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29.1.1圆的有关概念
教学目标 1.探索圆的两种定义,理解并掌握弦、弧、优弧、劣弧、半圆等基本概念,并能够从图形中识别； 2.体会圆的不同定义方法,感受圆和实际生活的联系； 3.理解并掌握点与圆的三种位置关系.
重点难点 掌握点与圆的三种位置关系.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、情境引入 圆象征着圆满和谐.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切立体图形中最美的是球,一切平面图形中最美的是圆.” 圆形物体在生活中很常见,许多物体都给我们以圆的形象(图29-1-10). 图29-1-10 二、合作探究 【探究1】 圆的定义 问题1:在小学,我们已经对圆有了初步认识,如图29-1-11,观察画圆的过程,你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗 图29-1-11 师生活动:学生观察画圆的过程,并动手尝试画圆.师生共同得出结论: 图29-1-12 如图29-1-12,在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心,线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”. 注意:“圆”指的是“圆周”,不是“圆面”. 问题2:从画圆的过程你还能得出哪些结论呢 师生活动:学生分小组讨论、交流问题,教师适时点拨,得出结论: (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此,圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 问题3:确定一个圆的要素是什么 一是圆心,圆心确定其位置;二是半径,半径确定其大小. 【探究2】 点与圆的位置关系 观察画圆的过程,你还发现了什么 问题1:平面被圆分成了几部分 教师请同学们回答(三部分). 问题2:相应地,平面内的点与圆有几种位置关系,观察图29-1-13中点A,B,C与☉O的位置关系是怎样的 图29-1-13 教师板书:平面内的点与圆有三种位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内. 问题3:设☉O的半径为r,任意一点到圆心O的距离d与半径r的关系. 教师板书:点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系有三种:d>r,d=r,dr 点P在圆外; d=r 点P在圆上; d板书设计：
作业内容：
教学反思
课题：29.1.2过三点的圆（1）
教学目标 1.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆及其运用； 2.熟练掌握尺规作图,作出经过不在同一条直线上的三点的圆； 3.了解三角形的外接圆和外心等概念.
重点难点 理解和掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆,了解三角形的外接圆和外心等概念.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、复习引入 1.什么是圆 2.画出圆后,观察圆上各点到圆心的距离有什么关系. 3.到圆心的距离大于半径的点在什么位置呢 小于半径的点呢 师生活动:学生自主回答问题,教师鼓励学生积极思考,同时进行强调和总结. 二、合作探究 【课堂引入】 图25 思考：图25是一个损坏的旋转木马圆形底座的一部分，你能将旋转木马损坏的圆形底座还原吗 想一想：怎样确定一个圆 【探究】 不在同一条直线上的三点确定一个圆 活动一: 问题1:经过一个点A能不能作圆 如果能,这样的圆能作出多少个 问题2:经过两个点A,B能不能作圆 如果能,所作圆的圆心的位置有什么特点 师生活动: 学生动手操作,教师进行指导、帮助,讨论交流后统一结论:经过一个点A作圆,只要以点A以外任意一点为圆心,以这一点与点A的距离为半径就可以作出,这样的圆有无数个(图26①);经过两个点A,B作圆,由于所作圆的圆心到A,B两点的距离相等,所以圆心在线段AB的垂直平分线上,这样的圆也可以作出无数个(图②). 　图26 活动二: 问题:经过不在同一条直线上的三个点A,B,C能不能作圆 如果能,如何确定所作圆的圆心 师生活动: 教师引导学生进行分析:经过不在同一条直线上的三个点A,B,C作圆,因为所作的圆要经过A,B,C三点,其圆心应满足到这三个点的距离都相等,所以所作圆的圆心既要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上,显然所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 学生说明作图步骤: 1.连接AB,BC; 2.分别作线段AB,BC的垂直平分线l1,l2,设l1,l2相交于点O; 3.以点O为圆心,OA为半径,作出☉O.☉O就是经过A,B,C三点的圆(如图27). 　图27 教师引导学生总结结论,并板书: 不在同一条直线上的三个点确定一个圆(教师引导学生注意:对于在同一条直线上的三个点不能确定一个圆). 教师根据图形进行讲解并拓展: (1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆; (2)三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫作这个三角形的外心,这个三角形叫作圆的内接三角形. 三、例题讲解 例1　如图28,△ABC是边长为2的等边三角形,作出它的外接圆,并求外接圆的半径长. 图28 答案:作图略　外接圆的半径长为 例2　如图29,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,☉D的一条圆弧经过格点A,B,C,现在以格点O为原点、水平和竖直方向为x,y轴建立平面直角坐标系. (1)圆心D的坐标为　　　　; (2)求☉D的半径长; (3)若点E的坐标是(-1,3),试判断点E与☉D的位置关系,并说明理由. 图29 解:(1)如图30所示,连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线交于点D,则点D(2,0)即为所求.故答案为(2,0). (2)如图,连接AD.由勾股定理,得AD==2,即☉D的半径长为2. 图30 (3)点E在☉D内. 理由如下:∵DE==3<2, ∴点E在☉D内. 四、课堂总结 课堂练习 课本118页
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课题：29.1.2过三点的圆（2）
教学目标 1.了解反证法,掌握反证法证明的过程； 2.通过学生的独立思考、交流合作,让学生经历问题解决的过程,体验解决问题策略的多样性.
重点难点 反证法的证明过程.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、复习引入 请同学们判断下列命题的真假,并说明理由. 1.在直角三角形中,两锐角互余. 2.若x>y,z<0,则xz0,则a,b,c中至少有一个数为正数. 证明:假设a,b,c都不是正数,则a+b+c≤0. ∵a+b+c>0,与假设矛盾,∴a,b,c中至少有一个数为正数. 四、课堂总结 课堂练习 课本119页
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课题：29.2.1垂直于弦的直径
教学目标 1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题； 3.在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程.
重点难点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、课堂引入 你知道赵州桥吗 它是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度为37 m,拱高为7.23 m,怎样才能求出它的主桥拱的半径长呢 师生活动:学生动脑思考问题，解答受阻，教师引入课题. 二、合作探究 【探究1】 圆的特性 剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,你发现了什么 重复做几次,由此你能得到圆具有怎样的对称性 能证明你的结论吗 师生活动:学生动手操作,教师观察操作结果,在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性. 结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【探究2】 垂径定理及其推论 图29-2-16 从上面的动手操作可知,如图29-2-16,如果☉O的直径AB垂直于弦MM',垂足为N,那么M和M'是关于直径AB的对称点.把圆沿着直径AB对折时,点M与点M'重合,你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗 请说明理由. 师生活动:学生进行观察、分析,通过合情推理总结结论,教师指导学生分析题目中的条件和结论.教师用多媒体演示,学生尝试归纳垂径定理后,教师补充、完善，最后用几何语言进行描述. 教师板书: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 几何语言:∵AB⊥MM',AB是☉O的直径, ∴MN=M'N,,. 教师针对图形,提出问题1:垂径定理是由几个条件得到几个结论 师生分析得:是由①直径;②垂直于弦两个条件得到①平分弦;②平分优弧;③平分劣弧三个结论. 问题2:把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换,是否仍然成立呢 学生讨论、交流,并用语言进行总结,教师引导、点拨,得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 教师做出总结: 垂径定理的本质是: 知二得三 练一练：下列命题中,正确的是 (C) A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦中点的直线必过圆心 C.弦所对的两弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧 三、例题讲解 例1　赵州桥(图29-2-17)是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 　图29-2-17　　　　　　图29-2-18 解:如图29-2-18,表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径长为R m.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设可知AB=37,CD=7.23, ∴AD=AB=×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2. 解得R≈27.3. 因此,赵州桥的主桥拱半径长约为27.3 m. 四、课堂总结 课堂练习
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课题：29.2.2圆心角
教学目标 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性； 2.掌握弧、弦、圆心角的关系定理,并能运用其解答问题； 3.通过观察、分析弧、弦、圆心角的关系,发展学生的合情推理能力和演绎推理能力； 4.通过教具的演示,使学生感受圆的旋转不变性,发展学生观察、分析的能力； 5.能运用弧、弦、圆心角的关系定理证明弧相等、弦相等、圆心角相等.
重点难点 弧、弦、圆心角的关系定理及灵活运用.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、复习引入 问题: 1.圆是轴对称图形吗 圆的对称轴是什么 2.由圆的轴对称性得到了垂径定理,垂径定理的内容是什么 请画出基本图形. 剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗 由此你能得到什么结论 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢 学生动手操作,小组交流讨论,最后师生共同得出结论: 1.圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心. 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合,即圆是旋转对称图形. 利用这个性质,我们可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系呢 合作探究 【探究1】 圆心角的概念 这节课,我们再来研究与圆有关的角,先考虑角的顶点在圆心这种特殊位置的情形.我们把顶点在圆心的角叫作圆心角.请同学们完成“练一练”. 练一练:判断图29-2-29中的角是不是圆心角. 图29-2-29 [答案:图①②③中的角不是圆心角,图④中的角是圆心角] 教师提问,学生共同作答. 【探究2】 弧、弦、圆心角之间的关系 图29-2-30 如图29-2-30,在☉O中,当圆心角∠AOB=∠A'OB'时,它们所对的弧与有什么关系 弦AB与A'B'呢 为什么 我们把∠AOB连同绕圆心O旋转,使射线OA与OA'重合. ∵∠AOB=∠A'OB',∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA',OB=OB', ∴点A与A'重合,点B与B'重合. 因此,与重合,AB与A'B'重合,即,AB=A'B'. 在等圆☉O和☉O'中,如果∠AOB=∠A'O'B',你发现的等量关系是否依然成立 为什么 归纳:通过平移和旋转将等圆☉O和☉O'变成同一个圆,我们发现:如果∠AOB=∠A'O'B',那么,弦AB=弦A'B'. 这样,我们就得到下面的定理: 结论1　弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. ①∠AOB=∠A'OB' 在同圆或等圆中,对于两个圆心角、两条弧、两条弦,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量有什么关系 师生活动:小组交流讨论,师生共同得出结论. 结论2　推论1:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. ② 推论2:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等. ③AB=A'B' 三、例题讲解 例1　如图29-2-31,在☉O中,,∠ACB=60°.求证:∠AOB= ∠BOC=∠AOC. 图29-2-31 师生活动:教师引导学生观察图中∠AOB,∠BOC,∠AOC三个角是什么角,思考该怎样去证明圆心角相等. 学生观察、思考、讨论,尝试写出解题过程,教师进行指导并演示证明过程. 证明:∵在☉O中,,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,可得AB=BC=AC, ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 学生解题后反思:要想证明圆心角相等,可以证明它们所对的弧相等或弦相等. 例2　如图29-2-32,AB是☉O的直径,,∠COD=35°.求∠AOE的度数. 图29-2-32 解:∵,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°, ∴∠AOE=180°-3×35°=75°. 四、课堂总结 课堂练习
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教学反思
课题：29.2.3圆周角（1）
教学目标 1.了解圆周角的概念，理解圆周角定理； 2.熟练掌握圆周角定理及其推论，并灵活运用； 3.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理和演绎推理的能力.
重点难点 圆周角的概念和圆周角定理及其应用.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、复习引入 问题: 1.什么是圆心角 弧、弦、圆心角之间的关系定理是什么 2.一条弧所对的圆心角有几个 一个圆心角所对的弦有几条 反过来,一条弦所对的圆心角有几个 一个圆心角所对的弧有几条 师生活动:教师引导学生完成复习任务,鼓励学生积极思考. 思考:如图29-2-51,过球门A,E两点画圆,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B,C,D有关(张开的角度大小),仅从数学的角度考虑,球员选择从哪一位置射门更有利 图29-2-51 二、合作探究 【探究1】 圆周角的概念 问题1:观察上图中的∠ABE,∠ACE,∠ADE,他们的顶点和边都有什么共同特征 (顶点在圆上、两边都与圆相交) 问题2:你能仿照圆心角的定义,给这样的角下个定义吗 圆周角:顶点在圆上并且两边都与圆相交的角. 注意:两个条件必须同时具备,缺一不可. 判一判:下列图形中的∠BAC是不是圆周角 并说明理由. 图29-2-52 [答案:(1)(5)(6)中的∠BAC是圆周角　(2)(3)(4)中的∠BAC不是圆周角　理由略] 师生活动:学生独立思考,教师个别提问. 【探究2】 探究圆周角与圆心角的关系 问题1:同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的 问题2:同弧所对的圆周角的大小关系是怎样的 师生活动:教师提出问题,引导学生利用测量工具动手试验,发现结论;教师组织学生先自主探究,再小组合作交流,按照圆周角在圆中的位置特点分情况总结出探究的方案. 操作:1.分别测量图29-2-53中所对的圆周角∠BAC和圆心角 ∠BOC的度数,它们之间有什么关系 图29-2-53 结论:∠BAC=∠BOC. 2.改变,测量∠BAC,∠BOC的大小,上述关系是否仍然成立 (成立). 3.由此你发现了什么结论 (一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的一半). 4.能证明你发现的结论吗 要证明上面发现的结论,要先讨论圆心O与圆周角∠BAC的位置有几种情况,分别是什么. 解:三种,分别为圆心在圆周角的一条边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部. 证明圆周角定理 (1)当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时,如图29-2-54①所示,∠CAB=∠BOC吗 (2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时, 如图②所示,∠CAB=∠BOC吗 (3)当圆心O在圆周角∠BAC的外部时, 如图③所示,∠CAB=∠BOC吗 图29-2-54 师生活动:教师引导学生写出已知、求证,并完成证明. 通过证明得到圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【探究3】 圆周角定理的推论 问题1:根据得到的上述结论,可以证明同弧所对的圆周角相等吗 由此得到:同弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 问题2:将上述“同弧”改为“等弧”,结论会发生变化吗 总结归纳出圆周角定理的推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等. 问题3: 图29-2-55 如图29-2-55,半圆所对的圆周角是多少度 90°的圆周角所对的弦是哪条 师生活动:学生根据圆周角定理进行分析、讨论,教师引导总结. 通过分析,继而得到圆周角定理的推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 教师主要关注: (1)问题的提出是否引起学生的兴趣; (2)学生是否理解圆周角的定义; (3)学生是否清楚要研究的数学问题. 三、例题讲解 1.如图29-2-57,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点.若∠ABD =40°,则∠BCD的度数为　50°　. 图29-2-57 2.如图29-2-58,☉O的直径AB的长为10,弦AC的长为6,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长. 图29-2-58 解:如图29-2-59,连接OD. 图29-2-59 ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵在Rt△ABC中,AB=10,AC=6,∴BC==8. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD. ∵在☉O中,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD. ∵在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∴AD=BD=AB=5. 四、课堂总结 课堂练习
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教学反思
课题：29.2.3圆周角（2）
教学目标 1.理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念； 2.掌握圆内接四边形的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明.
重点难点 圆内接四边形的概念及圆内接四边形的性质.
教学方法 讲练结合
教学手段 多媒体
教学过程
一、复习引入 1.什么是圆心角 什么是圆周角 顶点在圆心的角叫作圆心角; 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论是什么 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 二、合作探究 【探究】 圆内接四边形的性质 活动一　圆内接四边形的概念 1.请仔细观察以下图形,它们有什么不同点和相同点 图29-2-69 师生活动:教师出示图片,学生观察并思考. 不同点:图中多边形的边数不同. 相同点:所有多边形的顶点都在同一个圆上.多边形在里面,圆在外面. 教师在学生回答的基础上,引出圆内接多边形及多边形的外接圆的概念. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作圆的内接多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆. 　图29-2-70 2.如图29-2-70,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,你能给它起个名字吗 学生自然得出:四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O是四边形ABCD的外接圆. 教师总结圆内接四边形的概念: 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个四边形叫作圆的内接四边形,这个圆叫作这个四边形的外接圆. 活动二　圆内接四边形的性质 1.四边形的内角和为多少度 (360°) 圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为360°的性质,是否还有其他性质 2.请同学们观察以下圆内接四边形的两组对角有什么关系. 图29-2-71 [答案:对角互补] 图29-2-72 追问1:图29-2-72中圆内接四边形的两组对角是否也具有这个特点 追问2:你能证明吗 方法1:度量法 用量角器量一量∠D,∠B,∠A,∠C的度数,发现∠D+∠B=180°,∠A+∠C=180°,由此发现圆内接四边形的对角互补. 方法2:几何证明法 　图29-2-73 如图29-2-73,四边形ABCD是☉O的内接四边形.连接OB,OD. ∵∠A所对的弧为,∠C所对的弧为, 又和所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C==180°. 同理∠B+∠D=180°. 这样,利用圆周角定理,得到圆内接四边形的一个性质:圆内接四边形的对角互补. 符号语言: ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. 三、例题讲解 例1　在圆内接四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数之比是2∶3∶6.求这个四边形各角的度数. 解:设∠A,∠B,∠C的度数分别为2x,3x,6x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°, ∴2x+6x=180°,∴x=22.5°, ∴∠A=45°,∠B=67.5°,∠C=135°,∠D=180°-67.5°=112.5°. 例2　如图29-2-74,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BOD= 100°,求∠A和∠C的度数. 图29-2-74 解:∵在☉O中,∠A与∠BOD所对的弧都是, ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠C+∠A=180°,∴∠C=130°. 四、课堂总结 课堂练习
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课题：29.3弧长和扇形面积（1）
教学目标 1.掌握弧长公式和扇形面积公式的推导过程,初步运用扇形面积公式进行有关计算； 2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程,发展学生抽象、理解、概括、分析问题、解决问题的能力.
重点难点 弧长公式和扇形面积公式的推导及公式的应用.
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教学手段 多媒体
教学过程
一、复习引入 问题: 1.圆的周长公式是什么 2.圆的面积公式是什么 3.什么是弧 师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解. 【课堂引入】 1.如图29-3-16,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处 图29-3-16 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 2.怎样来计算弯道的“展直长度” 这就是我们这节课需要解决的一个问题. 二、合作探究 【探究1】 弧长公式 我们知道,弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.请同学们思考下面几个问题: 1.如何计算圆周长 (2πR) 2.圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长 (360°的圆心角所对的弧长) 3.由此出发,1°的圆心角所对的弧长是多少 4.n°的圆心角呢 由此,我们得到弧长公式为:l=. 师生共同总结: 在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是,即.于是,n°的圆心角所对的弧长为l=. 注意:用弧长公式进行计算时,要注意公式中n的意义,n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的. 师生活动:教师引导学生观察、思考,学生讨论、交流,发表各自见解. 【探究2】 扇形的面积公式 教师引导:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图29-3-17,阴影部分是一个扇形,记作扇形OAB. 图29-3-17 可以发现,扇形的面积除了与圆的半径有关,还与组成扇形的圆心角的大小有关.在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形面积也就越大. 由扇形的定义可知,扇形面积就是圆面积的一部分. 问题1:想一想,如何计算半径为R,圆心角为n°的扇形的面积呢 师生活动:学生根据弧长公式的推导过程,小组内讨论解答,类比后得到扇形的面积计算公式,教师给予点拨和指导. 学生阐述理由:在半径为R的圆中,因为圆心角为360°的扇形的面积就是圆面积S=πR2, 所以圆心角为1°的扇形面积是. 于是,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=. 问题2:当扇形的半径为R,圆心角为n°时,扇形面积S与弧长l之间有什么关系 教师引导学生发现:在这两个公式中,弧长和扇形面积都和圆心角n°,半径R有关系,因此l和S扇形之间也有一定的关系,列式表示为S扇形=×R=lR. 三、例题讲解 例1　制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料.计算图29-3-18所示管道的展直长度L(结果取整数). 图29-3-18 教师引导学生分析:要求管道的展直长度,即求出的长,根据弧长公式l=可求得的长. 教师指导学生写出解题过程: 解:由弧长公式,得的长 l==500π≈1570. 因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2970(mm). 例2　如图29-3-19,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 图29-3-19 解:如图29-2-20,连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线,垂足为D,交于点C,连接AC. 图29-3-20 ∵OD=OC-DC,OC=0.6,DC=0.3, ∴OD=0.3, ∴OD=DC. 又AD⊥OC, ∴AD是线段OC的垂直平分线, ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°,∠AOB=120°. 则有水部分的面积 S=S扇形OAB-S△OAB=×0.62-AB·OD=0.12π-×0.6××0.3≈0.22(m2). 教师引导学生分析:要求图中阴影部分(弓形)的面积,没有直接的公式,需要转化为规则图形面积的和差问题,即扇形面积与三角形面积的差.容易想到作辅助线,再利用垂径定理,先根据公式分别求出扇形和三角形的面积,然后问题得到解决. 总结:弓形的面积公式: 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 四、课堂总结 课堂练习 【当堂训练】 1.在半径为6的☉O中,60°圆心角所对的弧长是 (B) A.π B.2π C.4π D.6π 2.如图29-3-22,已知扇形OAB的半径为2,圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是(A) 　图29-3-22 A.π-2 B.π-4 C.4π-2 D.4π-4 3.(1)在半径为6 cm的圆中,圆心角为60°的扇形的面积是　6π　cm2; (2)已知扇形的半径为2 cm,面积为2π cm2,则扇形的圆心角的度数是　180°　; (3)若扇形的弧长为10π cm,面积为20π cm2,则扇形的半径为　4　cm.
板书设计：
作业内容：
教学反思
课题：29.3弧长和扇形面积（2）
教学目标 1.会计算圆锥的侧面积和全面积,并会解决实际问题； 2.掌握圆锥的侧面积和全面积的计算方法,并可以解决一些实际问题.
重点难点 圆锥的侧面积和全面积的计算.
教学方法 讲练结合
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教学过程
一、复习引入 问题: 1.弧长和扇形面积的计算公式分别是什么 2.什么是圆锥 请描述圆锥的形状,并列举生活中常见的圆锥图形. 师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解. 【课堂引入】 教师出示图片,学生观察. 生活中的圆锥 图29-3-40 教师展示圆锥形帽子,出示问题:你能用手上的长方形白纸折叠出这种圆锥形帽子吗 二、合作探究 【探究1】 圆锥及相关概念 提问:圆锥是由什么组成的 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.它的底面是一个圆,侧面是一个曲面. 教师展示圆锥形帽子,结合实物介绍圆锥的底面、侧面、母线、高等概念. 学生边听,边理解,边记忆. 教师将圆锥形帽子沿一条母线剪开,然后用双面胶将帽子粘贴在黑板上,教师引导学生通过观察得出圆锥的侧面展开图是扇形. 问题:怎样才能制作出这种圆锥形的帽子 教师引导学生观察、分析、比较展开图(扇形)与圆锥的关系,同时进行演示,让学生有意识地观察. 学生分组讨论,合作探究得出圆锥侧面展开图的半径、弧长与圆锥的母线、底面圆的周长之间的关系. 教师做好总结: ①圆锥的侧面展开图是一个扇形; ②圆锥的母线是展开图中扇形的半径; ③圆锥底面圆的周长是展开图中扇形的弧长; ④圆锥的侧面积是展开图中扇形的面积. 【探究2】 圆锥的侧面展开图 问题:如果设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么圆锥的侧面积应怎样计算 全面积呢 教师引导学生进行思考后,全班合作交流,最后学生写出认为正确的计算公式,教师给予讲解. 　图29-3-41 如图29-3-41,圆锥的侧面积就是展开图中扇形的面积,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长2πr,扇形的半径为圆锥的母线长l,根据扇形面积公式,得圆锥的侧面积为×2πr×l=πrl. 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的,所以全面积是S全=S侧+S底=πrl+πr2=πr(r+l). 教师与学生共同总结、归纳,给予学生充分的时间观察图形,理解公式. 三、例题讲解 例1　如图29-3-42,根据下列条件求值(其中r,h,l分别是圆锥的底面圆半径、高、母线长): (1)若l=2,r=1,则h= 　; (2)若h=3,r=4,则l=　5　; (3)若l=10,h=8,则r=　6　. 图29-3-42 例2　如图29-3-43,毡房可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为3.2 m,外围高1.8 m的毡房,至少需要多少平方米毛毡(π取3.142,结果取整数) 图29-3-43 解:图29-3-44是一个毡房的示意图. 图29-3-44 根据题意,下部圆柱的底面积为12,高h2=1.8;上部圆锥的高h1=3.2-1.8=1.4. 圆柱的底面圆的半径r=≈1.954, 侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10. 圆锥的母线长l=≈2.404, 侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28, 圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76. 因此,搭建20个这样的毡房至少需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738(m2). 引导学生分析:毛毡的面积是圆柱的侧面积和圆锥的侧面积之和.先求圆柱的侧面积,根据公式S圆柱侧=2πrh,已知h=1.8 m,关键是求r;要求圆锥的侧面积,根据公式S圆锥侧=πrl,r已求出,关键是求l,圆锥的高为3.2-1.8=1.4(m),所以利用勾股定理即可求解. 四、课堂总结 课堂练习
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