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参考答案
第 1 课时 课本 P128-P129 例题与练习
例 1: (1) (2x+3)(2x-3); (2) (a+5b)(a-5b)。
例 2: (1) (x+)(x-); (2) (2x+p+q)(p-q)。
练习第 1 题: (1) 不能, 是平方和; (2) 能; (3) 能, 先写成 -; (4) 不能, 提出负号后得 -(+), 括号内是平方和。
练习第 2 题: (1) (6+m)(6-m); (2) (7n+1)(7n-1); (3) (a+ b)(a b); (4) (9a+)(9a-); (5) (3b+c)(b-c); (6) 8mn。
第 2 课时 课本 P130-P131 例题与练习
例 3: (1) ; (2) 。
例 4: (1) ; (2) -。
补充辨析活动: (1) +4x+4 是; (2) +4 不是(只有两项); (3) +2ab- 不是(末项为负, 两项平方的符号不相同); (4) +ab+ 不是(中间项应为 2ab, 缺少系数 2)。
练习第 2 题: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) -。
第 3 课时 课本 P131-P132 例题与练习
例 5: (1) (+)(x+y)(x-y); (2) ab(a+1)(a-1)。
例 5 配套练习: (1) -1=(+1)(p-1)(p+1); (2) -=(+)(x+3y)(x-3y)。
例 6: (1) 3a; (2) -a。
练习第 1 题: (1) y(x+2)(x-2); (2) a; (3) a; (4) -(+4)(a+2)(a-2); (5) 3a; (6) -4b。
练习第 2 题: (1) ; (2) (p+2)(p-2)。
探究: +3x+2 的分解——方法一: +3x+2=(+2x+1)+x+1=+(x+1)=(x+1)(x+2); 方法二: +3x+2=+2x+x+2=x(x+2)+(x+2)=(x+1)(x+2)。
《习题17.2》(课本 P132) 参考答案
第 1 题: (1) (3a+4)(3a-4); (2) (9x+8y)(9x-8y); (3) (m+)(m); (4) ( y+ z)( y z)。
第 2 题: (1) ; (2) -; (3) ; (4) -。
第 3 题: (1) -; (2) ; (3) (+)(x+2y)(x-2y); (4) (a+c)(a-c)。
第 4 题: (1) 原式=+2×103×97+===40000; (2) 原式=(2021+2020)(2021-2020)+(2010+2009)(2010-2009)=4041+4019=8060。
第 5 题: y++=xy=4×=4×25=100。
第 6 题: (1) (2ab+1-); (2) 4。
第 7 题: -=[(4n+3)+(2n+3)][(4n+3)-(2n+3)]=(6n+6)×2n=12n(n+1)。因为 n 为正整数, n 与 n+1 是两个连续整数, 必有一个为偶数, 所以 n(n+1) 为偶数, 故 12n(n+1) 能被 24 整除, 即 - 能被 24 整除。
第 8 题: 因为 +my+9=+my+ 是完全平方式, 所以 +my+9==±12y+9, 比较一次项系数得 m=±12。
第 9 题: 结论: ++=。证明: 左边=+(+2n+1)+(+2n+1)=+++2n+1=+(n+1)+==右边。
A 组基础 参考答案
1. (1) (x+9)(x-9); (2) (2m+3n)(2m-3n); (3) ; (4) 。
2. (1) 不能, 是平方和; (2) 能, -+=-=(y+x)(y-x); (3) 能, -2mn+=; (4) 不能, 中间项应为 2xy, 缺少系数 2。
B 组提高 参考答案
1. (1) 3(x+3)(x-3); (2) m; (3) (x+2)(x-4); (4) -2。
2. (1) (101+99)(101-99)=200×2=400; (2) ==10000。
C 组挑战 参考答案
1. (1) -16=(+4)(-4)=(+4)(x+2)(x-2); (2) -=[(+)+2ab][(+)-2ab]=。
2. b++=ab(+2ab+)=ab=5×=5×36=180。
3. 因为 +kxy+=+kxy+ 是完全平方式, 所以 kxy=±2×3x×2y=±12xy, 故 k=±12。17.2 用公式法分解因式 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十七章 因式分解 · 3课时 · 配套《教师讲义》使用
一、学习目标
1. 知道因式分解的平方差公式、完全平方公式与整式乘法公式是方向相反的变形, 理解公式法的意义。
2. 理解完全平方式的概念, 能判断一个式子是不是完全平方式。
3. 能正确运用平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式, 会综合运用提公因式法和公式法。
4. 会利用公式法进行简便计算, 体会整体思想与逆向思维, 提高运算能力。
二、预习导航
请先阅读课本 P128-P131, 再完成下面的填空。
1. 乘法公式: (a+b)(a-b)=____; 把它反过来, 得 -=____。
2. 乘法公式: =____; =____;
反过来, 得 +2ab+=____; -2ab+=____。
3. 形如 +2ab+ 与 -2ab+ 的式子叫作____。
4. 平方差公式分解因式的适用特征: ____、____、____。
5. 把下列各式写成平方形式: =____; 9=____; =____; =____。
6. 因式分解的一般步骤: 一提(____)、二套(____)、三查(____)。
预习自测: 判断下列变形是不是因式分解。 (1) -4=(x+2)(x-2); (2) (x+2)(x-2)=-4。答: ____
三、课内探究
第 1 课时 · 运用平方差公式分解因式
活动一 公式的由来(填空)
由 (a+b)(a-b)=____ 反过来, 得 - = ____。
文字表述: 两个数的____, 等于这两个数的____与这两个数的____的积。
口诀: 两数是平方, ____。
活动二 判断能否使用(课本 P129 练习第1题)
下列多项式能否用平方差公式分解因式 在括号内写"能"或"不能", 并说明理由。
(1) + ( ) 理由: ____
(2) - ( ) 理由: ____
(3) -+ ( ) 理由: ____
(4) -- ( ) 理由: ____
图 17.2-2 平方差公式分解因式的适用特征
我的作答:
活动三 例题研习(课本 P128 例1、例2)
例1 分解因式: (1) -9; (2) -。
【思路提示】先把 写成 , 把 9 写成 ; 把 写成 。
图 17.2-3 例1 分解因式 (课本 P128)
我的作答:
例2 分解因式: (1) -; (2) -。
【思路提示】(1) 把 写成 ; (2) 把 x+p 与 x+q 各看成一个____, 原式化为 -。
图 17.2-4 例2 分解因式 (课本 P128)
我的作答:
活动四 当堂练习(课本 P129 练习第2题)
分解因式: (1) 36-; (2) -1; (3) ; (4) -; (5) -; (6) -。
图 17.2-5 课本 P129 练习
我的作答:
第 2 课时 · 运用完全平方公式分解因式
活动一 公式的由来(填空)
=____; =____。
反过来, +2ab+=____; -2ab+=____。
口诀: 首平方, ____, 积的 2 倍在中央。
图 17.2-6 完全平方公式分解因式与完全平方式
活动二 判断完全平方式
判断下列式子是不是完全平方式, 在括号内写"是"或"不是", 并说明理由。
(1) +4x+4 ( ) 理由: ____
(2) +4 ( ) 理由: ____
(3) +2ab- ( ) 理由: ____
(4) +ab+ ( ) 理由: ____
我的作答:
活动三 例题研习(课本 P130 例3、例4)
例3 分解因式: (1) +4x+4; (2) -24x+9。
【思路提示】(1) 首项是____的平方, 尾项是____的平方, 中间项 4x = 2×____×____; (2) 首项写成 , 尾项写成 。
图 17.2-7 例3 分解因式 (课本 P130)
我的作答:
例4 分解因式: (1) -12(a+b)+36; (2) -+4xy-。
【思路提示】(1) 把 a+b 看成一个____; (2) 先提出____, 得 -(__)。
图 17.2-8 例4 分解因式 (课本 P130)
我的作答:
活动四 当堂练习(课本 P131 练习第2题)
分解因式: (1) +2a+1; (2) -12x+36; (3) -4x+1; (4) +12pq+; (5) -10(x+y)+25; (6) -2xy--。
图 17.2-9 课本 P131 练习第2题
我的作答:
第 3 课时 · 综合运用提公因式法和公式法
活动一 一般步骤(填空)
一提: ____; 二套: ____; 三查: ____。
图 17.2-10 因式分解的一般步骤
活动二 例题研习(课本 P131 例5、例6)
例5 分解因式: (1) -; (2) b-ab。
【思路提示】(1) 把 写成 , 写成 , 用过一次公式后还要再看每个因式能否继续分解; (2) 先提公因式____。
图 17.2-11 例5 分解因式 (课本 P131)
我的作答:
例6 分解因式: (1) +6axy+; (2) -+x-。
【思路提示】(1) 先提出公因式____; (2) 先提出____, 提出后括号内各项都要____。
图 17.2-12 例6 分解因式 (课本 P131)
我的作答:
活动三 探究(课本 P132)
你会把 +3x+2 分解因式吗 请补全两种方法。
方法一: +3x+2=(+2x+1)+x+1=+(x+1)=____。
方法二: +3x+2=+2x+x+2=x(____)+____=____。
图 17.2-13 课本 P132 探究与阅读与思考
阅读与思考(拓展了解): 由 (x+p)(x+q)=+(p+q)x+pq 反过来, 得 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。当 p=1、q=2 时, +3x+2=____。
我的作答:
活动四 当堂练习(课本 P132 练习)
第1题 分解因式: (1) y-4y; (2) -+a; (3) +x+; (4) -+16; (5) 3a-6ax+; (6) -+8bxy-。
第2题 分解因式: (1) +4ab; (2) (p-4)(p+1)+3p。
图 17.2-14 课本 P132 练习
我的作答:
四、分层训练(A/B/C, 与《教师讲义》同题)
说明: 以下 A、B、C 三组与《教师讲义》第四部分逐题一致, 请在留白处作答; 答案见文末参考答案。
A 组(基础过关, 全体学生)
1. 分解因式: (1) -81 = ____; (2) - = ____;
(3) +8a+16 = ____; (4) -6x+1 = ____。
2. 下列多项式能否用公式法分解因式 能分解的写出结果, 不能的说明理由:
(1) +4; (2) -+; (3) -2mn+; (4) +xy+。
我的作答:
B 组(提高拓展, 中等及以上学生)
1. 分解因式: (1) -27 = ____; (2) -+m = ____;
(3) -9 = ____; (4) -+8ab- = ____。
2. 利用因式分解计算: (1) - = ____; (2) +2×68×32+ = ____。
我的作答:
C 组(挑战, 学有余力学生)
1. 分解因式: (1) -16 = ____; (2) - = ____。
2. 已知 a+b=6, ab=5, 求 b++ 的值。
3. 若 +kxy+ 是完全平方式, 求 k 的值。
我的作答:
五、课堂小结
1. 公式法: 把乘法公式反过来分解因式。平方差公式 -=____; 完全平方公式 ±2ab+=____。
2. 平方差公式分解因式的适用特征: ____、____、____。
3. 完全平方式的三个特征: ____、____、____。
4. 因式分解的一般步骤: 一提(____)、二套(____)、三查(____)。
5. 分解因式必须进行到____为止。
六、课后作业(课本《习题17.2》P132)
说明: 以下题目完整取自课本《习题17.2》, 请在留白处完成全部过程; 答案见文末参考答案。
复习巩固
第 1 题 分解因式:
(1) -16; (2) -; (3) ; (4) 。
第 2 题 分解因式:
(1) -4ab+; (2) -+10xy-;
(3) 4+12(x-y)+9; (4) -+4(m+n)-4。
第 3 题 分解因式:
(1) --; (2) -+81;
(3) -; (4) -。
我的作答:
综合运用
第 4 题 利用因式分解计算:
(1) +103×194+; (2) -+-。
第 5 题 已知 xy=4, x+y=5, 求 y++ 的值。
第 6 题 分解因式:
(1) -; (2) -6(-)+9。
第 7 题 已知 n 为正整数, 求证: - 能被 24 整除。
我的作答:
拓广探索
第 8 题 已知 +my+9 是完全平方式, 求 m 的值。
第 9 题 观察下列式子, 你得出了什么结论 你能证明你的结论吗
+×+=; +×+=;
+×+=; ……
图 17.2-20 习题17.2 第9题 观察与证明
我的作答:
=右边。

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