资源简介

参考答案
【课时 1(16.3.1) 课本 P112-P114 例题与练习】
例 1: (1) -4; (2) -。
例 2: (1) -1; (2) -4y+1; (3) 9996。
练习第 1 题: (1) 错,应为 -4; (2) 错,应为 4-; (3) 错,两因式的两项都互为相反数,原式=-=--4xy-; (4) 错,应为 -。
练习第 2 题: (1) -; (2) -9; (3) -1; (4) -5x-10。
练习第 3 题: (1) 2499; (2) (200+)(200)=40000=39999 。
【课时 2(16.3.2) 课本 P115-P116 例题与练习】
例 3: (1) +8mn+; (2) -y+。
例 4: (1) 10404; (2) 9801。
思考: ① 相等,因为 ==; ② 相等,因为 ==; ③ 一般不相等(如 a=3,b=1 时分别是 4 与 8)。
练习第 1 题: (1) 错,应为 +2ab+; (2) 错,应为 -2ab+。
练习第 2 题: (1) +12x+36; (2) -10y+25; (3) -20x+25; (4) - xy + 。
练习第 3 题: (1) 9604; (2) 4970.25。
【课时 3(添括号) 课本 P116-P117 例题与练习】
例 5: (1) -+12y-9; (2) +++2ab+2ac+2bc。
练习第 1 题: (1) b-c; (2) b-c; (3) -b+c; (4) -b-c。
练习第 2 题: (1) (x+y-1)(x-y-1)=-2x+1-; (2) (2x+y+z)(2x-y-z)=--2yz-。
练习第 3 题: (1) +4ab+-2a-4b+1; (2) -4xy++4x-2y+1。
【《习题16.3》(课本 P117-P118) 参考答案】
第 1 题: (1) -; (2) -1; (3) -; (4) 25-; (5) 9999.75; (6) 999996。
第 2 题: (1) +20ab+; (2) -24xy+; (3) +4m+1; (4) -2ab+ ; (5) 3969; (6) 7225。
第 3 题: (1) -58x-24; (2) +2xy+-1; (3) -4xy+-12x+6y+9; (4) -+16。
第 4 题: 原式=12xy+; 当 x=,y= 时,原式=12×()×()+10×()=-2+=。
第 5 题: 设边长为 x cm,由 =+39 解得 x=5,所以这个正方形纸片的边长是 5 cm。
第 6 题: 剩下的钢板的面积是 πab/2 。
第 7 题: +=-2ab=25-6=19。
第 8 题: 规律是 (x-1)(++...+x+1)=-1; 所以 +++...+2+1=(2-1)(++...+2+1)=-1=1024-1=1023。
【A 组基础(原创, 与讲义同步)】
1. 计算: (1) (2x+3)(2x-3)=-9; (2) (5a-b)(5a+b)=-; (3) =+12mn+; (4) =-20ab+。
2. 简便计算: (1) 21×19=(20+1)(20-1)=400-1=399; (2) ==2500-100+1=2401。
【B 组提高】
1. 计算: (x+2y-1)(x-2y+1)。原式=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=-=-+4y-1。
2. 先化简,再求值: -,其中 a=3,b=-1。原式=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=(2a)(2b)=4ab; 当 a=3,b=-1 时,原式=4×3×(-1)=-12。
3. 已知 a+b=7,ab=10,求 + 与 的值。+=-2ab=49-20=29; =+-2ab=29-20=9。
【C 组拓展】
1. 计算: (3a-2b+c)(3a-2b-c)。原式=-=-12ab+-。
2. 已知 =25,=9,求 + 与 xy 的值。+=[+]/2=(25+9)/2=17; xy=[-]/4=(25-9)/4=4。
3. 计算: (2+1)(+1)(+1)(+1)。在原式前乘 (2-1) 再除,即原式=(2-1)(2+1)(+1)(+1)(+1)=-1=65535。16.3 乘法公式
2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) · 3课时
亲爱的同学,本节我们一起学习"16.3 乘法公式"。本节共 3 课时: 16.3.1 平方差公式、16.3.2 完全平方公式、添括号法则与公式综合运用。
每个课时的结构: 学习目标 → 预习导航(课前填空) → 课内探究(留白作答) → 分层训练(A 组基础 / B 组提高 / C 组挑战) → 课堂小结(填空) → 参考答案。
使用建议: 课前先读课本、完成"预习导航"; 课堂上跟随"课内探究"动笔推导; 课后独立完成"分层训练",最后对照"参考答案"订正。所有填空题的答案都收在每课时末尾的"参考答案"中。
课时 1 · 16.3.1 平方差公式
【一、学习目标】
1. 经历"特殊—一般—几何验证"的探究过程,理解并掌握平方差公式 (a+b)(a-b)=-。
2. 会识别公式"一项相同、另一项互为相反数"的结构,并正确确定公式中的 a、b。
3. 会用平方差公式进行简单计算、连续运算与简便运算(如 102×98)。
【二、预习导航(课前填空)】
1. 课本 P112 探究: 计算 (x+1)(x-1)=____; (m+2)(m-2)=____; (2x+1)(2x-1)=____。
2. 平方差公式(用字母表示): (a+b)(a-b)=____。
3. 文字表述: 两个数的____与这两个数的____的积,等于这两个数的____。
4. 用多项式乘法验证公式: (a+b)(a-b)=-ab+ab-=____(中间两项恰好抵消)。
5. 课本 P112 图16.3-1: 边长为 a 的正方形剪去边长为 b 的小正方形,剩余面积为 -; 把它剪拼成长 (a+b)、宽 (a-b) 的长方形后,面积为____,所以 -=(a+b)(a-b)。
【三、课内探究(课本 P112-P113 例题,留白作答)】
【探究一】 课本 P112 例1 第(1)题: 计算 (3x+2)(3x-2)。提示: 把"相同项"3x 看作 a、"相反项"2 看作 b。
解: 原式 = - = ____。
【探究二】 课本 P112 例1 第(2)题: 计算 (-x+2y)(-x-2y)。提示: 相同项是____,相反项是____。
解: 原式 = ____。
【探究三】 课本 P113 例2 第(1)题: 计算 (x-1)(x+1)(+1)。提示: 连续两次用平方差公式。
解: 原式 = (____)(+1) = ____。
【探究四】 课本 P113 例2 第(2)题: 计算 (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)。提示: 前一积用公式,后一积不符合公式条件,须按多项式乘法展开再合并。
解: 原式 = (____) - (____) = ____。
【探究五】 课本 P113 例2 第(3)题: 计算 102×98。提示: 把 102、98 分别写成 100+2 与 100-2。
解: 原式 = (____)(____) = ____。
图 16.3-1 课本 P112 探究: 三组算式的共同规律
图 16.3-2 课本 P112 图16.3-1 平方差公式的几何说明
图 16.3-3 平方差公式及其结构特征
图 16.3-4 课本 P112 例1 完整解答
图 16.3-5 课本 P113 例2 完整解答
【四、分层训练】
【A 组(基础过关,模仿例题)】
1. 课本 P114 练习第2题: 运用平方差公式计算:
(1) (a+3b)(a-3b) = ____; (2) (3+2a)(-3+2a) = ____;
(3) (xy+1)(+1)(xy-1) = ____; (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) = ____。
2. 课本 P113 练习第1题: 判断下列计算是否正确,不正确的请改正:
(1) (x+2)(x-2)=-2; (2) (-a-2)(a-2)=-4;
(3) (x+2y)(-x-2y)=-; (4) (3a+4b)(3a-4b)=-。
3. 课本 P114 练习第3题: 用简便方法计算: (1) 51×49 = ____; (2) 200 × 199 = ____。
【B 组(提高拓展,综合应用)】
1. 计算: (3x-5)(3x+5) = ____; (-2a-b)(b-2a) = ____。
2. 计算: 100.5×99.5 = ____。
3. 先化简,再求值: (2a+3b)(2a-3b),其中 a=1,b=2。
【C 组(挑战题,中考衔接)】
1. 计算: (x+2y)(x-2y)(+) = ____。
2. 已知 a+b=5,a-b=3,求 - 的值。
【五、课堂小结(填空)】
1. 平方差公式: ____。
2. 公式的结构特征: 两个因式中____项相同,____项互为相反数。
3. 计算: (2x-1)(2x+1) = ____。
【六、参考答案(课时 1)】
预习: 1. -1, -4, -1; 2. -; 3. 和、差、平方差; 4. -; 5. (a+b)(a-b)。
探究: 探究一 -4; 探究二 相同项 -x, 相反项 2y, 原式 = - = -; 探究三 -1; 探究四 (-4)-(+4y-5) = -4y+1; 探究五 - = 9996。
A 组: 1. (1) -; (2) -9; (3) -1; (4) -5x-10。 2. (1) 错,应为 -4; (2) 错,应为 4-; (3) 错,两因式的两项都互为相反数,原式 = - = --4xy-; (4) 错,末项漏平方,应为 -。 3. (1) (50+1)(50-1) = 2500-1 = 2499; (2) (200+)(200) = 40000 = 39999 。
B 组: 1. -25; -。 2. 100.5×99.5 = (100+0.5)(100-0.5) = 10000-0.25 = 9999.75。 3. 原式 = -,当 a=1,b=2 时 = 4-36 = -32。
C 组: 1. (x+2y)(x-2y)(+) = (-)(+) = -。 2. - = (a+b)(a-b) = 5×3 = 15。
小结: 1. (a+b)(a-b) = -; 2. 一、另一; 3. -1。
课时 2 · 16.3.2 完全平方公式
【一、学习目标】
1. 理解并掌握完全平方公式 = +2ab+ 与 = -2ab+,理解其几何背景。
2. 记住口诀"首平方,尾平方,积的 2 倍放中间",能正确展开两个数的和(或差)的平方。
3. 会用完全平方公式进行简便运算(如 、),并分辨它与平方差公式的区别。
【二、预习导航(课前填空)】
1. 课本 P114 探究: 计算 = ____; = ____; = ____; = ____。
2. 完全平方公式: = ____; = ____。
3. 口诀: ____、____、____。
4. 课本 P114 图16.3-2: 边长为 (a+b) 的正方形被分成四块,面积分别是 、ab、ab、,所以 = ____。
5. 用乘法法则推导: = (a-b)(a-b) = -ab-ab+ = ____。
【三、课内探究(课本 P115 例题,留白作答)】
【探究一】 课本 P115 例3 第(1)题: 计算 。提示: 把 4m 看作 a、n 看作 b。
解: 原式 = + 2×(____)×(____) + = ____。
【探究二】 课本 P115 例3 第(2)题: 计算 。提示: 把 y 看作 a、 看作 b,注意"积的 2 倍"不能丢。
解: 原式 = ____。
【探究三】 课本 P115 例4 第(1)题: 计算 。提示: 写成 。
解: 原式 = ____。
【探究四】 课本 P115 例4 第(2)题: 计算 。提示: 写成 。
解: 原式 = ____。
【探究五】 课本 P115 思考,先判断再说明理由:
① 与 相等吗 ____(填"相等"或"不相等")
② 与 相等吗 ____
③ 与 - 相等吗 ____
图 16.3-6 课本 P114 探究: 四组算式的共同规律
图 16.3-7 课本 P114 图16.3-2 与图16.3-3 完全平方公式的几何说明
图 16.3-8 完全平方公式及其结构特征
图 16.3-9 课本 P115 例3 完整解答
图 16.3-10 课本 P115 例4 简便计算
图 16.3-11 课本 P115 思考 三个问题的辨析
【四、分层训练】
【A 组(基础过关,模仿例题)】
1. 课本 P116 练习第2题: 运用完全平方公式计算:
(1) = ____; (2) = ____;
(3) = ____; (4) = ____。
2. 课本 P115 练习第1题: 判断下列计算是否正确,不正确的请改正:
(1) =+; (2) =-ab+。
3. 课本 P116 练习第3题: 用简便方法计算: (1) = ____; (2) = ____。
【B 组(提高拓展,综合应用)】
1. 计算: = ____; = ____。
2. 用简便方法计算: = ____; = ____。
3. 先化简,再求值: -(x-1)(x+1),其中 x=。
【C 组(挑战题,中考衔接)】
1. 已知 =25,ab=6,求 + 的值。
2. 计算: -2×2024×2023+ = ____。
【拓展阅读·杨辉三角】 课本"阅读与思考"中的杨辉三角: 两腰都是 1,其余每个数都等于它"两肩"上两个数的和。从上往下,第 1 行 1、1 是 (a+b) 的系数;第 2 行 1、2、1 正是 =+2ab+ 的各项系数;第 3 行 1、3、3、1 是 的系数。它是我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载的,比欧洲同类数表早三百多年。
【五、课堂小结(填空)】
1. 完全平方公式: ____; ____。
2. 口诀: ____。
3. 计算: = ____。
【六、参考答案(课时 2)】
预习: 1. +2p+1, +4m+4, -2p+1, -4m+4; 2. +2ab+, -2ab+; 3. 首平方、尾平方、积的 2 倍放中间; 4. +2ab+; 5. -2ab+。
探究: 探究一 +2×(4m)×n+ = +8mn+; 探究二 -y+; 探究三 +2×100×2+ = 10404; 探究四 -2×100×1+ = 9801; 探究五 ① 相等(互为相反数的两个数的平方相等); ② 相等; ③ 不相等(如 a=3,b=1 时分别是 4 与 8)。
A 组: 1. (1) +12x+36; (2) -10y+25; (3) -20x+25; (4) - xy + 。 2. (1) 错,漏中间项,应为 +2ab+; (2) 错,应为 -2ab+。 3. (1) = 10000-400+4 = 9604; (2) = 4900+70+0.25 = 4970.25。
B 组: 1. -12ab+; +4m+1。 2. = = 3600+360+9 = 3969; = = 6400+800+25 = 7225。 3. 原式 = +6x+9-(-1) = 6x+10,当 x= 时 = 3+10 = 13。
C 组: 1. + = -2ab = 25-12 = 13。 2. 原式 = = = 1。
小结: 1. = +2ab+, = -2ab+; 2. 首平方、尾平方、积的 2 倍放中间; 3. +12x+9。
课时 3 · 添括号法则与公式综合运用
【一、学习目标】
1. 掌握添括号法则: 括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号; 括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。
2. 能对多项式适当添括号,把"不标准"的式子化成乘法公式的标准形式。
3. 能综合运用两个乘法公式解决较复杂的计算与求值问题。
【二、预习导航(课前填空)】
1. 去括号法则: a+(b+c) = ____; a-(b+c) = ____。
2. 反过来(添括号): a+b+c = a+(____); a-b-c = a-(____)。
3. 添括号法则: 括号前面是正号,括到括号里的各项都____; 括号前面是负号,括到括号里的各项都____。
4. 填空: a-b+c = a-(____)。
5. 检验添括号是否正确的方法是____。
【三、课内探究(课本 P116 例题,留白作答)】
【探究一】 课本 P116 例5 第(1)题: 计算 (x+2y-3)(x-2y+3)。提示: 把 2y-3 看作一个整体,原式 = [x+(2y-3)][x-(2y-3)]。
解: 原式 = - = -(____) = ____。
(注意: 去括号时括号前是负号,括号内各项都要变号)
【探究二】 课本 P116 例5 第(2)题: 计算 。提示: 把 a+b 看作 a、c 看作 b。
解: 原式 = = +2(a+b)c+ = ____。
图 16.3-12 添括号法则(课本 P116)
图 16.3-13 课本 P116 例5 完整解答
【四、分层训练】
【A 组(基础过关,模仿例题)】
1. 课本 P117 练习第1题: 在等号右边的括号里填上适当的项:
(1) a+b-c = a+(____); (2) a-b+c = a-(____);
(3) a+b-c = a-(____); (4) a+b+c = a-(____)。
2. 课本 P117 练习第2题: 运用乘法公式计算:
(1) (x+y-1)(x-y-1) = ____; (2) (2x+y+z)(2x-y-z) = ____。
3. 课本 P117 练习第3题: 运用乘法公式计算:
(1) = ____; (2) = ____。
【B 组(提高拓展,综合应用)】
1. 计算: (3a-2b+c)(3a-2b-c) = ____。
2. 计算: = ____。
3. 已知 x+y=4,求 (x+y-3)(x+y+3) 的值。
【C 组(挑战题,中考衔接)】
1. 计算: (x+2y-1)(x-2y+1) = ____。
2. 已知 a-b=3,求 --6b 的值。
【五、课堂小结(填空)】
1. 添括号法则: 括号前面是正号,括到括号里的各项都____; 括号前面是负号,括到括号里的各项都____。
2. 检验添括号是否正确的方法是____。
3. 添括号的作用: 把"不标准"的式子化成乘法公式的____形式,再用公式计算。

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