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第1章 因式分解
知识点1：因式分解的概念
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形，整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。
判断标准：结果必须是整式乘积的形式，且每个因式都是整式，不能出现分式。
分解要求：必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
知识点2：提公因式法
公因式定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
确定公因式的方法：
定系数：取各项系数的最大公约数；
定字母：取各项都含有的相同字母；
定指数：取相同字母的最低次幂。
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式。
公因式的两种特殊情况：
公因式是多项式：当各项的公因式是一个多项式时，把这个多项式看作一个整体提出来。 例：
公因式互为相反数：当两项的底数互为相反数时，先统一成相同形式，再提公因式。
偶次幂：，偶次幂下互为相反数的幂相等；
奇次幂：，奇次幂下互为相反数的幂互为相反数。
注意事项：
提公因式别漏项，括号内项数与原多项式一致；
首项为负时，先提负号，括号内各项都要变号；
提完公因式后，检查括号内是否还能继续分解。
知识点3：平方差公式
公式：
适用特征：
二项式；
两项异号；
两项都是平方形式。
整体思想：公式中的可以是单项式，也可以是多项式。
分解步骤：有公因式先提公因式，再用平方差公式，最后检查是否分解彻底。
知识点4：完全平方公式
公式：
适用特征（完全平方式三特征）：
三项式；
两平方项同号；
中间项是两平方项底数乘积的2倍。
整体思想：公式中的可以是单项式，也可以是多项式。
注意：完全平方式有两种——和的平方与差的平方，求参数时注意不要漏解。
知识点5：公式法的综合应用
公式法定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
一般步骤（口诀：一提二套三查）：
一提：先提公因式；
二套：再套公式（平方差或完全平方）；
三查：检查是否分解彻底。
常见题型：
先化简再分解：表面不是公式形式，先展开化简，变成标准形式后再分解；
整体换元：把多项式看作整体，套用公式后继续分解；
连续用公式：先用平方差，再用完全平方，直到不能再分为止。
应用场景：
简便计算：利用因式分解简化大数运算；
代数式求值：先分解再整体代入；
判断三角形形状：通过因式分解+非负数性质判断边的关系；
证明整除问题：将多项式分解出相应因数。
【基础必考题型】
【题型1】因式分解的概念判断
1.核心知识点:
（1）因式分解的定义；（2）因式分解与整式乘法的区别；（3）因式分解的判断标准。
2.解题方法技巧:
①看结果是否为整式乘积的形式，和差形式不是因式分解。
②看因式是否都是整式，出现分式不是因式分解。
③注意区分：整式乘法是”积化和差”，因式分解是”和差化积”。
④识破干扰项：易把整式乘法（积化和差，如 误当因式分解；出现分式（如 或加减连接（如 ）的都不是因式分解。
【例题1】.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式题1-1】.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式题1-2】.若，其中都为整数，则这样的的最大值是（ ）
A．1
B．4
C．11
D．12
【变式题1-3】.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
①；②； ③；④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【题型2】提公因式法分解因式
1.核心知识点:
①公因式的确定方法；②提公因式法的步骤；首项为负的处理；③公因式是多项式；公因式互为相反数。
2.解题方法技巧:
①按”定系数→定字母→定指数”三步确定公因式。
②公因式是多项式时，把多项式看作整体提取。
③公因式互为相反数时，偶次幂直接相等，奇次幂变号后再提。
④首项为负时，先提负号，括号内各项都要变号。
⑤提公因式后注意检查是否漏项，括号内项数与原多项式一致。
【例题2】.分解因式：________
【变式题2-1】.分解因式：________
【变式题2-2】.分解因式：________
【变式题2-3】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
【题型3】平方差公式分解因式
1.核心知识点:
①平方差公式的结构特征；②提公因式与平方差公式的综合运用。
2.解题方法技巧:
①先判断是否符合平方差公式：二项式、两项异号、都是平方形式。
②有公因式先提公因式，再用公式，分解要彻底。
③注意整体思想：把多项式看作整体套用公式。
④“异号”是平方差分解的前提：两项必须符号相反（或写成相减），同号（如）不能用平方差公式分解。
【例题3】.分解因式：________
【变式题3-1】.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（ ） A．
B．
C．
D．
【变式题3-2】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
【变式题3-3】.利用因式分解计算：
（1）
（2）
【题型4】完全平方公式分解因式
1.核心知识点:
①完全平方式的结构特征；②完全平方公式的应用。
2.解题方法技巧:
①完全平方式三特征：三项、两平方项同号、中间项是积的2倍。
②有公因式先提公因式，再用完全平方公式。
③注意完全平方式有两种：和的平方与差的平方，不要漏解。
④“同号”是两平方项的特征：两个平方项必须同为正（或同为负，先提负号变同号），中间项符号只决定“和的平方”还是“差的平方”，不要漏掉另一种。
【例题4】.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式题4-1】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
【变式题4-2】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
【变式题4-3】.若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________
【培优高频题型】
【题型5】分组分解法
1.核心知识点:
①分组分解法的常见类型；②分组原则；③分组后继续分解的方法。
2.解题方法技巧:
①二二分组：两两分组后分别提公因式，再提整体公因式。
②三一分组：三项凑完全平方，再用平方差公式。
③分组后必须检查组间还能继续分解，否则分组方式不对。
【例题5】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
【变式题5-1】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
【变式题5-2】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
【变式题5-3】.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
【题型6】先分解再求值（整体代入）
1.核心知识点:
①因式分解在代数式求值中的应用；②整体代入思想。
2.解题方法技巧:
①先观察所求代数式的结构，选择合适的方法因式分解。
②将已知条件整体代入，避免求单个字母的值。
③注意符号问题和公式的正确应用。
【例题6】.已知，，则的值为________
【变式题6-1】.已知，，则的值为________
【变式题6-2】.已知，，则的值为（ ）
A．0
B．1
C．4
D．9
【变式题6-3】.已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【题型7】因式分解简便计算
1.核心知识点:
①利用因式分解简化运算；②平方差、完全平方公式在计算中的应用。
2.解题方法技巧:
①观察算式特点，选择合适的公式简化计算。
②大数运算用因式分解转化为小数乘积，降低计算量。
③注意提取公因数后，括号内要化简。
【例题7】.利用因式分解简便计算：
（1）
（2）
【变式题7-1】.利用因式分解计算：
（1）
（2）
【变式题7-2】.利用因式分解计算：
（1）
（2）
【变式题7-3】.用简便方法计算：
（1）
（2）
【题型8】因式分解的综合应用
1.核心知识点:
①因式分解在几何中的应用；②因式分解在代数证明中的应用；③非负数的性质；④等腰三角形、等边三角形的判定。
2.解题方法技巧:
①判断三角形形状：将已知等式移项到一边，另一边为0，因式分解后利用非负数性质得到边的等量关系。
②证明等式：将等式一边因式分解，化简后等于另一边。
③求字母的值：利用非负数的性质，令每个因式为0，求解字母的值。
【例题8】.已知是的三边，且满足，试判断的形状。
【变式题8-1】.求证：无论取何实数，多项式的值总是正数。
【变式题8-2】.已知是的三边，且满足，试判断的形状。
【变式题8-3】 已知 是 的三边，且满足 ，试判断 的形状。
【压轴素养题型】
【题型9】证明整除问题
1.核心知识点:
①因式分解在整除证明中的应用；②平方差公式的连续应用。
2.解题方法技巧:
①将多项式因式分解，分解出相应的因数。
②连续用平方差公式，直到分解出目标因数。
③注意判断因数是否为整数，证明是整数倍即可。
【例题9】.证明：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【变式题9-1】.证明：（为正整数）一定能被6整除。
【变式题9-2】.已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63
B．61、65
C．61、67
D．63、65
【变式题9-3】 求证： 能被 120 整除。
【题型10】配方法分解因式与求最值
1.核心知识点:
①配方法的原理；②配方法分解因式；③利用配方法求代数式的最值。
2.解题方法技巧:
①配方法：加上一次项系数一半的平方，再减去同一数保持恒等。
②配成完全平方后，用平方差公式分解因式。
③求最值：利用完全平方的非负性，找到最小值或最大值。
④二次项系数为 1 时才能直接配方；若二次项系数不为 1（如 ），先提出二次项系数，再在括号内配方，最后别忘乘回系数。
【例题10】.
（1）用配方法分解因式：；
（2）用配方法求多项式的最小值。
【变式题10-1】.用配方法分解因式：
（1）
（2）
【变式题10-2】.求下列代数式的最小值：
（1）
（2）
【变式题10-3】.已知满足，求的值。
【题型11】新定义与阅读理解问题
1.核心知识点:
①新定义问题的解题方法；②阅读理解题的处理策略；③因式分解的灵活应用。
2.解题方法技巧:
①精准提取题目全新定义规则，转化为熟悉的因式分解考点。
②严格依据定义条件分步验证，结合分类讨论排除不符情况。
③利用因式分解公式变形、方程思想求解，最后检验结果满足新定义要求。
【例题11】.阅读材料：利用”配方法”可以把二次三项式因式分解。
解法如下： 请用上述方法因式分解：
【变式题11-1】.定义：若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为”和谐数”。
下列说法正确的是（ ）
A．30是”和谐数”
B．2022是”和谐数”
C．“和谐数”一定是4的倍数
D．两个连续奇数的平方差（正数）是”和谐数”
【变式题11-2】 定义：若多项式 能化为 的形式（ 均为整式），则称 整除 。
（1）求证： 整除 ；
（2）已知 整除 ，求 的值。
【变式题11-3】.定义：若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为”奇特数”。
（1）32和2020这两个数是奇特数吗？为什么？
（2）设两个连续奇数为和（为正整数），证明由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数。
【题型12】数形结合与综合应用
1.核心知识点:
①因式分解的几何意义；②拼图面积与因式分解的关系；③整体思想的应用。
2.解题方法技巧:
①从整体和部分两种角度表示图形面积，建立恒等式。
②利用因式分解实现代数与几何的转化。
③复杂代数式通过分组分解，转化为熟悉的公式形式。
【例题12】.如图，一个长方形被分割成6小块，其中1块是边长为的正方形，3块是长为、宽为的长方形，2块是边长为的正方形。
（1）这6小块面积之和为________；
（2）把这个和分解因式：________；
（3）若长方形的宽为，则它的长为________。
图：6 小块拼成的长方形（1 个 a×a、3 个 a×b、2 个 b×b）
【变式题12-1】.利用1个边长为的正方形，3个长为、宽为的长方形，2个边长为的正方形拼成一个长方形。
（1）请画出拼成的长方形的示意图；
（2）利用面积关系写出一个因式分解的等式。
【变式题12-2】.已知，，，则的值等于________
【变式题12-3】.阅读材料：若，求的值。
解：，
即。
，，
，。
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值。
易错点
因式分解与整式乘法混淆：把整式乘法的积化成多项式当成因式分解，方向搞反。
分解不彻底：提公因式后或套公式后，括号内还能继续分解，没有分解到每一个因式都不能再分为止。
公因式找错：系数最大公约数找错，或字母指数取高次幂而不是最低次幂。
提公因式漏项：提取公因式后，括号内的项数变少，漏掉了”1”。
符号错误：首项为负时提负号，括号内各项忘记变号。
公式套用错误：平方差公式和完全平方公式混淆，或完全平方式只考虑和的平方漏掉差的平方。
重点
因式分解的概念与判断：理解因式分解的定义，能正确判断哪些变形是因式分解。
提公因式法：熟练掌握公因式的确定方法，能正确提取公因式分解因式。
公式法：熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能正确套用公式分解因式。
综合运用：掌握”一提二套三查”的一般步骤，能综合运用提公因式法和公式法分解因式。
难点
分组分解法：合理选择分组方式，使分组后能继续分解，分组原则的灵活运用。
配方法：理解配方法的原理，能灵活运用配方法分解因式和求最值。
因式分解的应用：能将实际问题或几何问题转化为因式分解问题，实现整体代入求值、判断三角形形状、证明整除等。
新定义问题：能读懂新定义材料，将新定义问题转化为熟悉的因式分解模型，灵活应用知识解决问题。
【对应练习题】
一、单选题
1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．多项式的公因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．8
B．-8
C．±8
D．±4
二、填空题
5．分解因式：________
6．利用因式分解计算：________
7．已知，，则________
8．若 ，则 ________
三、解答题
9．把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
10．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由。
11．利用因式分解简便计算：
（1）
（2）
12．阅读理解：阅读材料，并解答问题。
材料：利用”配方法”可以把二次三项式因式分解。
例如： 请用配方法因式分解：
（1）
（2）
（3）求多项式的最小值。
参考答案
【题型1】因式分解的概念判断
例题1　B。
变式1-1　B。
变式1-2　C
变式1-3　B
【题型2】提公因式法分解因式
例题2　
变式2-1　（首项为负，先提负号，括号内各项都变号）
变式2-2　
变式2-3　（1）； （2）； （3）
【题型3】平方差公式分解因式
例题3　
变式3-1　C。，两项异号且都是平方形式。
变式3-2　（1）； （2）
变式3-3　（1）400。； （2）1。
【题型4】完全平方公式分解因式
例题4　C。
变式4-1　（1）； （2）； （3）
变式4-2　（1）； （2）； （3）
变式4-3　。由 得 ，即
【题型5】分组分解法
例题5　（1）； （2）
变式5-1　（1）； （2）
变式5-2　（1）； （2）
变式5-3　（1）； （2）
【题型6】先分解再求值（整体代入）
例题6　
变式6-1　4。由 且 得
变式6-2　D（9）。
变式6-3　（1）7。； （2）5。
【题型7】因式分解简便计算
例题7　（1）1。； （2）13.2。
变式7-1　（1）10000。； （2）1。
变式7-2　（1）10000。； （2）500。
变式7-3　（1）2025。； （2）5050。原式
【题型8】因式分解的综合应用
变式8-2　等边三角形。 即 ，故
例题8　等腰三角形。，而 ，故
变式8-1　，因为 ，所以 ，恒为正数。
变式8-3　等腰三角形或直角三角形。由 得 ，故 或
【题型9】证明整除问题
变式9-2　D（63、65）。
例题9　设两个连续奇数为 与 ，则 ，是 8 的倍数。
变式9-1　，三个连续整数中必有一个是 2 的倍数、一个是 3 的倍数，故能被 6 整除。
变式9-3　，故能被 120 整除。
【题型10】配方法分解因式与求最值
例题10　（1）； （2），最小值为 1。
变式10-1　（1）； （2）
变式10-2　（1）最小值为 1。； （2）最小值为 1。（二次项系数不为 1 时，先把系数提出来再配方）。
变式10-3　 即 ，故 ，所以
【题型11】新定义与阅读理解问题
例题11　
变式11-1　C。设两个连续偶数为 与 ，其平方差 ，即 4×奇数，必是 4 的倍数；30 与 2022 都不是 4 的倍数，故 A、B 错；两连续奇数的平方差为 ，是 4×偶数，不是和谐数，故 D 错。
变式11-2　（1）因为 ，所以 整除 ； （2）设 ，展开得 ，故 ，从而
变式11-3　（1）32 是奇特数：；2020 不是，因为 ，不是 8 的倍数。 （2）设两个连续奇数为 与 ，其平方差 ，是 8 的倍数。
【题型12】数形结合与综合应用
例题12　（1）； （2）； （3）
变式12-2　3。
变式12-1　（1）拼成长为 、宽为 的长方形（1 个 正方形、3 个 长方形、2 个 正方形）； （2）
变式12-3　（1），故 ，所以 ； （2）由 得 ，故 。△ABC 是等腰三角形，故 或
对应练习题参考答案
1．B　2．B　3．C　4．C（±8）
5．
6．3000。
7．24。
8．1。，故 ，所以
9．（1）； （2）； （3）； （4）
10．等腰三角形。，而 ，故
11．（1）4。； （2）99.96。
12．（1）； （2）； （3），最小值为 5。

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