 m>0，故 m=-3 舍去，m=3。
此时方程为 x -4x+3=0，解得 x =1，x =3，即两条直角边长分别为 1 和 3。
第六部分 题型—通法—易错—配图 速查表
表 9 全章题型速查
题型 识别信号 首选通法 易错编号 配图
1 概念与一般形式 含参方程、"是/不是"一元二次方程 次数为 2 + 系数≠0 联立；根代入整体求值 E1、E2 图 18
2 开平方与配方 (x+m) =n；求代数式最值 开平方取 ±；配方法五步 E5 图 3
3 公式法与分解法 一般式三项齐全 / 右边为 0 先验 Δ 再套公式；提公因式与十字相乘 E3、E4 图 19、图 14
4 非标准方程 重复结构、绝对值、分母含未知数 换元三查；分类讨论；去分母后验增根 — 图 13、图 16
5 判别式与根的情况 "有两个…实根"、证明恒成立 Δ 翻译成不等式；Δ 配方证恒正 E1、E3 图 1、图 7
6 韦达定理基础 不解方程求代数式的值 凑成和与积；|x -x |=√Δ/|a| — 图 4、图 5
7 韦达定理进阶 给出两根的关系求参数 先写 Δ≥0 范围，再解参数逐个检验 E6 图 4
8 根的符号与分布 两根同号/异号、落在某区间 符号看积与和；区间看 Δ、对称轴、端点值 — 图 6
9 整数根 参数为整数、根为整数 Δ=完全平方数 + 平方差分解；分离常数法 — —
10 代数式求值变形 某数是根、非对称式、同结构不同字母 代入降次 + 韦达；转化为同方程两根 — —
11 增长率百分率 连续两轮、原价现价 a(1±x) =b，开平方取合理根 E7、E8 图 8
12 销售利润方案 涨价少卖、让利、售价上限 利润=(价-本)×销量；两根按条件取舍 E8 图 9
13 面积与围栏 靠墙、道路、篱笆 用总长表示边长；平移法处理道路 E8 图 10
14 动点数字传播 运动时间、多位数、传染轮次 先写定义域；位值展开；1+x+x E8 图 11、图 12、图 17
15 新定义阅读理解 新概念、材料给方法 拆条件、先验 Δ；方法照搬后迁移 E6 图 15、图 16
使用建议：考前先看表 8 的八条易错点与表 9 的"首选通法"列，再回到对应题型重做典例；错题若属于同一编号，说明该处需要专项加练。
第 页 共 页一元二次方程专题讲义
—— 概念解法 · 判别式 · 根与系数 · 根的分布 · 实际应用 ——
学 生 版（解析与答案另行配套）
项目 内容
讲义定位 九年级一元二次方程全章复习与题型突破（人教、北师大、苏科版通用）
编排结构 知识清单 6 节 → 易错警示 8 条 → 题型精讲 15 个 → 综合自测 12 题 → 速查表
训练体量 典例精讲 30 例 · 变式训练 30 题 · 综合自测 12 题
图表配套 程序绘制配图 19 幅（图 1—图 19）· 结构化对照表 9 张
两版差异 教师版含【解析与答案】【参考答案】；学生版整块剔除并在题下留虚线答题区
建议用法 自查知识清单 → 按题型限时做变式 → 综合自测 45 分钟 → 按速查表复盘错题
目 录
第一部分 讲义使用说明 3
第二部分 知识清单 4
第 1 节 一元二次方程的概念与一般形式 4
第 2 节 解法体系：五种方法的选择与操作 5
第 3 节 判别式与根的情况 7
第 4 节 根与系数的关系（韦达定理） 9
第 5 节 根的符号、区间分布与整数根 10
第 6 节 实际应用的常用模型与结论 11
第三部分 高频易错点警示 13
第四部分 题型突破精讲（15 大题型） 14
题型 1 一元二次方程的有关概念与一般形式 14
题型 2 直接开平方法与配方法 15
题型 3 公式法与因式分解法 16
题型 4 非标准方程：换元、绝对值、分式与含参讨论 17
题型 5 判别式与根的情况（含求参数范围） 19
题型 6 韦达定理：不解方程求对称式的值 20
题型 7 韦达定理进阶：由根的关系求参数与构造新方程 21
题型 8 根的符号与区间分布 23
题型 9 整数根与有理根问题 24
题型 10 方程背景下的代数式求值与变形 26
题型 11 增长率与百分率问题 27
题型 12 销售利润与方案决策 29
题型 13 几何图形中的面积与围栏问题 31
题型 14 动点、数字与传播等其他实际应用 32
题型 15 新定义与阅读理解探究题 35
第五部分 全章综合自测（12 题，建议 45 分钟） 38
第六部分 题型—通法—易错—配图 速查表 41
第一部分 讲义使用说明
本讲义按"知识清单—易错警示—题型突破—综合自测—速查表"五个层次组织，覆盖一元二次方程全部考点：概念与一般形式、五种解法、判别式与根的情况、根与系数的关系（韦达定理）、根的符号与分布、整数根、代数式变形求值、七类实际应用以及新定义探究题。
两版配套：教师版含全部典例解析、变式参考答案与自测详解；学生版题号、题型、配图与教师版完全一一对应，解析与答案整块剔除并在题下留虚线答题区，可直接印发。
使用建议：先通读知识清单完成自查，再按题型顺序限时做变式训练（小题 2 分钟、大题 8 分钟）；错题回写到第三部分对应的易错点编号旁，形成个人错因清单。
配图说明：全讲义 19 幅图（图 1—图 19）均按题中真实数据绘制，关键点、临界值、取值区间与几何标注都直接标在图上，解题时可“对图检查”自己的分类是否完整。
表 1 本讲义结构总览
层次 内容 数量 功能定位
知识清单 概念、解法、判别式、韦达定理、根分布、应用模型 6 节 + 8 表 基础过关，先建立方法选择框架
易错警示 高频失分点及纠正动作 8 条 考前快速排错
题型突破 题型解读→方法规律→典例精讲→变式训练 15 大题型 / 30 变式 主体训练，逐题型突破
综合自测 选择 4 + 填空 4 + 解答 4 12 题 限时检测，含答案详解（教师版）
速查表 题型—通法—易错—配图索引 1 表 复盘与考前快速检索
第二部分 知识清单
第 1 节 一元二次方程的概念与一般形式
1. 定义的三个条件（缺一不可）
① 方程两边都是整式（分母中不含未知数，未知数不在根号内）；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是 2。
判断一个方程是否为一元二次方程，必须先通过去分母、去括号、移项、合并同类项把它化为一般形式后再判断，不能只看表面形式。例如 (x-1)(x+1)=x 化简后为 -1=0，不含二次项，不是一元二次方程。
2. 一般形式与各项系数
一般形式：ax +bx+c=0（a、b、c 为常数，a≠0）。其中 ax 叫二次项，a 是二次项系数；bx 叫一次项，b 是一次项系数；c 叫常数项。写系数时必须带上前面的符号。
例：把 3x(x-2)=5(x+1) 化为一般式，得 3x -11x-5=0，其中 a=3，b=-11，c=-5。
3. 特殊（不完整）形式及其天然解法
表 2 特殊形式与首选解法
形式 特征 首选解法 说明
ax +c=0（b=0） 缺一次项 直接开平方法 x =-c/a，需 -c/a≥0 才有实根
ax +bx=0（c=0） 缺常数项 因式分解法（提公因式） 必有一个根 x =0，另一根 x =-b/a
ax +bx+c=0（齐全） 三项齐全 公式法 / 十字相乘 先看能否分解，不能分解用公式法
4. 由概念求参数的两种典型问法
（1）"是关于 x 的一元二次方程"：既要令未知数的最高次数为 2，又要保证二次项系数不等于 0，两者缺一不可，最后必须用系数≠0 检验取舍。
（2）"a 是方程的根"：把根代入方程得到关于字母的等式，常用整体代入求代数式的值，如由 a -2a-3=0 得 a -2a=3，进而求 2a -4a+5=2×3+5=11。
图 18 一元二次方程的几何由来：黄金分割 a =b(a+b)，设 b=1 得 a -a-1=0，其正根 a=(1+√5)/2≈1.618
第 2 节 解法体系：五种方法的选择与操作
图 2 解一元二次方程的方法选择顺序（先看结构特征，再定方法）
表 3 五种解法对照
方法 适用结构 理论依据 关键步骤 易错提醒
直接开平方法 (x+m) =n，n≥0 平方根定义 写成 x+m=±√n 漏负根；n<0 时说"无实数根"
配方法 二次项系数化 1 后一次项系数为偶数；求证/求最值 等式性质 + 完全平方公式 加一次项系数一半的平方 只对左边加而忘记右边同步加
公式法 任意一元二次方程（通法） 配方法的结论 先算 Δ=b -4ac，Δ≥0 时 x=(-b±√Δ)/(2a) b、c 忘记带符号；Δ<0 仍硬套公式
因式分解法 右边为 0，左边能分解 若 ab=0，则 a=0 或 b=0 提公因式 / 公式 / 十字相乘 两边同除含未知数的因式而丢根
换元（整体）法 出现重复结构，如 (x -x) 、x+1/x 整体思想 + 降次 设 y 解 y 的方程，再回代 回代后未再解，或忽略 y 的取值范围
图 3 配方法的几何直观：加上一次项系数一半的平方，恰好补成边长为 x+3 的正方形
配方法的标准五步（以 2x -4x-3=0 为例）
① 化二次项系数为 1：x -2x-3/2=0；② 移项：x -2x=3/2；③ 两边同加 (-2/2) =1：x -2x+1=5/2；④ 写成平方：(x-1) =5/2；⑤ 开平方：x=1±√10/2。
配方法还是求代数式最值的工具：x -2x+5=(x-1) +4，当 x=1 时取最小值 4；-2x +8x-5=-2(x-2) +3，当 x=2 时取最大值 3。
图 19 十字相乘与公式法的操作细节对照（含符号与化简要求）
图 14 因式分解法的逻辑树：ab=0 a=0 或 b=0，同除公因式将丢根
第 3 节 判别式与根的情况
图 1 Δ 的符号决定抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交点个数，即方程根的个数
表 4 判别式 Δ=b -4ac 与根的情况
Δ 的符号 根的情况 求根公式的表现 对应抛物线位置
Δ>0 两个不相等的实数根 x=(-b±√Δ)/(2a) 中 √Δ 为正数 与 x 轴有两个交点
Δ=0 两个相等的实数根 x =x =-b/(2a) 只能取一个值 与 x 轴唯一公共点（相切）
Δ<0 没有实数根 √Δ 无意义（初中范围） 与 x 轴无交点
三条常用结论
（1）逆向使用：由"有两个不相等实根"得 Δ>0 且 a≠0；由"有实数根"得 Δ≥0，若二次项系数含参数且未指明"一元二次方程"，必须补充讨论 a=0 的一次方程情形。
（2）证明"总有两个不相等实根"：把 Δ 配方成完全平方式加正数，如 Δ=(m-2) +4>0 恒成立。
（3）当 ac<0 时 Δ=b -4ac>0 恒成立，可直接判定方程必有两个不相等实根，不必计算。
图 7 常数项 c 的符号与根的情况：c<0 时必有两根，c=0 时必有一根为 0
图 16 用图象数交点判断方程解的个数（含绝对值、含参方程同样适用）
第 4 节 根与系数的关系（韦达定理）
图 4 韦达定理的图象意义：x +x =-b/a 决定对称轴位置，x x =c/a 决定两根符号
定理与前提
若一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）有两个实数根 x 、x ，则 x +x =-b/a，x x =c/a。使用前提：方程确有实根，即 Δ≥0；含参数时必须先由 Δ≥0 限定参数范围，再解出参数值并检验。
表 5 常用变形（把目标式凑成和与积）
目标式 变形结果 目标式 变形结果
x +x (x +x ) -2x x 1/x +1/x (x +x )/(x x )
(x -x ) (x +x ) -4x x = Δ/a |x -x | √Δ/|a|
(x +1)(x +1) x x +(x +x )+1 x x +x x x x (x +x )
以 x 、x 为根的方程 x -(x +x )x+x x =0 |x |+|x | 型 先定符号，再平方转化
图 5 不解方程求两根之差：|x -x |=√Δ/|a|，只依赖 a 与 Δ
第 5 节 根的符号、区间分布与整数根
图 6 根的区间分布：两根分居 1 两侧只需 a·f(1)<0；两根都在 (m,n) 内需四个条件同时成立
表 6 根的符号条件（前提：a≠0 且 Δ≥0）
根的情况 需要满足的条件 说明
两根同号 x x =c/a>0（即 ac>0） 还需 Δ≥0
两根异号 x x =c/a<0（即 ac<0） 此时 Δ>0 自动成立，无需再验
两根同为正 c/a>0 且 -b/a>0 即 ac>0、a、b 异号、Δ≥0
两根同为负 c/a>0 且 -b/a<0 即 ac>0、a、b 同号、Δ≥0
一根为 0 c=0 且 a≠0 另一根为 -b/a
互为相反数 b=0 且 c/a≤0 两根为 ±√(-c/a)
互为倒数 c=a 且 Δ≥0 由 x x =1 得 c/a=1
整数根问题的两条通法
通法一（判别式法）：整数系数方程有整数根 Δ 必为完全平方数。设 Δ=n （n 为非负整数），因式分解求参数。
通法二（分离参数法）：把方程变形为 m=g(x) 的形式（m 在左、含 x 的分式在右），再由 x 为整数得"分母必须整除常数"，用因数讨论求参数，最后代回检验。
第 6 节 实际应用的常用模型与结论
图 8 连续两轮增长率模型 a(1+x) =b：基数 a、末数 b、增长率 x 三者知二求一
表 7 应用题等量关系模型
模型 基本量关系 设未知数建议 常见舍根理由
增长率 a(1+x) =b（降低率用 a(1-x) =b） 设平均增长（降低）率为 x 负值、大于 1 的降低率、不合实际的倍数值
销售利润 总利润=(售价-进价)×销量；销量随单价线性变化 设涨价 x 元或直接设售价 x 元 与"让利顾客、薄利多销"要求矛盾的一根
几何面积 矩形面积、靠墙三边围栏、等宽道路平移 设垂直墙的边或直接设所求边 超过墙长/边长为负/超出实际尺寸
数字问题 多位数=100a+10b+c（按位值展开） 设个位（或十位）数字 数字必须为 0~9 的整数
传播问题 两轮共 1+x+x 人（含初始 1 人） 设每轮每人传染 x 人 负值
动点问题 用 t 表示线段长，再表示面积/长度 设运动时间为 t 秒 超出运动总时间、边长为负
勾股/几何综合 a +b =c 或面积公式 设较短边 负值、不符合图形位置的值
应用题的规范书写（四步）
设：写出"设……为 x"并注明单位；列：依据等量关系列出方程并化为一般式；解：求出两个根；验：把两根与实际条件比对，舍去不合实际的根，最后作答。漏写"答"与单位、漏检验是最常见的扣分点。
第三部分 高频易错点警示
表 8 八大易错点与纠正动作
编号 易错表现 典型案例 纠正动作
E1 忽略二次项系数不为 0 "(m-2)x^|m|+3x-1=0 是一元二次方程"只求次数为 2，得 m=±2 不检验 凡二次项含参数，最后一步必写"又 a≠0，故 m=…，m=…舍去"
E2 未化为一般式就抄系数 把 x =3x-1 中的 b 写成 0 任何解法前先去括号、移项、合并，写成 ax +bx+c=0
E3 Δ 计算符号错 b=-3 时把 b 写成 -9；-4ac 漏乘 c 的符号 Δ=(-3) -4×2×(-1)=9+8=17，逐项代入后再合并
E4 两边同除含未知数的因式丢根 x =3x 两边除 x，只留 x=3，丢掉 x=0 一律移项后分解：x(x-3)=0
E5 开平方漏负根 (x-1) =9 只写 x=4 写成 x-1=±3，两个根都要写
E6 韦达定理忘记 Δ≥0 由 x +x 、x x 解出参数后不检验判别式 先用 Δ≥0 圈范围，再对求出的参数逐个检验
E7 增长率与降低率混用 两次降价写成 a(1-2x)=b 两轮变化一律 a(1±x) ，且降低率 0E8 应用题不检验、不作答 保留负根或超墙长的根 解出两根后立即与实际条件比对，写明"不合题意，舍去"
第四部分 题型突破精讲（15 大题型）
每个题型按"题型解读→方法规律→典例精讲→变式训练"四栏编排。典例的【解析与答案】只在教师版给出，学生版在题下留有虚线答题区；变式训练的【参考答案】同样只在教师版给出。
题型 1 一元二次方程的有关概念与一般形式
题型解读
这类题给出一个含字母参数的方程，要求判断或反求参数，使方程满足"一元二次方程"的定义；也可能给出方程的一个根，要求代数式的值。分值不高但几乎每套卷必考，核心陷阱是二次项系数不能为 0。
方法规律
定义型：由"最高次数为 2"列方程（或不等式）求参数，再由"二次项系数≠0"取舍，两个条件必须同时写出。
根代入型：把根代入方程得到关于字母的等式，再用整体代入求值，不要试图先解方程。
化为一般式时按"去括号—移项—合并同类项—按降幂排列"固定顺序书写，避免符号错位。
典例精讲
例 1-1 当 m 取何值时，关于 x 的方程 (m-2)x^|m|+3x-1=0 是一元二次方程？
例 1-2 已知 a 是方程 x -2x-3=0 的一个根，求代数式 2a -4a+5 的值。
变式训练
变式 1-1 已知关于 x 的一元二次方程 (k-1)x +2x+k -1=0 的一个根是 0，求 k 的值。
变式 1-2 把方程 (2x+1)(2x-1)=3x(x+2) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数与常数项。
题型 2 直接开平方法与配方法
题型解读
凡能写成 (x+m) =n 形式的方程都可以直接开平方；配方法既是解法工具，也是求代数式最值、证明代数式恒正的核心手段，常与二次函数最值问题结合命题。
方法规律
开平方前先确认右边非负：右边为负数时直接判定"无实数根"，不要对负数开平方。
两边是平方形式时（如 (2x-1) =(x+3) ），直接写"底数相等或互为相反数"，比展开配方更快。
配方法五步：化 1、移项、加 (b/2) 、写成平方、开平方；几何直观见图 3（补成正方形）。
典例精讲
例 2-1 用合适的方法解方程 (2x-1) =(x+3) 。
例 2-2 用配方法解方程 2x -4x-3=0，并求代数式 2x -4x+5 的最小值。
变式训练
变式 2-1 解方程 3(x-2) -27=0。
变式 2-2 用配方法解方程 2x +3x-1=0。
题型 3 公式法与因式分解法
题型解读
公式法是通法，任何一元二次方程都能用；因式分解法更快捷，但只适用于右边为 0 且左边可分解的方程。考试中常要求"用最合适的方法"，能否快速识别结构决定解题速度。
方法规律
公式法必须先把方程化为一般式，再逐个抄写 a、b、c（含符号），先算 Δ 再代入求根公式（见图 19）。
缺常数项（c=0）一律提公因式；能用平方差或完全平方公式的直接用公式；二次三项式分解用十字相乘。
形如 A =kA 的方程必须移项后提取公因式 A，绝不能两边同除 A，否则会丢掉 A=0 这个根（见图 14）。
典例精讲
例 3-1 用适当方法解下列方程：(1) 2x -3x-1=0；(2) 3x -7x+2=0。
例 3-2 解方程 (x-3) +2x(x-3)=0。
变式训练
变式 3-1 解方程 (2x+1) =3(2x+1)。
变式 3-2 用公式法解方程 x -2√2·x+1=0。
题型 4 非标准方程：换元、绝对值、分式与含参讨论
题型解读
方程表面不是一元二次方程，但通过换元（整体代入）、去绝对值、去分母等手段可以化归为一元二次方程求解。这类题考查化归思想，也是压轴小题的常见形式。
方法规律
换元三查：一查新元的取值范围（如 y=|x|≥0、y=x ≥0），二查回代后是否解完，三查是否需要检验（见图 13）。
含绝对值的方程：把含未知数的整体设为新元，或按正负分类讨论，最后用图象数交点验证解的个数（见图 16）。
可化为一元二次方程的分式方程：去分母后必须代入最简公分母检验，使分母为 0 的根是增根，必须舍去。
图 13 换元法的标准流程：设元—解新方程—回代—检验
典例精讲
例 4-1 解方程 (x -x) -4(x -x)-5=0。
例 4-2 解方程 (x+1)/(x-1) - 4/(x -1) = 1。
变式训练
变式 4-1 解方程 x -|x|-6=0。
变式 4-2 解方程 (x +2x) -2(x +2x)-3=0。
题型 5 判别式与根的情况（含求参数范围）
题型解读
给出根的情况反过来确定参数取值范围，或证明方程恒有两个不相等实根。关键在两点：一是把"根的情况"翻译成 Δ 的不等式，二是二次项系数是否含参数（对应易错点 E1、E6）。
方法规律
"有两个不相等实根" Δ>0 且 a≠0；"有实数根" Δ≥0，若未说明是一元二次方程，还要单独讨论 a=0。
"总有两个不相等实根"类证明题：把 Δ 配方为 (m-k) +t（t>0）的形式，说明恒正。
ac<0 时 Δ>0 恒成立，可在选择题中快速判断（见图 7）。
典例精讲
例 5-1 已知关于 x 的方程 (k-1)x +2x+1=0 有实数根，求 k 的取值范围。
例 5-2 求证：无论 m 取何实数，关于 x 的方程 x -(m+2)x+2m-1=0 总有两个不相等的实数根。
变式训练
变式 5-1 已知关于 x 的一元二次方程 mx +2x-1=0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。
变式 5-2 若关于 x 的方程 x +2x+m-1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及此时的根。
题型 6 韦达定理：不解方程求对称式的值
题型解读
不解方程，利用 x +x =-b/a、x x =c/a 求含两根的代数式的值。凡是关于 x 、x 的对称式（交换两根后不变的式子）都能用韦达定理整体求出（见图 4、图 5）。
方法规律
先把目标式变形成只含 x +x 与 x x 的形式（见表 5），再整体代入。
求 |x -x | 用 √Δ/|a|，不必解方程；求 1/x +1/x 时先验 x x ≠0（即 c≠0）。
遇到非对称式（如 x +2x ）时不能直接用韦达定理，需借助 Δ 求出两根之差，或先解出具体根。
典例精讲
例 6-1 已知 x 、x 是方程 x -5x+6=0 的两个根，不解方程，求下列各式的值：(1) x +x ；(2) 1/x +1/x ；(3) |x -x |。
例 6-2 已知 x 、x 是方程 2x -3x-1=0 的两个根，求 (x -x ) 与 x x +x x 的值。
变式训练
变式 6-1 已知 x 、x 是方程 x +4x-1=0 的两个根，求 (x +2)(x +2) 的值。
变式 6-2 已知 α、β 是方程 x -x-2023=0 的两个根，求 α -2α-β 的值。
题型 7 韦达定理进阶：由根的关系求参数与构造新方程
题型解读
已知两根满足某个关系式（差为定值、平方和为定值、互为倒数等），反向确定参数；或以已知方程的两根构造新方程。核心陷阱是求出的参数必须使 Δ≥0（对应易错点 E6）。
方法规律
三步走：先用韦达定理表示和与积→代入关系式解参数→用 Δ≥0 检验取舍。第一步就要把 Δ 的范围写在一旁备用。
构造以 x 、x 为根的方程：x -(x +x )x+x x =0；若新根是原两根的某种变形（如 x +1、x +1），先算新和与新积。
x =x 要拆成 x =x 与 x =-x 两种情况，不要只考虑其中一种。
典例精讲
例 7-1 已知关于 x 的方程 x -(2k+1)x+k +k=0 的两个实数根 x 、x 满足 x x -x -x =1，求 k 的值。
例 7-2 已知关于 x 的方程 x +(2m-1)x+m =0 的两个实数根 x 、x 满足 x =x ，求 m 的值。
变式训练
变式 7-1 已知关于 x 的方程 x +2x+m-1=0 的一个根是 2，求另一个根及 m 的值。
变式 7-2 已知 x 、x 是方程 x -2kx+k +2k-1=0 的两个实数根，且 x +x =2，求 k 的值。
题型 8 根的符号与区间分布
题型解读
判断或控制两根的正负、以及两根落在哪个区间内。符号问题用韦达定理即可；区间问题需要结合抛物线图象，从判别式、对称轴、端点函数值三方面同时列条件（见图 6）。
方法规律
符号类：同号看积、异号看积为负（此时 Δ>0 自动成立）、同正再加"和为正"、同负再加"和为负"。
区间类：一根大于 1 一根小于 1 的充要条件是 a·f(1)<0；两根都在 (m,n) 内需要 Δ≥0、m<-b/(2a)0、a·f(n)>0 四个条件同时成立。
解含参数的不等式组时，把每个条件单独解出后再取交集，避免漏掉 Δ。
典例精讲
例 8-1 已知关于 x 的方程 x -2x+a-1=0。
(1) 若两根异号，求 a 的取值范围；(2) 若两根都是正数，求 a 的取值范围。
例 8-2 已知关于 x 的方程 x -2mx+m -1=0 的一个根大于 1，另一个根小于 1，求 m 的取值范围。
变式训练
变式 8-1 已知关于 x 的方程 x +(m-3)x+m=0 的两个根都是负数，求 m 的取值范围。
变式 8-2 已知关于 x 的方程 x -4x+a=0 的两个根都在 1 与 3 之间（含 1 与 3 以外），求 a 的取值范围。
题型 9 整数根与有理根问题
题型解读
要求方程的根为整数（或有理数），并据此确定整数参数的值。这类题把方程与整数的整除性结合起来，是九年级期中、期末试卷中区分度最高的一类。
方法规律
通法一：整数系数方程有整数根 判别式 Δ 必为完全平方数。设 Δ=n （n 为非负整数），移项后用平方差因式分解求参数。
通法二：用求根公式把根表示成含参数的分式，分离常数（如 2-1/m），由"分母整除常数"确定参数取值。
无论哪种通法，求出的参数都必须代回原方程检验根是否真为整数，并检验二次项系数是否为 0。
典例精讲
例 9-1 已知关于 x 的方程 mx -(3m-1)x+2m-2=0。
(1) 求证：无论 m 取何实数，该方程都有实数根；(2) 若该方程的两个根都是整数，且 m 为整数，求 m 的值。
例 9-2 已知 m 为整数，关于 x 的方程 x +mx+m+2=0 的两个根都是整数，求 m 的值。
变式训练
变式 9-1 m 取任意整数时，方程 x -(2m-1)x+m -m=0 的两根是否都是整数？请说明理由。
变式 9-2 已知 a 为整数，关于 x 的方程 x +(a-3)x+2a-4=0 的两个根都是整数，求 a 的值。
题型 10 方程背景下的代数式求值与变形
题型解读
已知某数是方程的根，或已知两根，求某个代数式的值。式子可能不是关于两根对称的，也可能通过"整体代换 + 韦达定理"混合求解，是选择题压轴的常客。
方法规律
单个根代入：把根代入方程得到"降次关系"（如 m =5-2m），用它把高次降为一次再合并。
非对称式（如 x +2x ）：拆成 (x +x )+x 或利用两根之差 x =(和+差)/2 求出具体根；两根之差用 √Δ/|a|。
"同结构、不同字母"型（如 a +a-1=0 与 b +b-1=0 且 a≠b）：立刻把 a、b 看作同一方程的两根，转用韦达定理。
典例精讲
例 10-1 已知 m、n 是方程 x +2x-5=0 的两个实数根，求 m +3m+n 的值。
例 10-2 已知 x 、x 是方程 x -4x+1=0 的两个实数根，且 x 变式训练
变式 10-1 已知 a +a-1=0，b +b-1=0，且 a≠b，求 1/a+1/b 的值。
变式 10-2 已知关于 x 的方程 x +2x+k-1=0 的两个实数根满足 x +x -x x =3，求 k 的值。
题型 11 增长率与百分率问题
题型解读
连续两轮相同增长（降低）率问题，是中考应用题最稳定的题型之一。列方程的关键是分清"基数 a、末数 b、轮次 2"，用 a(1±x) =b 直接列出（见图 8）。
方法规律
增长用 1+x，降低用 1-x；两轮就是平方，不是乘 2（对应易错点 E7）。
形如 (1+x) =k 的方程直接开平方，只取使 1+x>0 的根，另一根因率为负（或超过 100%）舍去。
两轮率不同用 a(1+x)(1+y)=b；求"平均每次降低率"即令两轮率相同。
典例精讲
例 11-1 某公司 2024 年的年利润为 100 万元，2026 年的年利润为 144 万元。若这两年利润的平均年增长率相同，求这个平均年增长率。
例 11-2 某种药品经过两次降价后，零售价由每盒 50 元降到 32 元，已知两次降价的百分率相同。
(1) 求平均每次降价的百分率；(2) 若按同样的百分率再降价一次，每盒价格为多少元？
变式训练
变式 11-1 某工厂 2024 年的产品产量为 a 吨，连续两年以相同的增长率增长，两年后的产量是第一年的 2.25 倍，求年平均增长率。
变式 11-2 某商品原价每件 100 元，经过两次降价后每件 81 元，若两次降价百分率相同，求平均每次降价的百分率。
题型 12 销售利润与方案决策
题型解读
商品售价变化会引起销量线性变化，用"总利润=(售价-进价)×销量"列一元二次方程；题目常附带"让顾客得实惠""薄利多销""售价不高于某值"等限制，需要在两个根中进行取舍（见图 9）。
方法规律
设"涨价 x 元"时售价为 (原售价+x)，销量为 (原销量-kx)；设"售价为 x 元"时销量为 原销量-k(x-原售价)。两种设法结果一致，但表达式不同，务必先列表梳理。
给出限制条件（让利、不高于、不低于）后，两个根只能取符合条件的那一个，作答时要写明取舍理由。
若问"最大利润"，把 W 配方成 W=a(x-h) +k 后判断顶点横坐标是否落在自变量取值范围内。
图 9 利润 W 随售价 x 变化的图象：顶点决定最大利润，水平线与图象的交点个数决定方案数
典例精讲
例 12-1 某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 50 元时，每月可卖出 300 件；市场调查发现，售价每上涨 1 元，月销量就减少 10 件。若该商店希望这种商品月利润为 3750 元，且让顾客尽量得到实惠，售价应定为每件多少元？
例 12-2 在例 12-1 的条件下，售价定为多少元时月利润最大？最大月利润是多少元？
变式训练
变式 12-1 某商品进价每件 30 元，按每件 40 元出售时每周可卖出 500 件；若售价每降低 1 元，每周可多卖出 100 件。要使这种商品每周利润为 5600 元且薄利多销，售价应定为每件多少元？
变式 12-2 某商品进价每件 30 元，按每件 40 出售时每月卖 100 件，售价每上涨 2 元少卖 10 件；规定售价不得高于每件 45 元。若该商品每月利润为 1000 元，求售价。
题型 13 几何图形中的面积与围栏问题
题型解读
矩形面积、靠墙围栏、等宽道路、图形剪拼等问题都要用含未知数的代数式表示边长，再由面积公式列一元二次方程。图形的长度限制是舍根依据（见图 10）。
方法规律
靠墙围栏：设垂直墙的边为 x，则平行墙的边为总长-2x；或设平行墙的边为 x，则垂直墙的边为 (总长-x)/2。列式后必须用墙长限制取舍。
等宽道路：用平移法把道路平到边缘，草地变成 (长-路宽)(宽-路宽) 的矩形，等量关系立刻清晰。
用字母表示边长时要保证各边为正，最后对两根逐一检验（对应易错点 E8）。
图 10 靠墙围栏：解出 x=4 或 x=16 后，须用"墙可用长度 12 m"舍去 x=16
典例精讲
例 13-1 某农户要用总长 20 m 的篱笆围一个矩形菜园（一面利用原有围墙，墙可利用的长度为 12 m），要使菜园面积为 32 m ，平行于墙的一边应取多长？
例 13-2 一块长 20 m、宽 12 m 的矩形地面，计划修两条互相垂直且等宽的道路（分别与两组对边平行），余下部分铺草坪，要使草坪面积为 180 m ，道路宽应为多少米？
变式训练
变式 13-1 用长 30 m 的篱笆围成一个矩形菜地，并在中间平行于宽的方向加一道隔墙把它分成两块，若菜地总面积为 36 m ，求矩形菜地的宽。
变式 13-2 把一根长 40 cm 的铁丝围成一个面积为 96 cm 的矩形框，求这个矩形的长和宽。
题型 14 动点、数字与传播等其他实际应用
题型解读
统一用"设时间 t（或设数字）—用 t 表示线段长—列面积/数量等量关系"三步解决。动点问题的定义域、数字问题的位数限制、传播问题的轮次结构是三个不同的失分点（见图 11、图 12、图 17）。
方法规律
动点：先写 t 的取值范围，再把每条线段用 t 表示（注意"剩余长度=总长-已走路程"），最后列方程并舍去超出范围的根。
传播：每轮每人传染 x 人时，两轮共 1+x+x 人（含最初 1 人），可借助树状图数清人数（见图 12）。
数字：多位数必须按位值展开，如三位数=100a+10b+c，绝不能写成 abc（见图 17）。
图 11 动点问题：BP=7-t、BQ=5-t，面积 S 随 t 变化，S=4 时只有 t=3 在 0≤t≤5 内
图 12 传播模型的树状结构：每轮每人传染 x 人，两轮合计 1+x+x 人
图 17 数字问题的位值表示：多位数必须按 100a+10b+c 展开
典例精讲
例 14-1 如图 11-1，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=7 cm，BC=5 cm。点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动。求运动几秒时，△PBQ 的面积等于 4 cm 。
例 14-2 有一人患流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感（含最初患者）。若每轮传染中平均一个人传染的人数相同，求平均一个人传染了几个人。
变式训练
变式 14-1 一个两位数，个位数字比十位数字大 2，且个位数字与十位数字的积等于 24，求这个两位数。
变式 14-2 一块矩形场地，长比宽多 5 m，面积为 104 m ，求这块场地的长与宽。
题型 15 新定义与阅读理解探究题
题型解读
给出一段材料或一个新概念（如"和根方程""差根方程"），要求现学现用。题目本身不难，关键是准确翻译定义中的条件，并把它转化为方程或不等式（见图 15）。
方法规律
新定义类：先把定义拆成"条件 1、条件 2"，逐条对照；凡涉及"有两个实数根"的要求，先验 Δ≥0 再讨论关系式。
阅读理解类：材料给的是方法（配方法、整体代入、图象法），第一问照搬方法验证，第二问把方法迁移到新问题。
判断方程解的个数时，把方程两边看作两个函数，用图象数交点（见图 15、图 16），比解方程更直观。
图 15 解方程 x -2x-3=1 即求抛物线与直线 y=1 交点的横坐标
典例精讲
例 15-1 新定义：若一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）有两个实数根 x 、x ，且满足 x +x =x x ，则称这个方程为"和根方程"。
(1) 判断方程 x -4x+4=0 是否为"和根方程"，并说明理由；(2) 若关于 x 的方程 x -mx+2m-4=0 是"和根方程"，求 m 的值。
例 15-2 阅读理解：求代数式 x -6x+10 的最小值。解：x -6x+10=(x-3) +1，因为 (x-3) ≥0，所以最小值为 1。请仿照上述方法解决：
(1) 求代数式 -2x +8x-5 的最大值；(2) 用长 20 m 的篱笆围一个三面围栏的矩形场地（一面靠墙），求面积的最大值及此时各边的长。
变式训练
变式 15-1 新定义：若一元二次方程有两个实数根 x 、x 且 |x -x |=1，则称该方程为"差根方程"。已知关于 x 的方程 x +kx+k-1=0 是"差根方程"，求 k 的值。
变式 15-2 结合图 16 判断：关于 x 的方程 |x -2x-3|=k 有三个解时 k 的值，以及有四个解时 k 的取值范围。
第五部分 全章综合自测（12 题，建议 45 分钟）
一、选择题
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　）
A. x +1/x=0　　B. ax +bx+c=0　　C. (x-1)(x+2)=x 　　D. (x-1) =2x
2. 一元二次方程 x -4x+7=0 的根的情况是（　）
A. 有两个不相等的实数根　B. 有两个相等的实数根　C. 没有实数根　D. 只能确定一个根
3. 已知 x 、x 是方程 x -2x-5=0 的两个实数根，则 x +x 的值是（　）
A. 14　　B. 4　　C. -10　　D. -6
4. 某种商品原价每件 200 元，连续两次降价 a% 后每件 148 元，则可列方程（　）
A. 200(1-a%) =148　B. 200(1-a%)=148　C. 200(1-2a%)=148　D. 200(1+a%) =148
二、填空题
5. 方程 x =3x 的解是 __________。
6. 若关于 x 的方程 x +2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 __________。
7. 请写出一个以 2 和 -3 为两根的一元二次方程：__________。
8. 已知实数 a、b 满足 a -2a-5=0，b -2b-5=0 且 a≠b，则 1/a+1/b 的值是 __________。
三、解答题
9. 用适当的方法解下列方程：
(1) x -6x+5=0；　(2) 2y +4y-1=0；　(3) (x-2) =3(x-2)；　(4) x -4|x|+3=0。
10. 已知关于 x 的方程 x -(2k+1)x+k +k=0。
(1) 求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 若该方程有一个根为 2，求 k 的值及另一个根。
11. 某商店销售一种台灯，每盏进价 40 元。当售价为每盏 50 元时每月可卖出 300 盏；售价每上涨 1 元，月销量就减少 10 盏。
(1) 要使这种台灯月利润为 3750 元且让顾客尽量得到实惠，售价应定为每盏多少元？(2) 售价定为多少元时月利润最大？最大月利润是多少？
12. 已知关于 x 的一元二次方程 x -(m+1)x+m=0 的两个实数根 x 、x 恰好是一个直角三角形的两条直角边的长。
(1) 用含 m 的式子表示 x +x 与 x x ；(2) 若该直角三角形斜边长为 √10，求 m 的值及这两条直角边的长。
第六部分 题型—通法—易错—配图 速查表
表 9 全章题型速查
题型 识别信号 首选通法 易错编号 配图
1 概念与一般形式 含参方程、"是/不是"一元二次方程 次数为 2 + 系数≠0 联立；根代入整体求值 E1、E2 图 18
2 开平方与配方 (x+m) =n；求代数式最值 开平方取 ±；配方法五步 E5 图 3
3 公式法与分解法 一般式三项齐全 / 右边为 0 先验 Δ 再套公式；提公因式与十字相乘 E3、E4 图 19、图 14
4 非标准方程 重复结构、绝对值、分母含未知数 换元三查；分类讨论；去分母后验增根 — 图 13、图 16
5 判别式与根的情况 "有两个…实根"、证明恒成立 Δ 翻译成不等式；Δ 配方证恒正 E1、E3 图 1、图 7
6 韦达定理基础 不解方程求代数式的值 凑成和与积；|x -x |=√Δ/|a| — 图 4、图 5
7 韦达定理进阶 给出两根的关系求参数 先写 Δ≥0 范围，再解参数逐个检验 E6 图 4
8 根的符号与分布 两根同号/异号、落在某区间 符号看积与和；区间看 Δ、对称轴、端点值 — 图 6
9 整数根 参数为整数、根为整数 Δ=完全平方数 + 平方差分解；分离常数法 — —
10 代数式求值变形 某数是根、非对称式、同结构不同字母 代入降次 + 韦达；转化为同方程两根 — —
11 增长率百分率 连续两轮、原价现价 a(1±x) =b，开平方取合理根 E7、E8 图 8
12 销售利润方案 涨价少卖、让利、售价上限 利润=(价-本)×销量；两根按条件取舍 E8 图 9
13 面积与围栏 靠墙、道路、篱笆 用总长表示边长；平移法处理道路 E8 图 10
14 动点数字传播 运动时间、多位数、传染轮次 先写定义域；位值展开；1+x+x E8 图 11、图 12、图 17
15 新定义阅读理解 新概念、材料给方法 拆条件、先验 Δ；方法照搬后迁移 E6 图 15、图 16
使用建议：考前先看表 8 的八条易错点与表 9 的"首选通法"列，再回到对应题型重做典例；错题若属于同一编号，说明该处需要专项加练。
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