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2026秋季初三数学同步讲义 一元二次方程的应用2
【基础巩固】
一元二次方程利润大题：设涨价降价为x，设售价为x；
给图象、表格类；
设销量为x；
给单利类；
利润综合问题：含参数、需仔细审题。
【精准突破】
一．销售利润问题
例1．（设涨价、降价为x）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________．
例2．（设售价为x）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
例3．（设销量为x）某果园有100棵桃树，每棵产桃，若每多种1棵桃树，每棵产量减少，要使总产量达，且每棵桃树的产量不低于，问应多种多少棵桃树？
例5．（给表格、图象）某超市拟于十月一前5天里销售某种水果，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：
①当1≤x≤30时，y＝43；当31≤x≤50时，y与x满足为y＝﹣x+55；
②销售量m与x的关系如图所示．
（1）求m与x的关系式；
（2）超市在第几天销售可获利4250元？
【实战演练】
1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．2026年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，覆盖家电、数码、汽车、家装等领域．在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台进货价为1200元．调查发现，当销售价为1500元时，平均每天能售出12台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出6台．商场要想使这种扫地机器人的销售利润平均每天达到4800元，每台扫地机器人的定价应为多少元？
3．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琼”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
(1)求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，月份的销售量将与月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，如果利润率不高于，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？
4．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，且销售量不低于50件，每件衬衫应降价多少元？
5．某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元．
(1)求月份售出型小家电至少多少台？
(2)经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？
6．“秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？
7．星星服装店以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件：第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
(1)填表（需化简）：
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
8．金秋十月，硕果累累，苹果相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解苹果的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家苹果园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
第x天的单价与x的关系表：
第1天 第2天 第3天 第4天 … 第x天
单价（元/箱） 50 48 46 44 …
第x天的单价与x近似的满足一次函数关系．已知第1天销售了20箱，以后的每一天都比前一天多销售10箱．每天的固定成本为745元．
(1)第x天的单价是______元／箱（用含x的代数式表示）；
(2)求哪一天小明家销售苹果可获得利润为2855元？
9．某车间生产两种笔：
型：每支成本5元，定价为元；
型：每支成本6元，定价为元．
根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：型笔的销量万支与定价元的关系如下：
定价（元） … 6 7 8 9 …
销量（万支） … 100 90 80 70 …
型笔的定价为7元时，销量为85万支，售价每提高1元，销量减少5万支．
(1)求型笔的销量万支与售价元的关系式；
(2)当型笔的定价为7元时，型笔的定价为______元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为______万元；
(3)若型笔每支利润率不超过，求该厂家如何定价，将生产的所有笔都出售后所获得的利润是520万元？
二．销售利润综合问题
例1．（含参数）今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销．
(1)原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？
(2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值．
例2．李师傅到批发市场购进阳光玫瑰进行销售，这种阳光玫瑰每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低元．根据李师傅的销售经验；这种阳光玫瑰售价为14元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低元，每天可多销售1箱．
(1)若购进阳光玫瑰3箱，每千克批发价为______，3箱全部售出，每千克售价为______，3箱共获利为______．
(2)若每天购进的阳光玫瑰需当天全部售完，请你计算，李师傅每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润为198元？
【实战演练】
今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月24日全省家电补贴金额15亿元．某商家在“双十一购物节”对某款冰箱实行降价促销．经市场调研发现，该款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台．
(1)设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为 （用含x的代数式表示）；
(2)已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台冰箱可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值．
2．某图书店在2025年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
3．重庆“渝淳小龙虾”店推出一款新品“特色香辣小龙虾”按照以堂食和外卖两种方式售卖；一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价比外卖单价高20元，4份外卖的总价比3份堂食的总价多48元；
(1)求一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价和外卖单价分别是多少元？
(2)五月份第一周按照（1）中的单价共卖出200份“特色香辣小龙虾”，由于小龙虾成熟旺季到来，成本降低，因此“渝淳小龙虾”店决定从五月第二周降价销售，每份外卖单价降a元，第二周的总销售量在第一周200份的基础上增加份．每份堂食单价直接降价8元，且第二周堂食的销售量占第二周总销售量的，其余均由外卖售出．最终这款“特色香辣小龙虾”第二周的总销售额为元，求a的值．
4．温州某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株．
(1)设每盆种植株，
①则单株售价___________元，每盆售价___________元（用含x的代数式表示）；
②当每盆售价为16.2元时，求x的值．
(2)该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y（元）与每盆种植株数x（株）之间满足，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数．
参考答案
【精准突破】
一．销售利润问题
例1．
【答案】
例2．
（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是，
当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得，，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴，
答：该商品售价定为元时，商场当月获利元．
例3．
【答案】应多种棵桃树
例4．
【答案】（1）；（2）超市在第24天和第40天销售可获利4250元
【实战演练】
1．
【答案】A
2．
【答案】1400元
3．
（1）解：设月平均增长率为 ，
根据题意，，
解得，（舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价为元，则销售量为件，
根据题意得，
，
，
整理得，
解得：，，
∵利润率不高于，即，
∴，
∴，
答：售价为元时，月销售利润达元．
4．
【答案】每件衬衫降价20元．
5．
【答案】(1)月份售出型小家电至少台；
(2)这两种小家电都应降低元．
6．
【答案】20
7．
【答案】
（1）解：由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量为件，
补表如下：
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
故答案为：，，；
（2）
元．
8．
【答案】(1)
(2)第11天或第14天小明家销售苹果可获得利润为2855元
9．
【答案】(1)
(2)22，340
(3)厂家应将型笔每支定价8元，B型笔每支定价20元，可获利520万元
二．销售利润综合问题
例1．
（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是x，
由题意得：
解得：， 不符合题意，舍去，
答：该款电视机每次降价的百分率是；
（2）解：由题意得：
整理得：
解得：，.
尽可能让利于顾客，
.
答：m的值为
例2．
【答案】(1)元；13元；126元；
(2)李师傅每天应购进这种水果6箱时，才能使每天所获利润为198元
【实战演练】
1.【答案】(1)
(2)m的值为10
2．
【答案】(1)
(2)
3．
【答案】(1)一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价是128元，外卖单价是108元
(2)
4．
【答案】(1)①，②
(2)12株或15株

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