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第1讲：集合
1．集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母，，．．．表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母，，．．．表示．
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合之间的关系：元素与集合之间用“”或“”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系．
（3）集合的三种表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
图示法：
（4）5个特定的数集的表示：R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；N*：正自然数（没有0）；Q：有理数集．
2.集合与集合之间的关系
（1）包含关系：如果对任一，都有，则称集合是集合的子集，记作，显然，；
（2）相等关系：对于集合、，如果，同时，那么称集合等于集合，记作；
（3）真包含关系：对于集合、如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，记作；
（4）空集是任何非空集合的真子集．
（5）与子集、真子集个数有关的3个结论：:假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为个；②A的真子集的个数为个；③A的非空真子集的个数为个.
例1.下列说法正确的是 ( )
某个村子里的高个子组成一个集合； 所有小的正数组成的集合；
集合和表示同一个集合； 这些数组成的集合有五个元素.
例2.集合A=1,2,3的子集有（ ）
A.4个 B.6个 C.8个 D.9个
例3.设集合，若则 .
例4.用列举法表示集合　 　.
例5.关于以下集合关系表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例6（多选）.下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）
①N*；②Z；③Q；④Q．
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
变式练习
1.用或填空：0________
2.用列举法表示方程的解集为______________.
3.下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.集合，集合，中， 选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
5.下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是； (2)是自然数；
(3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于. .
其中正确的命题的个数是 ( )
A．１个 B．2个 C．3个 D．4个
6.下列元素的全体不能组成集合的是（ ）
A．世界上所有国家 B．森林里的小树木
C．方程的实数解 D．周长为12的三角形
7.已知集合，，，，，，则的真子集个数为（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
集合的基本运算：
并集 交集 补集
概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集.
记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集)
符号
图形 表示
例1.（新课标Ⅲ）已知集合，，，，，，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2.已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A． B． C． D．
例3.已知集合，则_______．
例4.（新课标Ⅱ)集合，，，，，，则（ ）
A．， B．，， C．，，， D．，，，，
例5.（天津)设全集，集合，，，，，，，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，，，，
变式练习
1.已知集合
则= .
2.已知集合，，，则(　　)
A． B．　　C． D．
3.已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
4.设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
5.已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是(　　)
A．1 B． C．0，1 D．，0，1
6.已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
4.充分条件、必要条件与充要条件
从左到右，若则充分，若则不充分；
从右到左，若则必要，若则不必要.
即既有，又有，就记作，我们说是的充要条件.
从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
命题对应集合，
若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件.
备注 若，则称为小范围，为大范围.
结论
① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则；
③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则；
⑤ 若是的充要条件，则.
5.全称量词与存在量词
① 全称量词
短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题对中任意一个，有成立，记作．
例如：对所有末位数是的数能被整除；.
② 存在量词
短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题存在中的一个，使成立，记作.
例如：至少有一个质数是偶数，.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
例如：的否定是.
是真命题，是假命题.
例1. 设，则是的 (　　)
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
例2（多选）.若是的必要不充分条件，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
例3.命题“”的否定是　 　.
例4.若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____。
例5.已知集合，，则是的充分不必要条件，则m的取值范围为_______________.
变式练习：
1.设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若不等式m-13.设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是(　　)
A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根 B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根 D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
4.设集合.，那么“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知p：，q：，那么p是q的__________条件.
6.已知：或，：，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是__________。
7.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
课后巩固练习
单选题
1.下列表示正确的是（ ）
A．{所有实数} B．整数集
C． D．{有理数}
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4.有下列四个命题：
①是空集；②若，则；③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6.已知命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7.已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
8.已知集合，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9.设集合，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
10.若是的必要不充分条件，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知，则下面选项中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题
12.若，则实数________________.
13.设全集，集合，，则=_______________.
14.已知集合，用列举法表示集合，则__________.
四．解答题
15.设全集为，，.
(1)求；
(2)求.
16.已知P={x|-2},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
17.已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答案
集合与元素
集合与集合基本关系
例1.C
例2.C
例3.-3或2
例4.
例5.C
例6.ABC
变式练习
2. 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B
3.集合的基本运算
B 例2.B 例3. 例4.A
C
变式练习
2.B 3.C 4.A 5.D
(1) （2）
4.充分条件，必要条件
例1.A
例2.BC
例3.
例4.
例5.
变式练习
A 2. 3.A 4.C 5.充分不必要
6. 7.
课后巩固练习
一．
1-8.DBBBBAAD
二．9.ABD 10.BC 11.ACD
三．12.2 13. 14.
四．15.（1） （2）
16.0≤m≤3
17.(1)(2）0

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