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第一章 有理数 （讲义）-2026-2027学年七年级上册数学人教版
人教版（2024年版）七年级数学上册　第一章 有理数　1.1 正数和负数　1.2 有理数及其大小比较
班级：________　姓名：________　日期：________
　课时目标
课标要点 1．能说出正数与负数的意义，会用正数、负数表示温度、海拔、盈亏、增减这类具有相反意义的量，并知道0既不是正数也不是负数。 2．能说出有理数的概念，知道教材用“可以写成分数形式的数”给有理数下定义，会按“整数与分数”“正有理数、0与负有理数”两种常用方式给一个数归类；会画数轴，会在数轴上表示有理数，也会由数轴上的点读出它表示的数。 3．能说出相反数与绝对值的意义，会求一个数的相反数与绝对值，会化简多重符号，并会用数轴法和比较法则比较两个有理数的大小。
学习重难点 重点：用正数、负数表示具有相反意义的量；有理数的两种分类；数轴三要素与“数轴上的点表示有理数”；相反数、绝对值的意义与求法。 难点：带字母的符号判断：-a不一定是负数、|a|＝a成立的条件、a＜0时a与-a、|a|的排序。
　课时核心导图
　知识梳理
知识点　01　正数、负数与具有相反意义的量
大于0的数叫作正数；在正数前面加上符号“-”的数叫作负数，这里的“-”是负号，读作“负”。为了明确表达与负数相反的意义，正数前面也可以加上符号“+”，读作“正”，例如+18与18是同一个数。0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。一个问题里如果出现意义相反的两个量，就可以把其中一个记为正、另一个记为负：把零上7摄氏度记作+7℃，零下7摄氏度就记作-7℃。
大于0的数→正数；正数前加“-”→负数；0既不是正数，也不是负数
小提示：先认准题目把哪一边定为正，另一边才记成负；“+”号可以省略，“-”号一个也不能少。
知识点　02　有理数的概念与两种分类
正整数、0、负整数统称为整数，正分数与负分数统称为分数。可以写成分数形式的数称为有理数。整数也能写成分数形式，例如5可以写成，所以整数也是有理数；有限小数与无限循环小数都能化成分数，所以0.7（即）这样的小数也是有理数。整理一个数的身份时，常用下面这张表：
按形式分：有理数→整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）
按符号分：有理数→正有理数、0、负有理数
类别 包括哪些数 举例
正整数 大于0的整数 3，25，+9
0 既不是正数，也不是负数 0
负整数 小于0的整数 -3，-25
正分数 大于0、能写成分数形式而不是整数的数 0.8，
负分数 小于0、能写成分数形式而不是整数的数 -0.8，-1.25
小提示：归类前先把每个数化到最简：带“+”的先去掉正号，多重符号先化简；百分数与有限小数都要想到它们能写成分数形式。教材用“可以写成分数形式的数”给有理数下定义，按“整数与分数”“正、0、负”这样整理，是使用这个定义时的两种常用方式。
知识点　03　数轴的三个要素
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。画数轴时，先画一条直线，在直线上任取一个点作为原点表示0；通常规定从原点向右为正方向，用箭头标出来；再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度依次表示1，2，3，……，从原点向左依次表示-1，-2，-3，……。三个要素缺一不可：单位长度一变，同一个位置上的点读出来的数就跟着变——若每相邻两个刻度之间表示2个单位长度，那么原点右边第3个刻度表示的就不是3而是6。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度
小提示：画完数轴先自查三处：表示0的原点有没有标、右端箭头有没有画、每相邻两个刻度之间是不是一样长。
知识点　04　数轴上的点与有理数的对应
有理数都可以用数轴上的点表示。原点把数轴（原点除外）分成两部分，正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作负半轴：正数对应正半轴上的点，负数对应负半轴上的点，0对应原点。设a是一个正数，那么表示a的点在正半轴上，与原点相距a个单位长度；表示-a的点在负半轴上，与原点也相距a个单位长度。下面的数轴上，点M表示-3.5，点N表示2。
正数 正半轴上的点　0 原点　负数 负半轴上的点
小提示：由点读数，先看它在原点的哪一边定符号，再数它离原点有几个单位长度。
知识点　05　相反数
只有符号不同的两个数互为相反数，例如8与-8互为相反数，0的相反数是0。一般地，a和-a互为相反数，这里的a可以是正数、负数，也可以是0，所以-a的正负要看a本身，不能一看到负号就断定它是负数。在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数，因此-（+8）＝-8，-（-8）＝8。数前面的“-”号有偶数个时，化简的结果与原数同号；有奇数个时，化简的结果与原数异号。
a与-a互为相反数；-（-a）＝a；0的相反数是0
小提示：“-a”读作“a的相反数”，它的正负要看a本身，不能一看到负号就断定它是负数。
知识点　06　绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。例如表示9与-9的点到原点的距离都是9，所以|9|＝9，|-9|＝9；显然|0|＝0。由此可以得到：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用字母写出来就是：如果a是正数，那么|a|＝a；如果a是0，那么|a|＝0；如果a是负数，那么|a|＝-a。
a是正数时|a|＝a；a是0时|a|＝0；a是负数时|a|＝-a
小提示：绝对值是一段距离，所以不论a取什么有理数，|a|都不会是负数。
知识点　07　有理数的大小比较
在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。由这个规定可以归纳出比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。异号两数比大小只要看正负；同号两数比大小才要动用绝对值。例如比较-2与-6：|-2|＝2，|-6|＝6，2＜6，于是-2＞-6。
正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小
小提示：两个负数比大小要走两步：先求出各自的绝对值比一比，再把结论反过来写。
知识点　08　用正数和负数表示相反意义的量的常见模型
实际问题里成对出现的量，只要意义相反，就可以一个记为正、另一个记为负。常见的有五类：温度的零上与零下、海拔的高于海平面与低于海平面、账目的收入与支出、数量的增加与减少、方向的向东与向西（或向上与向下）。记的时候先认准题目把哪一边规定为正。例如把水位上升记为正，那么上升0.4m记作+0.4m，下降0.4m就记作-0.4m。每一类里的0都有确定的含义：0℃是一个确定的温度，海拔0m是一个确定的高度，账目记0元表示不盈不亏，增长率是0表示与上期相比没有变化。
一边记为正　→　意义相反的另一边记为负；0表示“两边都不偏”的那个基准
小提示：写这类答案时别把单位丢了，也别把题目规定的正方向换掉；读一个带负号的记录，要还原成“少多少”“低多少”“降多少”。
知识点　09　绝对值与数轴上的距离
|a|就是数轴上表示a的点与原点的距离，所以一个数的绝对值越大，表示它的点离原点越远。反过来，已知一个点与原点的距离，就能找出它表示的数：与原点距离是3个单位长度的点，在原点左右各有一个。数轴上两点之间的距离，可以按它们与原点的位置分两段数：两点在原点同侧时，用较远那点与原点的距离减去较近那点与原点的距离；两点分居原点两侧时，把两点各自与原点的距离合起来。例如表示-2的点与表示3的点分居原点两侧，它们之间的距离是2个单位长度加3个单位长度，共5个单位长度。
|a|＝表示a的点到原点的距离；与原点距离为正数d的点有两个，它们互为相反数
小提示：凡是“相距几个单位长度”的问法，都要先判断这样的点在定点的哪一边，通常左右各有一个。
【题型1】用正数和负数表示具有相反意义的量
这一类题先找准题目把哪一边规定成了正，与它意义相反的那一边就写成负数，单位跟着数一起写。
例1　一种袋装奶粉的标准质量是900g，质检时把超过标准质量的克数记为正数。比标准质量重8g与比标准质量轻5g各怎样表示？记录“-3g”表示什么意思？
【分析】题目已经把“超过标准质量的克数”规定为正，那么与它意义相反的“不足标准质量的克数”就要记成负数。反过来读一个带负号的记录，也要把它还原成“少多少”。
【解答】比标准质量重8g，超过了标准，记作+8g；比标准质量轻5g，不足标准，记作-5g。记录“-3g”中的负号表示不足，所以它表示这袋奶粉的质量比标准质量少3g。
【方法小结】读题第一步永远是找出题目规定的“正”指哪一边，第二步才把相反的一边写成负数；写答案时别把单位丢了。
例2　四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化情况如下：A品牌减少2%，B品牌增长4%，C品牌没有变化，D品牌减少3%。用正数、负数写出这四种品牌手机第二季度销售量的增长率；“增长-2%”与“增长率是0”各表示什么意思？
【分析】要写的是“增长率”，增长与减少是一对意义相反的量：题目把增长定为正，减少就要记成负数；既不增也不减的那一种，用0表示。
【解答】A品牌销售量减少2%，增长率记作-2%；B品牌增长4%，增长率记作4%；C品牌没有变化，增长率记作0；D品牌减少3%，增长率记作-3%。“增长-2%”里的负号表示的是减少，所以它的意思是第二季度的销售量比第一季度减少了2%；“增长率是0”表示第二季度的销售量与第一季度一样多，既没有增加也没有减少。
【方法小结】读一个带负号的记录，要把它翻译成“少了多少”“降了多少”；这里的0不是“没有销售量”，而是“与上一季度相比没有变化”，它是增长与减少的分界。
题型1　变式：温度、账目、方向与记录表
四道题分别落在温度、账目、方向和一张记录表上：前两道练“怎么记”，第三道练“哪一对才算意义相反”，第四道练“怎么读”。
变式1　气象站记录某地一天的最高气温为零上6℃，写作+6℃；同一天的最低气温为零下9℃，应写作（　　）℃。
变式2　某便民服务点3月盈利820元，记作+820元；4月亏损75元，应记作（　　）元；若某个月记作0元，则表示这个月（　　）。
变式3　下面四组量中，两个量不具有相反意义的一组是（　　）。
A．收入80元与支出80元
B．水位上升2m与水位下降2m
C．买进7t与卖出7t
D．向东走9m与向北走9m
变式4　某水库管理员记录了一周里每天的水位变化，以前一天的水位为标准，上升的米数记为正数，下降的米数记为负数（单位：m），记录如下表。哪几天的水位比前一天低了？周三记作0表示什么？
日期 周一 周二 周三 周四 周五
水位变化 +0.15 -0.2 0 +0.06 -0.35
【题型2】有理数的分类
归类前先把每个数化简、看清符号：带“+”的先去掉正号，百分数与小数都要想到它们能写成分数。
例1　下面八个有理数分成两行写着：第一行是-7，，0，+5.8，第二行是-0.25，13，-，62%。把它们分别填入相应的有理数集合里。
正有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　…｝
负有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　…｝
整数集合：　　｛　　　　　　　　　　　　　　　…｝
【分析】先看符号定正负：带负号的三个数是负有理数，其余大于0的数是正有理数，0两边都不属于。再看能不能写成分数形式定是不是整数：+5.8、62%、都不是整数。
【解答】正有理数有，+5.8，13，62%；负有理数有-7，-0.25，-；整数有-7，0，13。把它们分别填进三个集合，注意0要填进整数集合，正、负两个集合里都不能出现它。
【方法小结】一个数可以同时属于好几个集合（例如13既是正有理数又是整数），但正有理数集合与负有理数集合之间不重叠，0只进整数集合。
例2　判断下面三句话是不是正确的，把不正确的改正过来：①负分数一定是负有理数；②有限小数都能写成分数形式，所以它们都是有理数；③一个有理数如果不是整数，就一定是负数。
【分析】判断这类说法，先把句子里出现的每一个名称按定义摊开——负分数、有限小数、整数、分数各指哪些数，再看句子有没有把两种分类方式混着用。
【解答】①负分数小于0，又能写成分数形式，所以它是有理数，而且是负的，①正确。②有限小数都能化成分母是10，100，……的分数，而能写成分数形式的数就是有理数，②正确。③把按形式分和按符号分这两种方式混在一起了：0.7不是整数，它是正分数，并不是负数。应改为：一个有理数如果不是整数，就一定是分数。
【方法小结】按形式分只分整数与分数两类，按符号分才分正、0、负三类，两种方式各管各的，不能交叉着用；要推翻一句话，举出一个反例就够了。
题型2　变式：0的归属、分数形式与集合关系
第一题盯住0的身份，第二题按定义把数写成分数形式，第三题考“非负整数”“负分数”圈住了哪些数，第四题理一理几个集合之间的关系。
变式1　关于数0，下面的说法正确的是（　　）。
A．0是正数
B．0是最小的整数
C．0是整数，也是有理数
D．0不能写成分数形式
变式2　把5，-3，0.7，-1.25这四个数分别写成分数形式（分母不为0），由此说明它们都是有理数。
变式3　把-12，0，，-1.5，+9，-40%这六个数中属于非负整数的写在前一行，属于负分数的写在后一行。
变式4　下面四句话中，正确的一句是（　　）。
A．整数只包括正整数和负整数
B．分数都是有理数
C．有理数不是正有理数，就是负有理数
D．0不是有理数
【题型3】在数轴上表示数与由点读数
画数轴与读点是一对互逆的本领：画的时候按三要素落笔，读的时候先定符号，再数它离原点有几个单位长度。
例1　画出数轴，并在数轴上表示下列各数：-3，1.5，0，-，4。
【分析】先按三要素画好数轴：定原点、标正方向、取单位长度。再逐个数落点：负数在原点左边，正数在原点右边，0就是原点。1.5与-都不在整数刻度上，要落在相邻两个整数刻度的正中间。
【解答】如图，表示-3的点在原点左边3个单位长度处；表示-的点在原点左边半个单位长度处；0就用原点表示；表示1.5的点在原点右边1个半单位长度处；表示4的点在原点右边4个单位长度处。
【方法小结】落点分两步：先由符号定在原点的哪一边，再由这个数与原点的距离数出它占几个单位长度；不是整数的数要先想清楚它夹在哪两个整数刻度之间。
例2　一条数轴上，相邻两个刻度之间表示2个单位长度，那么原点右边第3个刻度与原点左边第4个刻度各表示什么数？如果改成相邻两个刻度之间表示0.5个单位长度，原点右边第3个刻度又表示什么数？
【分析】三要素里的单位长度决定了每相邻两个刻度之间代表多大。刻度的序号只告诉我们隔了几段，要先弄清一段代表多少，再定这个点表示的数。
【解答】相邻两个刻度之间表示2个单位长度时，原点右边第3个刻度与原点隔了3段，一段2个单位长度，三段合起来是6个单位长度，这个点在正半轴上，表示6；原点左边第4个刻度与原点隔了4段，合起来是8个单位长度，它在负半轴上，表示-8。改成相邻两个刻度之间表示0.5个单位长度后，原点右边第3个刻度与原点相距1.5个单位长度，表示1.5。
【方法小结】读点分两步：先看点在原点的哪一边定符号，再把每一段代表的长度按段数累加，算出它与原点的距离。同一个位置，单位长度取得不一样，读出来的数就不一样。
题型3　变式：读点、落点、数点与估位置
读点、落点、数点、估位置各练一道：读点的关键是先定符号再数单位长度，数点时别忘了两端的点也要算。
变式1　下面的数轴上标出了A，B，C，D，E五个点，把这五个点各自表示的数依次写出来。
变式2　把-4.5，-2，0，1，3这五个数在同一条数轴上标出来，并指出其中哪个数离原点最远。
变式3　在数轴上，表示-2的点与表示3的点之间（包括这两个点）表示整数的点一共有（　　）个，其中表示负整数的点有（　　）个。
变式4　在数轴上，表示-的点落在（　　）与（　　）这两个整数刻度之间；表示2.5的点落在2与3这两个刻度的（　　）（填“正中间”或“靠近2的一侧”）。
【题型4】相反数与多重符号的化简
求相反数只改符号不改数字；化简多重符号时，把数前面的“-”号数一数，看它是奇数个还是偶数个。
例1　分别写出-6与这两个有理数的相反数，再把-[-(-3)]化到最简。
【分析】求一个数的相反数，只要在这个数前面添上“-”号再化简，数字部分一点不动。化简多重符号时由里往外一层一层脱括号，也可以直接数“-”号的个数。
【解答】-6的相反数是-（-6）＝6；的相反数是-。化简-[-(-3)]：最里层-(-3)＝3，再取一次相反数得-3，所以-[-(-3)]＝-3。这个数前面一共有3个“-”号，是奇数个，结果与3异号，正好印证了“数负号个数”这一算法。
【方法小结】相反数只管符号：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。多重符号化简可以直接数“-”号：偶数个得正，奇数个得负。
例2　下面的数轴上标出了3与-3、1.5与-1.5这两对数。互为相反数的两个数，它们对应的点与原点的位置有什么关系？如果表示a的点在原点左边4个单位长度处，那么表示-a的点在哪里？
【分析】互为相反数的两个数只有符号不同：数字部分相同说明两点与原点的距离相等，符号不同说明两点分别在原点的两边。
【解答】从图上看，表示3与-3的两点分别在原点右边、左边3个单位长度处；表示1.5与-1.5的两点分别在原点右边、左边1.5个单位长度处。可见互为相反数的两个数，它们的点关于原点对称，与原点的距离相等。表示a的点在原点左边4个单位长度处，说明a是负数，它的相反数-a是正数，所以表示-a的点在原点右边4个单位长度处。
【方法小结】“互为相反数”画到数轴上就是“关于原点对称”：把其中一个点搬到原点另一边、与原点的距离保持不变，就得到另一个点。0的相反数是0，这两个点重合在原点上。
题型4　变式：相反数、符号个数与对称点
前两道把“只改符号”与“数负号个数”各练一遍，第三道由相反数倒推原数，第四道把相反数的结论逐句过一遍。
变式1　-9，0，4.7，-这四个有理数的相反数分别是什么？依次写出来。
变式2　把-（-7），-（+0.5），-[-（-6）]，+[-（-）]这四个式子里的多重符号化去，写出最简结果。
变式3　已知某个有理数的相反数是2.4，那么这个有理数是（　　）；如果一个有理数的相反数与它本身相等，那么这个数是（　　）。
变式4　判断下面各句话是否正确，对的画“√”，错的画“×”：①-5的相反数是5（　　）；②相反数等于它本身的数只有0（　　）；③互为相反数的两个数，它们在数轴上对应的点与原点的距离相等（　　）；④数轴上表示互为相反数的两个数的点，一定分别在原点的两边（　　）。
【题型5】求绝对值与“|a|＝a”成立的条件
求绝对值先看这个数的正负：正数与0照抄，负数去掉负号；带字母的题要把三种情况分开说。
例1　求|-4.5|，|0|，|+|的值；再说出|a|＝a成立时，a是什么样的数。
【分析】绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离，距离不会是负的。按法则分三种情况：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
【解答】-4.5是负数，它的绝对值是它的相反数，|-4.5|＝4.5；|0|＝0；+是正数，绝对值是它本身，|+|＝。要使|a|＝a成立，a不能是负数：a是正数时|a|＝a成立，a是0时|a|＝0也成立，所以a是正数或0。
【方法小结】遇到|a|先问一句“a是正是负还是0”，再按对应的法则写结果；带字母的条件题要把正数、0、负数三种情况分别代进去检验，不能只看其中一种。
例2　一种零件的标准长度是60mm，加工时把比标准长的毫米数记为正数，比标准短的毫米数记为负数；与标准相差不超过0.5mm的零件算合格品。五个零件的记录分别是+0.3，-0.5，0，+0.8，-0.2（单位：mm）。哪个零件的长度最接近标准？哪个零件不是合格品？
【分析】记录里的符号只说明比标准长还是比标准短，与标准“差了多少”要看这个数与0的距离，也就是它的绝对值。绝对值越小，越接近标准。
【解答】五个记录的绝对值依次是0.3，0.5，0，0.8，0.2。其中0最小，所以记录为0的那个零件长度正好等于标准，最接近标准。再看合格与否：|+0.8|＝0.8，0.8＞0.5，超出了允许的范围，所以记录为+0.8的那个零件不是合格品；其余四个记录的绝对值都不超过0.5，都是合格品（|-0.5|＝0.5，正好不超过）。
【方法小结】“最接近标准”“偏差最大”“是否合格”这类问题，一律先把每个记录取绝对值再比较：符号回答“偏大还是偏小”，绝对值才回答“偏了多少”。
题型5　变式：分情况求绝对值与字母排序
第一题练分情况求值，第二题把两条法则反过来用，第三题在四个式子里挑错，第四题把带字母的式子排成一队。
变式1　求-8，3.9，-，-（-13）这四个有理数各自的绝对值。
变式2　绝对值等于它本身的数是（　　）；绝对值等于它的相反数的数是（　　）。
变式3　下面四个式子都用到了绝对值，其中结果正确的一个是（　　）。
A．|-3|＝-3
B．-|5|＝5
C．|-|＝
D．|0|＝1
变式4　已知a＜0，把a，-a，|a|，-|a|，0这五个式子按从小到大的顺序排列。
【题型6】已知绝对值反过来求这个数
已知绝对值求原数，等于在数轴上找“与原点距离一定”的点：一般有两个，正负各一个。
例1　已知|x|＝5，求x的值；如果|x|＝0，那么x又等于几？
【分析】|x|＝5的意思是：数轴上表示x的点与原点的距离是5个单位长度。这样的点在原点两边各有一个，所以x有两个值，它们互为相反数。
【解答】与原点距离5个单位长度的点有两个，分别在正半轴与负半轴上，表示5与-5，所以x＝5或x＝-5。与原点距离为0的点只有原点本身，所以由|x|＝0得x＝0。
【方法小结】由绝对值反求原数，先问“有几个”：绝对值是正数时有两个互为相反数的解，绝对值是0时只有一个解0，绝对值不可能等于负数。
例2　已知|a|＝|b|，那么a与b之间有什么关系？再求出满足|x|＝|-4|的所有x的值。
【分析】|a|＝|b|的意思是：数轴上表示a的点与表示b的点，与原点的距离相等。与原点距离相等的点，可能就是同一个点，也可能分别在原点的两边。
【解答】当表示a与b的是同一个点时，a＝b；当这两个点分别在原点两边时，a与b互为相反数。所以由|a|＝|b|可以得到：a＝b，或者a与b互为相反数。再看|x|＝|-4|：先把右边化简，|-4|＝4，于是|x|＝4；与原点距离4个单位长度的点有两个，分别表示4与-4，所以x＝4或x＝-4。
【方法小结】见到|a|＝|b|要立刻想到两种情形，不能只写a＝b；遇到|x|＝|某个数|，先把右边的绝对值求出来，再按“与原点距离一定的点有两个”写全答案。
题型6　变式：由绝对值倒推原数与非负性
四道题都在“由距离找数”：第一道用绝对值相等找数，第二道靠附加条件筛掉一个解，第三道把范围内的整数一个不漏地列出来，第四道盯住绝对值的非负性。
变式1　已知|m|＝|n|，且m＝-2.5，写出n的所有可能值；若|x|＝|-7|，且x是负数，求x的值。
变式2　若|m|＝1.5，且m＜0，则m＝（　　）；若|n|＝n，且n≠0，则n一定是（　　）数（填“正”或“负”）。
变式3　写出所有绝对值小于3的整数，其中最大的整数是几？
变式4　不论x取什么有理数，|x|都（　　）（填“大于0”或“不小于0”）；当|x|取到最小的值时，x＝（　　）。
【题型7】有理数的大小比较
异号两数看正负就能定大小；同号两数才要动用绝对值，其中两个负数的结论要反过来写。
例1　下面三组数，每组两个数，分别比出它们谁大谁小，并写出判断的依据：（1）5与-2；（2）-2.5与-；（3）-与0。
【分析】比较两个有理数先看正负：异号两数、以及一个数与0比，看符号就能定大小；只有同号两数（本章主要是两个负数）才要动用绝对值。
【解答】（1）5是正数，-2是负数，正数大于负数，所以5＞-2。（2）-2.5与-都是负数，|-2.5|＝2.5，|-|＝＝0.4，因为2.5＞0.4，两个负数绝对值大的反而小，所以-2.5＜-。（3）-是负数，0大于负数，所以-＜0。
【方法小结】比大小先分堆：正数＞0＞负数，异号一眼定。两个负数比大小走三步——求绝对值、比绝对值、把结论反过来写，第三步最容易漏。
例2　在数轴上表示-3，-1.5，0，2这四个数，再按从小到大的顺序把它们用“＜”连接起来。
【分析】除了用法则，还可以直接用数轴来比：在水平的数轴上，左边的数小于右边的数。把几个数一起落到数轴上，从左往右读一遍，顺序就出来了。
【解答】如图，-3在原点左边3个单位长度处，-1.5在原点左边1个半单位长度处，0在原点上，2在原点右边2个单位长度处。这四个点从左到右依次表示-3，-1.5，0，2，所以-3＜-1.5＜0＜2。
【方法小结】数轴法的好处是一次能排一串数：先落点，再从左往右抄一遍。排完用法则验一次更稳妥——|-3|＞|-1.5|，绝对值大的反而小，同样得到-3＜-1.5。
题型7　变式：填符号、找整数、看情境与带字母
填符号、找整数、读情境、带字母各一道；不论哪一道，都先把数按正、0、负分堆，再在同一堆里比绝对值。
变式1　下面每一组都是两个有理数，把“＞”或“＜”填进括号，使式子成立：-3（　　）-7，-（　　）-0.9，-（　　）0。
变式2　比-3大的负整数有（　　）个，它们是（　　）；负整数中最大的是（　　），正整数中最小的是（　　）。
变式3　某年1月，甲、乙、丙、丁四地的平均气温分别是-7.2℃，5.4℃，-15.8℃，1.9℃。把这四个气温按从高到低的顺序排列。
变式4　已知a＞0，b＜0，且|b|＞|a|。在数轴上，表示a，b，0，-b的四个点从左到右依次是哪几个点？由此写出这四个数的大小关系。
【题型8】数轴上的距离与点的移动
在数轴上向右移动就是往数大的一边走，向左移动就是往数小的一边走；两点间的距离就是中间隔着的单位长度的个数。
例1　数轴上点A表示-3。把点A向右移动5个单位长度得到点B，点B表示什么数？到点A的距离恰好是2个单位长度的点又表示哪些数？
【分析】向右移动就在数轴上往正方向数，从-3出发数5个单位长度。第二问里“相距2个单位长度”的点在点A的左右各有一个，要分两边找，不能只答一个。
【解答】从表示-3的点出发向右数5个单位长度，依次经过-2，-1，0，1，落在2上，所以点B表示2。与点A相距2个单位长度的点：往左数2个单位长度落在-5上，往右数2个单位长度落在-1上，所以这样的点表示-5与-1。
【方法小结】移动题在数轴上一个单位长度一个单位长度地数最稳妥：向右数就往右走，向左数就往左走。凡是“相距几个单位长度”的问法，都要想到左右各有一个答案。
例2　数轴上点A表示-2。把点A向右移动6个单位长度得到点B，再把点B向左移动9个单位长度得到点C。点B、点C各表示什么数？点A与点C相距几个单位长度？
【分析】两步移动要按顺序一步一步落点，不能把两次移动的距离直接合起来算：向右移动往正方向数，向左移动往负方向数。最后求两点间的距离，先看它们在原点的同侧还是异侧。
【解答】从表示-2的点向右数6个单位长度，依次经过-1，0，1，2，3，落在4上，所以点B表示4。再从表示4的点向左数9个单位长度，依次经过3，2，1，0，-1，……，落在-5上，所以点C表示-5。点A表示-2，点C表示-5，两点都在原点左边，与原点的距离分别是2个和5个单位长度，所以它们之间相距3个单位长度。
【方法小结】多步移动按顺序逐步落点最稳妥；求两点间的距离，同侧就用大的距离减去小的距离，异侧就把两段距离合起来。
题型8　变式：移动、对称、数距离与算路程
移动、对称、数距离、算路程各一道；跨过原点数距离时，分成左右两段数更不容易错。
变式1　一只蚂蚁停在数轴上表示-1的点P处，它沿数轴向左爬行4个单位长度后停在点Q处。点Q表示什么数？点Q表示的数，它的绝对值是多少？
变式2　数轴上点M与点N表示的数互为相反数，且M，N两点间的距离是9个单位长度，则点M表示的数是（　　）或（　　）。
变式3　在数轴上，从表示-6的点走到表示-1的点，要走过几个单位长度？从表示2的点走到表示-4的点呢？
变式4　数轴上点P表示3。一只小虫从点P出发，先向左爬行8个单位长度到点Q，再向右爬行5个单位长度到点R。点R表示什么数？小虫一共爬行了多少个单位长度？
【题型9】规律探究与新定义问题
新定义题只有一条要求：照着题目给的规定做。规律题则先摆出前几项，找出符号与数字各自的变化。
例1　定义一种新运算：当|a|≥|b|时，规定a b＝|a|-|b|。求（-9） （+4）的值；若a b的结果是0，且a＝-7，写出满足条件的b。
【分析】新定义的符号 只是一个约定：先把两个数各自换成绝对值，再让前一个减去后一个（本章只在|a|≥|b|时使用这个规定，结果才不会出现负数）。第二问反过来用这个约定：结果是0，说明两个绝对值一样大。
【解答】按规定，（-9） （+4）＝|-9|-|+4|＝9-4＝5。若a b的结果是0，则|a|与|b|相等；已知a＝-7，|a|＝7，所以|b|＝7，满足条件的b是7或-7。
【方法小结】做新定义题不要去猜 像哪种运算，照抄题目的规定代入即可；反过来求字母时，把定义写成“|a|与|b|的关系”再解。
例2　一个点从原点出发在数轴上跳动：第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，依此类推。前4次跳动后它分别停在哪些数上？第6次跳动后它停在哪个数上？
【分析】规律题先把前几次的结果老老实实摆出来，再分两条线看：停在原点的哪一边（符号），离原点有多远（距离）。
【解答】第1次从原点向右跳1个单位长度，停在1；第2次从1向左跳2个单位长度，越过原点，停在-1；第3次从-1向右跳3个单位长度，停在2；第4次从2向左跳4个单位长度，停在-2。观察这一串数：跳动次数是奇数时停在原点右边，是偶数时停在原点左边；再看与原点的距离，第1，2次后都是1个单位长度，第3，4次后都是2个单位长度，每两次增加1个单位长度，所以第5，6次后都是3个单位长度。第6次是偶数次，停在原点左边，于是停在-3上。
【方法小结】数轴上的跳动规律题按两条线整理：符号看停在原点哪一边，距离看离原点多远；把前几次的结果列成一串，两条线的规律各自就清楚了。
题型9　变式：找规律与照定义办事
一道找符号规律，一道找点列规律，两道照定义办事；新定义题做完别忘了回看一眼题目的规定，核对结果是不是它要的那个数。
变式1　按下面的规律接着往下排：-1，2，-3，4，-5，6，……。第11个数是（　　），它与第20个数的符号（　　）（填“相同”或“不同”）。
变式2　规定：a※b表示a与b这两个数中绝对值较大的那个数；若两个数的绝对值相等，规定a※b＝a。求（-2.5）※1的值，再求（-7）※（-0.5）的值。
变式3　把数轴上表示1的点记作P1，表示-2的点记作P2，表示3的点记作P3，表示-4的点记作P4，依此类推。点P7表示什么数？在点P1到点P10这十个点中，表示负数的点一共有几个？
变式4　规定：max{a，b}表示a与b中较大的那个数。求max{-6，1.5}与max{|-4|，0}的值；若max{x，-4}＝-4，写出x满足的条件。
　易错专练
下面八道题都取自常见的错答。先把题做一遍，再对照答案里的错解与错因，看看自己是不是也在同一处摔过跤。
易错1　判断下面这句话是否正确，并举例说明：在任意一个数前面添上“-”号，得到的一定是负数。
易错2　已知|a|＝-a，写出a可以取的所有情况。
易错3　比较-8与-3这两个负有理数的大小，并把比较的过程完整写出来。
易错4　小宇画了一条直线，并在这条直线上等距地标了刻度，他说这就是一条数轴。他画的图缺少了数轴三要素中的哪一个？
易错5　从-2.5，0，+16，-，-（-6）这五个有理数里挑出全部负有理数，再挑出全部整数。
易错6　|-2|与-|-5|这两个式子，化简以后哪一个大？写出化简与判断的全过程。
易错7　-5与3这两个数，哪一个大？把判断的依据写清楚。
易错8　数轴上点A表示-3，从点A出发沿数轴移动4个单位长度到达点B，求点B表示的数。
　课后作业（一）基础过关
第1～8题为选择题，每小题只有一个选项符合题意，把它的字母写在题后的括号里；第9～12题把答案直接写在题中的括号里。这一组题对着九个题型的基本要求，逐条过一遍。
1．在+3，0，-，1.7这四个有理数中，在数轴上表示它的点落在原点左边的是（　　）。
A．+3　　B．0　　C．-　　D．1.7
2．把-3，0.5，0，-，12，-2.4这一组有理数分别用数轴上的点表示出来，其中落在负半轴上的点一共有（　　）个。
A．2　　B．3　　C．4　　D．5
3．数轴上表示-2.5的点的位置是（　　）。
A．原点右边2.5个单位长度处
B．原点左边2.5个单位长度处
C．与原点重合
D．正半轴上
4．在下面给出的四个有理数中，相反数等于3的那一个是（　　）。
A．-3　　B．3　　C．　　D．-
5．把下面每一组中的两个式子都化到最简，其中化简以后两个数互为相反数的一组是（　　）。
A．-（-3）与3
B．|-3|与3
C．-3与-|3|
D．-（+3）与3
6．在数轴上，点E表示-2，点F表示1.5。关于这两个点以及它们表示的数，下面判断正确的是（　　）。
A．点E在点F的右边
B．点E与原点的距离比点F与原点的距离大
C．点E表示的数比点F表示的数大
D．点E与点F都在负半轴上
7．在数轴上，表示下面四个数的点中，离原点最远的一个表示的数是（　　）。
A．3　　B．0　　C．-5　　D．-4.2
8．在数轴上，从表示4的点出发向左走7个单位长度，落到的那个点表示（　　）。
A．-3　　B．3　　C．11　　D．-11
9．一辆检修车沿东西向的公路行驶，把它向东行驶12km记作+12km，那么它向西行驶30km应记作（　　）km。
10．-5.4这个有理数的相反数是（　　），它的绝对值|-5.4|＝（　　）。
11．数轴上有两个点，一个表示-4，另一个表示1，这两点之间隔着（　　）个单位长度。
12．已知有理数x满足|x|＝3.8，那么x＝（　　）。
　课后作业（二）能力提升
这一组题把两个以上的知识点接在一起用：数轴与绝对值合起来考，相反数与距离合起来考。先想清楚要用哪一条结论，再动笔。
13．数轴上有两个点，到表示2的点的距离都是6个单位长度，这两个点表示的数分别是（　　）和（　　）。
14．把|-3.6|，-|2|，0这三个数先化到最简，再按从小到大的顺序排列，结果是（　　）。
15．验光时把近视50度记作-0.50D，近视100度记作-1.00D。某同学的验光记录是-2.25D，他的近视度数是（　　）度；另一位同学的近视度数是150度，他的验光记录应写作（　　）D。
16．数轴上点P表示-3.2。另有一点Q与点P在原点的同一侧，且点Q到原点的距离是点P到原点距离的一半，点Q表示的数是（　　）。
17．下面的数轴上已经标出了点A与点B。写出这两个点各自表示的数，再在这条数轴上把-1.5与3标出来。
18．下面四个数的前面都带着不止一个符号，请逐个化简并写出结果：-（+2.7），-（-），-[-（-11）]，+[-（+1.3）]。
19．数轴上点A表示-2，点B在点A的右边，且A，B两点间的距离是9个单位长度。点B表示什么数？点B与原点相距多少个单位长度？
20．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c的相反数是2.5。写出a，b，c的值，再把a，b，c按从小到大的顺序排列。
　课后作业（三）拓展探究
这一组题把数轴、绝对值和新定义接在一起，难度比前两组高一层：先把题目给的每一个条件翻译成数轴上的位置，再一步步推。
21．数轴上点A表示-7。从点A开始，每次都向右移动2个单位长度：移动1次到达点A1，移动2次到达点A2，依此类推。点A1，A2，A3各表示什么数？第几次移动后，所到达的点第一次落在正半轴上？
22．数轴上点A表示-4，点B表示2。（1）点A与点B之间的距离是多少个单位长度？（2）点C在数轴上，且它到点A的距离与到点B的距离相等，点C表示什么数？
23．规定：数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离记作d(a，b)。例如d(1，4)＝3。求d(-3，2)与d(-6，-2)的值；若d(a，-1)＝4，且a＜0，求a的值。
24．有同学认为：“不是正数的数就是负数。”把数的范围扩大到有理数以后，这个说法还成立吗？请说明理由。
　参考答案
　题型1　变式：温度、账目、方向与记录表
变式1　【答案】-9
变式2　【答案】-75；不盈不亏
变式3　【答案】D
变式4　【答案】周二与周五这两天的水位比前一天低了；周三记作0表示这一天的水位与前一天相比既没有上升，也没有下降
　题型2　变式：0的归属、分数形式与集合关系
变式1　【答案】C
变式2　【答案】5＝，-3＝-，0.7＝，-1.25＝-；它们都能写成分数形式，所以都是有理数
变式3　【答案】非负整数：0，+9；负分数：-1.5，-40%
变式4　【答案】B
　题型3　变式：读点、落点、数点与估位置
变式1　【答案】A表示-3，B表示-1.5，C表示0，D表示1，E表示3.5
变式2　【答案】-4.5在原点左边4个半单位长度处，-2在原点左边2个单位长度处，0就用原点表示，1与3分别在原点右边1个、3个单位长度处；离原点最远的是-4.5
变式3　【答案】6；2
变式4　【答案】-1；0；正中间
　题型4　变式：相反数、符号个数与对称点
变式1　【答案】9；0；-4.7；
变式2　【答案】7；-0.5；-6；
变式3　【答案】-2.4；0
变式4　【答案】①√；②√；③√；④×
　题型5　变式：分情况求绝对值与字母排序
变式1　【答案】8；3.9；；13
变式2　【答案】正数和0；负数和0
变式3　【答案】C
变式4　【答案】a＝-|a|＜0＜-a＝|a|
　题型6　变式：由绝对值倒推原数与非负性
变式1　【答案】n＝-2.5或n＝2.5；x＝-7
变式2　【答案】-1.5；正
变式3　【答案】-2，-1，0，1，2；其中最大的是2
变式4　【答案】不小于0；0
　题型7　变式：填符号、找整数、看情境与带字母
变式1　【答案】＞；＞；＜
变式2　【答案】2；-2与-1；-1；1
变式3　【答案】5.4℃＞1.9℃＞-7.2℃＞-15.8℃
变式4　【答案】从左到右依次是表示b，0，a，-b的点；b＜0＜a＜-b
　题型8　变式：移动、对称、数距离与算路程
变式1　【答案】点Q表示-5；它的绝对值是5
变式2　【答案】4.5；-4.5
变式3　【答案】5个单位长度；6个单位长度
变式4　【答案】点R表示0；小虫一共爬行了13个单位长度
　题型9　变式：找规律与照定义办事
变式1　【答案】-11；不同
变式2　【答案】（-2.5）※1＝-2.5；（-7）※（-0.5）＝-7
变式3　【答案】点P7表示7；表示负数的点一共有5个
变式4　【答案】max{-6，1.5}＝1.5；max{|-4|，0}＝4；x＝-4或x＜-4
　易错专练
易错1　【答案】不正确。例如a＝-2时，-a＝2是正数；a＝0时，-a＝0，既不是正数也不是负数
易错2　【答案】a是负数或a＝0
易错3　【答案】-8＜-3
易错4　【答案】缺少原点（图上没有一个点表示0）
易错5　【答案】负有理数：-2.5，-；整数：0，+16，6（即-（-6）化简后的结果）
易错6　【答案】|-2|＞-|-5|
易错7　【答案】-5＜3
易错8　【答案】点B表示1或-7
　课后作业（一）基础过关
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】-30
10．【答案】5.4；5.4
11．【答案】5
12．【答案】3.8或-3.8
　课后作业（二）能力提升
13．【答案】8；-4
14．【答案】-|2|＜0＜|-3.6|
15．【答案】225；-1.50
16．【答案】-1.6
17．【答案】点A表示-3，点B表示2；-1.5的点落在-2与-1这两个刻度的正中间，3的点落在点B右边1
18．【答案】-2.7；；-11；-1.3
19．【答案】点B表示7；点B与原点相距7个单位长度
20．【答案】a＝-1，b＝0，c＝-2.5；c＜a＜b
　课后作业（三）拓展探究
21．【答案】点A1表示-5，点A2表示-3，点A3表示-1；第4次移动后第一次落在正半轴上
22．【答案】（1）6个单位长度；（2）点C表示-1
23．【答案】d(-3，2)＝5；d(-6，-2)＝4；a＝-5
24．【答案】不成立

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