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参考答案
　题型1　变式：概念辨析、字母表示与等腰的判定
变式1　【答案】D
变式2　【答案】a；等腰
变式3　【答案】(1)腰是AB与AC，底边是BC；(2)顶角是∠A，底角是∠B与∠C
变式4　【答案】图中的等腰三角形是△DBC与△DEC；△DEC的腰是DE与EC，底边是DC
　题型2　变式：选组合、求范围、定最小值与挑木条
变式1　【答案】C
变式2　【答案】5＜x＜13
变式3　【答案】A
变式4　【答案】可行的挑法有两种：长为3、5、7的三根木条，以及长为5、7、11的三根木条（长度单位都是cm）
　题型3　变式：由两边求周长、由比例求底边、由差求边长与两解并存
变式1　【答案】这个三角形的周长可能是18，也可能是21
变式2　【答案】4
变式3　【答案】BC的长是8
变式4　【答案】C
　题型4　变式：辨析说法、由定义算量、画钝角三角形的高与两条中线
变式1　【答案】C
变式2　【答案】7；38°
变式3　【答案】垂足H落在PQ的延长线上，线段RH就是PQ边上的高
变式4　【答案】(1)BD＝DC，AE＝EC；(2)点G是△ABC的重心
　题型5　变式：由整体求一半、周长之差、连续取中点与由差求边长
变式1　【答案】36
变式2　【答案】△ABD与△ACD的周长之差是4
变式3　【答案】A
变式4　【答案】AB的长是11
　题型6　变式：按比分角、倍数与相差、互余判形状与和差还原
变式1　【答案】90°
变式2　【答案】这块玻璃最大的内角是99°
变式3　【答案】B
变式4　【答案】(1)∠C＝64°；(2)∠A＝45°
　题型7　变式：倍数关系、由一角求另一角、图中的第二个直角与已知两角之差
变式1　【答案】30°
变式2　【答案】71°
变式3　【答案】∠ADE的度数是34°
变式4　【答案】这两个锐角分别是39°与51°
　题型8　变式：由外角求另一内角、换个顶点的外角、外角的平分线与相邻互补
变式1　【答案】87°；32°
变式2　【答案】B
变式3　【答案】∠ECD的度数是54°
变式4　【答案】88°
　题型9　变式：由夹角反求顶角、一内一外两条平分线与含字母的结论
变式1　【答案】∠A的度数是70°
变式2　【答案】∠D的度数是27°
变式3　【答案】60°
　题型10　变式：飞镖形倒着用、折叠后的两个角与八字形
变式1　【答案】67°
变式2　【答案】∠BDF与∠CEF的和是94°
变式3　【答案】∠D的度数是47°
　易错专练
易错1　【答案】这个结论不成立；中线只保证把对边分成相等的两条线段，高才保证与对边所在的直线垂直
易错2　【答案】这个三角形的周长是17
易错3　【答案】∠B的度数是76°
易错4　【答案】∠BAC的度数是55°或15°
易错5　【答案】第三边长x的取值范围是4＜x＜16；x既不能取4，也不能取16
易错6　【答案】这个说法不成立；一个三角形中最多有一个直角，也最多有一个钝角
　课后作业（一）基础巩固
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
　课后作业（二）能力进阶
9．【答案】△MNK；NK
10．【答案】9；36
11．【答案】18
12．【答案】BC的延长线
13．【答案】90
14．【答案】31
15．【答案】113
　课后作业（三）拓展延伸
16．【答案】(1)3＜x＜19；(2)x最大能取18，最小能取4
17．【答案】△ACD的周长是32
18．【答案】∠EAD的度数是17°
19．【答案】∠BAC的度数是90°
20．【答案】(1)∠B＝60°；(2)△ABC是锐角三角形
21．【答案】∠ADE的度数是59°
22．【答案】∠AHC的度数是134°第十三章 三角形 题型精讲（讲义）
2026-2027学年八年级上册数学人教版
人教版（2024年版）八年级数学上册　第十三章　三角形　13.1三角形的概念　13.2与三角形有关的线段　13.3三角形的内角与外角
班级：________　姓名：________　日期：________
【题型1】三角形的识别、计数与按边分类
这一题型抓两件事：按定义把图形认成三角形并把个数数清楚，以及按边把三角形归到等腰或等边这一类里。数三角形时按“含某条线段”“由小拼大”的顺序走，才不会重也不会漏。
例1　如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AB上，连接AD、DE。(1)写出图中以AD为边的三角形；(2)图中一共有多少个三角形？
【分析】以AD为边的三角形，就是三条边里有一条恰好是AD的三角形，绕着AD的两侧各找一遍。数总数时先数不能再分的小三角形，再把相邻的小三角形拼起来看能不能拼出新的三角形。
【解答】(1)AD的一侧有△ADE与△ABD，另一侧有△ADC，所以以AD为边的三角形是△ABD、△ADC与△ADE。
(2)不能再分的小三角形有△ADE、△EBD、△ADC三个。
由△ADE与△EBD拼成△ABD，由△ABD与△ADC拼成△ABC，又得两个三角形。
答：图中一共有5个三角形。
【方法小结】数三角形按“从小到大、按块拼”的次序走：先把不能再分的小三角形数清，再把相邻的小块两两、三三合起来看能否合成新的三角形，最后清点总数。
题型1　变式：概念辨析、字母表示与等腰的判定
四道变式把“认三角形”这条线走完：辨概念、写字母、按边说出腰与底边、在复杂图形里找出全部等腰三角形。
变式1　下列说法中正确的是（　　）。
A．三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形
B．等腰三角形的腰一定比底边长
C．等腰三角形两个底角的公共边是腰
D．等腰三角形的顶角是两腰的夹角
变式2　在△ABC中，∠A所对的边用小写字母____表示；若这个三角形中AB＝AC，则按边分类它属于____三角形。
变式3　在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5。(1)这个三角形的腰与底边分别是哪几条边？(2)它的顶角与底角分别是哪几个角？
变式4　如图，点D在△ABC的边AB上，点E在边AC上，连接DE、DC。已知DB＝DC，DE＝EC，写出图中的等腰三角形，并指出△DEC的腰与底边。
【题型2】三边关系的判定与第三边长的取值范围
三边关系有两副面孔：正着用是“两边和大于第三边、两边差小于第三边”，反着用是判定三条线段能不能组成三角形。落笔时永远只验较小两条之和与最大那条的大小。
例1　第一组三条线段的长分别是3、5、9，第二组三条线段的长分别是6、8、11。分别判断以每一组线段为边能不能组成三角形，并写出判断的过程。
【分析】判定只看一句话：较小的两条之和是不是大于最大的那条。大于就能组成，小于或等于就不能。
【解答】第一组里最大的是9，较小的两条是3与5，3＋5＝8＜9，有两条线段的和小于第三条线段，所以第一组不能组成三角形。
第二组里最大的是11，较小的两条是6与8，6＋8＝14＞11，任意两条线段的和都大于第三条线段，所以第二组能组成三角形。
答：第一组不能组成三角形，第二组能组成三角形。
【方法小结】验三边关系只需一次加法：把两条短边加起来与最长的那条比一比。和恰好等于最长边时三条线段落在同一条直线上，仍然围不成三角形。
题型2　变式：选组合、求范围、定最小值与挑木条
四道变式把三边关系的四种常见问法各走一遍：给四组数选一组、由两边求第三边的范围、在范围里挑满足附加条件的数、从若干根木条里选三根。
变式1　下列各组数中，以它们为长度的三条线段能组成三角形的是（　　）。
A．2，3，5　　B．4，4，9　　C．5，7，9　　D．2，4，7
变式2　已知三角形的两边长分别是4与9，则第三边长x的取值范围是____。
变式3　一个三角形的两边长分别是8与15。如果它的第三边长是偶数，那么第三边长的最小值是（　　）。
A．8　　B．9　　C．16　　D．22
变式4　木工师傅手边有四根木条，长度分别是3 cm、5 cm、7 cm与11 cm。他要从中挑出三根钉成一个三角形木架，写出所有可行的挑法。
【题型3】等腰三角形边长的分情况讨论
等腰三角形的边长题只有两个动作：先按“这条边是腰还是底边”分情况，再对每一种情形用三边关系检验一次。少了检验这一步，答案就会凭空多出一个。
例1　一个等腰三角形的周长是34，它的一条边长是8。求另外两条边的长。
【分析】长为8的这条边可能是底边，也可能是腰，两种情形都要算；算完还要用三边关系检验这三条边能不能真的围成三角形。
【解答】①若长为8的边是底边，设腰长为x，则8＋2x＝34，解得x＝13。此时三边长是8、13、13，8＋13＞13，能组成三角形。
②若长为8的边是腰，则底边长为34－8×2＝18。此时三边长是8、8、18，8＋8＝16＜18，围不成三角形，这种情形应当舍去。
答：另外两条边的长都是13。
【方法小结】“周长＋一条边”型的等腰三角形题，一律按“这条边是底边”和“这条边是腰”分两种情形算；每算完一种立刻用三边关系验一次，不合格的情形要写清楚舍去的依据。
题型3　变式：由两边求周长、由比例求底边、由差求边长与两解并存
四道变式覆盖等腰三角形边长题的四种给法：给两条边、给周长与倍数关系、给周长与边长之差、给周长与一条边而两种情形都成立。
变式1　一根铁丝围成一个等腰三角形，量得其中两条边的长分别是5与8。这个三角形的周长可能是多少？
变式2　一个等腰三角形的周长是28，它的腰长是底边长的3倍，则它的底边长是____。
变式3　在等腰三角形ABC中，AB＝AC，它的周长是36，且AB比BC长6。求BC的长。
变式4　把一根长20的绳子围成一个等腰三角形，其中一条边的长是6，则这个三角形的腰长是（　　）。
A．6　　B．7　　C．6或7　　D．8
【题型4】中线、角平分线、高的识别与画法
中线、角平分线、高是三条不同的线段，考法分三层：认出图中哪条是哪条、由定义写出相等的线段或相等的角、按要求把它们画出来。
例1　如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC的平分线交BC于点E，点F是BC的中点，连接AF。(1)写出AD、AE、AF各是△ABC的什么线段；(2)写出由“点F是BC的中点”能得到的相等线段。
【分析】三种线段各有各的标志：与对边所在直线垂直的是高，把顶角分成两个相等的角的是角平分线，另一端落在对边中点上的是中线。
【解答】(1)AD⊥BC且垂足是D，按“从顶点向对边所在直线画垂线所得的线段”这条定义，AD是BC边上的高。
AE从顶点A出发，把∠BAC分成相等的两个角并交BC于点E，所以AE是△ABC的角平分线。
点F是BC的中点，AF连接顶点A与对边BC的中点，所以AF是BC边上的中线。
(2)由点F是BC的中点得BF＝FC，并且BF与FC都等于BC的一半。
【方法小结】读图先找记号：直角记号指向高，两个相等的角记号指向角平分线，对边上的等长记号指向中线。三条线段从同一个顶点出发时，垂足、角平分线与对边的交点、中点通常是三个不同的点。
题型4　变式：辨析说法、由定义算量、画钝角三角形的高与两条中线
四道变式分别练：三种线段的说法辨析、由中线与角平分线直接算出长度与角度、把钝角三角形的高画出来、由两条中线读出相等线段与重心。
变式1　下列关于三角形的中线、角平分线与高的说法中，错误的是（　　）。
A．三角形的重心在三角形的内部
B．三角形的角平分线是一条线段
C．钝角三角形的三条高都在三角形的内部
D．直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边
变式2　如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线。若BC＝14，∠BAC＝76°，则BD＝____，∠BAE的度数是____。
变式3　如图，在△PQR中，∠PQR是钝角。画出PQ边上的高RH，并写出垂足H落在什么位置。
变式4　如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，AD与BE相交于点G。(1)写出图中相等的两组线段；(2)写出点G的名称。
【题型5】中线分出的面积与周长之差
中线分出的两个小三角形，底相等、高又是同一条，所以面积相等；它们的周长之差，等于中线两旁那两条边的长度之差。这两条结论就是本题型的全部工具。
例1　如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD，AH是BC边上的高。若BC＝16，AH＝7，求△ABD的面积。
【分析】点D是BC的中点，所以BD等于BC的一半；△ABD以BD为底时的高，与△ABC以BC为底时的高是同一条AH，于是面积可以直接算出来。
【解答】点D是BC的中点，所以BD＝16÷2＝8。
点A到BC所在直线的距离就是AH的长，所以△ABD的BD边上的高也等于AH。
于是S△ABD＝8×7÷2＝28。
答：△ABD的面积是28。
【方法小结】中线分出的两个三角形等底等高，面积各占原三角形的一半；求其中一个的面积，既可以先算整体再折半，也可以直接用一半的底乘高。
题型5　变式：由整体求一半、周长之差、连续取中点与由差求边长
四道变式把中线的两条结论正着用、反着用各走一遍：由整体面积求一半、由两边求周长之差、连续两次取中点、由周长之差反求边长。
变式1　已知△ABC的面积是72，点D在边BC上且BD＝DC，则△ACD的面积是____。
变式2　如图，AD是△ABC的中线，AB＝13，AC＝9。求△ABD与△ACD的周长之差。
变式3　如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点，连接BE。若△ABC的面积是20，则△ABE的面积是（　　）。
A．5　　B．8　　C．10　　D．15
变式4　中线AD把△ABC分成△ABD与△ACD两个三角形，其中△ABD的周长比△ACD的周长大3。若AC＝8，求AB的长。
【题型6】用内角和定理求角的度数
内角和定理是本章的核心：三个内角相加是180°。用它求角只有三步——挑出装着已知角与待求角的那个三角形、把已知角标好、列一个减法或一个方程。
例1　如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝64°，BD平分∠ABC并交AC于点D。求∠BDC的度数。
【分析】∠BDC落在△BDC里，这个三角形的另外两个角是∠DBC与∠ACB：前者由角平分线折半得到，后者由△ABC的内角和得到。
【解答】由三角形的内角和定理，得∠ACB＝180°－70°－64°＝46°。
由角平分线的定义，得∠DBC＝64°÷2＝32°。
在△BDC中，再根据三角形的内角和等于180°，得∠BDC＝180°－46°－32°＝102°。
答：∠BDC的度数是102°。
【方法小结】图里有两个三角形时，先在条件齐的那个三角形里把缺的角补出来，再进到含待求角的三角形里列式；角平分线负责把一个角折成两半，是两个三角形之间的桥。
题型6　变式：按比分角、倍数与相差、互余判形状与和差还原
四道变式覆盖内角和的四种给法：三个角成已知的比、角与角之间有倍数或相差关系、由两角之和判断形状、已知两角的和与差还原每个角。
变式1　在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠C的度数是____。
变式2　一块三角形的彩色玻璃，它的三个内角中，∠A比∠B大15°，∠C是∠B的3倍。求这块玻璃最大的内角的度数。
变式3　在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是（　　）。
A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．等腰三角形
变式4　一块三角形木板的三个内角中，∠A与∠B的和是116°。(1)求∠C的度数；(2)若∠A比∠B小26°，求∠A的度数。
【题型7】直角三角形的两个锐角互余
直角三角形里只要知道一个锐角，另一个锐角立刻就有；反过来，两个角互余也能倒推出这个三角形是直角三角形。图中出现直角记号或垂直符号时，第一反应就是这条结论。
例1　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D。若∠B＝37°，求∠BAD的度数，并写出∠DAC与∠B的大小关系。
【分析】AD⊥BC把△ABC切成两个直角三角形，在直角三角形ABD里用两锐角互余求∠BAD；∠BAD与∠DAC合起来是∠BAC，相减就得到∠DAC。
【解答】因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，△ABD是直角三角形。
由直角三角形的两个锐角互余，得∠BAD＝90°－37°＝53°。
又∠BAC＝90°，点D在BC上，所以∠DAC＝90°－53°＝37°，它与∠B恰好相等。
答：∠BAD是53°；∠DAC与∠B相等。
【方法小结】一条高把三角形切成两个直角三角形，每个直角三角形里都有一对互余的锐角；哪一对里已知的角多就先算哪一对。
题型7　变式：倍数关系、由一角求另一角、图中的第二个直角与已知两角之差
四道变式把互余这条结论的四种用法走一遍：两个锐角成倍数、由一个锐角直接求另一个、在含两个直角的图里认准三角形、由两个锐角的差求它们的度数。
变式1　在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则∠B的度数是____。
变式2　一个直角三角形的一个锐角是19°，则它的另一个锐角是____。
变式3　如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为E。若∠A＝56°，求∠ADE的度数。
变式4　一个直角三角形的两个锐角，其中较大的一个比较小的一个多12°。求这两个锐角的度数。
【题型8】用外角性质求角的度数
外角性质把“三个内角加起来是180°”改写成“一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，好处是少写一步减法。用它之前必须先分清哪两个内角与这个外角不相邻。
例1　如图，∠ACD是△ABC的一个外角，点D在BC的延长线上。若∠A＝58°，∠ACD＝126°，求∠B的度数。
【分析】∠ACD与∠A、∠B都不相邻，由外角性质，∠ACD正好等于∠A与∠B的和，把已知的两个数代进去解一步即可。
【解答】∠ACD是△ABC的一个外角，与它不相邻的两个内角是∠A与∠B。
外角性质给出∠ACD＝∠A＋∠B。
所以∠B＝126°－58°＝68°。
答：∠B的度数是68°。
【方法小结】用外角性质之前先把“谁与谁不相邻”圈清楚：外角挨着的那个内角与它互补，不能加进来。
题型8　变式：由外角求另一内角、换个顶点的外角、外角的平分线与相邻互补
四道变式分别练：由外角与一个不相邻内角求另一个、把外角换到别的顶点上去、外角与它的平分线连用、由外角先求出相邻的内角再求第三个角。
变式1　三角形的一个外角是148°，与它不相邻的两个内角中有一个是61°，则另一个不相邻的内角是____，与这个外角相邻的内角是____。
变式2　如图，延长AB到点D，得到△ABC的一个外角∠CBD。若∠CBD＝113°，∠A＝49°，则∠C的度数是（　　）。
A．54°　　B．64°　　C．67°　　D．74°
变式3　如图，把BC延长到点D，射线CE平分∠ACD。若∠A＝68°，∠B＝40°，求∠ECD的度数。
变式4　在△ABC中，∠A＝∠B，且∠A的外角是134°，则∠C的度数是____。
【题型9】（拓展）三角形两条角平分线的夹角
两条角平分线的夹角是常考的结论型题（拓展）。解法一律走“先把两个半角的和算出来，再回到含夹角的那个三角形用内角和”这条路；结论要记，推法更要会。
例1　如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D。求∠BDC的度数。
【分析】∠BDC落在△BDC里，另外两个角是∠DBC与∠DCB，它们分别是∠ABC与∠ACB的一半，所以只要先算出这两个半角的和。
【解答】根据三角形的内角和等于180°，得∠ABC＋∠ACB＝180°－64°＝116°。
由角平分线的定义，∠DBC是∠ABC的一半，∠DCB是∠ACB的一半，所以∠DBC＋∠DCB＝116°÷2＝58°。
在△BDC中，再由三个内角相加等于180°，得∠BDC＝180°－58°＝122°。
答：∠BDC的度数是122°。
【方法小结】两条内角平分线的夹角只与第三个角有关，等于90°加上这个角的一半。按这三步先推一遍，再把结论记下来直接用。
题型9　变式：由夹角反求顶角、一内一外两条平分线与含字母的结论
三道变式把这条规律倒着用、换一种平分线用、再推广成含字母的结论，把“记结论”变成“会推结论”。
变式1　△ABC的两条内角平分线BO与CO相交于点O。若∠BOC＝125°，求∠A的度数。
变式2　如图，点E在BC的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACE，BD与CD相交于点D。若∠A＝54°，求∠D的度数。
变式3　在△ABC中，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，BI与CI相交于点I。若∠BIC是∠A的2倍，则∠A的度数是____。
【题型10】（拓展）飞镖形、折叠与八字形中的角
本题型把外角性质与内角和用到三个非标准图形上（拓展）：三角形内部引两条线段形成的飞镖形、折叠后重合的角、两条线段交叉成的八字形。共同的解法都是把图形拆成两个三角形。
例1　如图，点D在△ABC的内部，连接BD、CD。若∠A＝42°，∠ABD＝25°，∠ACD＝31°，求∠BDC的度数。
【分析】连接AD并延长交BC于点E，∠BDC就被拆成∠BDE与∠CDE，而这两个角分别是△ABD与△ACD的外角。
【解答】连接AD并延长，与BC交于点E。
∠BDE是△ABD的一个外角，由外角性质得∠BDE＝∠BAD＋∠ABD。
∠CDE是△ACD的一个外角，同理得∠CDE＝∠CAD＋∠ACD。
两式相加，注意∠BAD＋∠CAD＝∠A，得∠BDC＝42°＋25°＋31°＝98°。
答：∠BDC的度数是98°。
【方法小结】飞镖形的结论是“凹进去的那个角等于另外三个角的和”；要添的辅助线是连接顶点与凹点并延长，正是它把飞镖形拆成了两个三角形。
题型10　变式：飞镖形倒着用、折叠后的两个角与八字形
三道变式把三个模型各练一遍：由飞镖形的凹角反求顶角、由折叠算两个角的和、在八字形里用对顶角搭桥。
变式1　如图，△ABC内部的点D与顶点B、顶点C各连了一条线段。若∠BDC＝114°，∠ABD＝28°，∠ACD＝19°，则∠A的度数是____。
变式2　如图，把△ABC沿DE折叠，点D在边AB上，点E在边AC上，折叠后点A落在△ABC内部的点F处。若∠A＝47°，求∠BDF与∠CEF的和。
变式3　如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD。若∠A＝35°，∠B＝53°，∠C＝41°，求∠D的度数。
　易错专练
本章的失分集中在六处：把中线当成高、分情况以后漏掉三边关系的检验、把外角与相邻的内角相加、没有图时忘了垂足可能在形外、把取值范围的端点算进去、忘了内角和对角的个数的约束。下面六题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。
易错1　△ABC的一条中线是AD，它的另一个端点D落在边BC上。有同学由此得出“AD⊥BC”。判断这个结论是否成立，并写出中线与高的区别。
易错2　已知等腰三角形的两条边长分别是3与7，求它的周长。
易错3　三角形的一个外角是130°，与这个外角相邻的内角是∠C，另外两个内角中∠A＝54°。求∠B的度数。
易错4　在△ABC中，AD是BC边所在直线上的高，∠BAD＝35°，∠CAD＝20°。求∠BAC的度数。
易错5　一个三角形的两条边长是6与10，第三条边长记作x。求x的取值范围，并判断x能不能取4与16。
易错6　有同学说“一个三角形既可以有两个直角，也可以有两个钝角”。判断这个说法是否成立，并写出一个三角形中直角与钝角最多各有几个。
　课后作业（一）基础巩固
下面8题是本章最低限度的必会内容，每题只有一个选项符合题意，把它的字母填进括号里。考查的次序依次是三边关系、稳定性、三种线段、内角和、外角与直角三角形的判定。
1．一个三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别是4与6，则第三条边长可能是（　　）。
A．2　　B．3　　C．10　　D．11
2．三角形具有稳定性。下面四种做法中直接用到这条性质的是（　　）。
A．在长方形窗框上斜钉一根木条使它不变形
B．用圆规画一个圆
C．把一根绳子拉直量出它的长度
D．用直尺画一条线段
3．在△ABC中，AD是它的角平分线，点D在边BC上，则下面四个结论中一定成立的是（　　）。
A．BD＝DC
B．AD⊥BC
C．AD＝BD
D．∠BAD＝∠CAD
4．在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝∠C，则∠B的度数是（　　）。
A．46°　　B．63°　　C．67°　　D．72°
5．下面关于三角形外角的四个判断中，成立的是（　　）。
A．三角形的一个外角一定大于与它相邻的内角
B．三角形的一个外角一定是钝角
C．三角形的每一个外角都比与它相邻的内角小
D．三角形的一个外角一定大于与它不相邻的每一个内角
6．下面四个条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（　　）。
A．∠A＋∠B＝2∠C
B．∠A与∠B互余
C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4
D．∠A＝∠B＋2∠C
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高。若∠A＝32°，则∠ACD的度数是（　　）。
A．32°　　B．48°　　C．58°　　D．68°
8．已知等腰三角形的底边长是13，它的腰长是正整数，则腰长的最小值是（　　）。
A．6　　B．7　　C．13　　D．14
　课后作业（二）能力进阶
第9～15题只要求写出最后的结果，不必写出过程。这一组把三角形的记法、三种线段、内角和与外角的基本计算各考一遍。
9．用符号表示顶点是M、N、K的三角形，写作____；在这个三角形中，顶点M所对的边是____。
10．在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线。若BC＝18，则BE＝____；若∠B＝54°，则∠BAD＝____°。
11．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝4∠C，则∠C＝____°。
12．在△ABC中，∠ACB是钝角。过点A画BC边上的高AN，则垂足N落在____上。
13．三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个内角是____°。
14．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠C比∠B大25°，则∠B＝____°。
15．在△ABC中，延长BC到点D。若∠A＝52°，∠B＝61°，则∠ACD＝____°。
　课后作业（三）拓展延伸
第16～22题要写出必要的计算过程或推理过程。这一组把三边关系、中线、内角和、外角与两条特殊线段的组合合在一起用，难度比前两组高一档。
16．已知三角形的三条边长分别是x、8、11，且x是正整数。(1)求x的取值范围；(2)在这个范围里x最大能取几，最小能取几？
17．小华把一张三角形纸片ABC沿中线AD剪开，量得AB＝15，AC＝9，△ABD的周长是38。求△ACD的周长。
18．如图，在△ABC中，AD与BC垂直，垂足是D；AE是∠BAC的平分线（点E在边BC上）。若∠B＝72°，∠C＝38°，求∠EAD的度数。
19．如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，CE与BA的延长线相交于点E。若∠B＝36°，∠E＝27°，求∠BAC的度数。
20．在△ABC中，∠A－∠B＝16°，∠B－∠C＝16°。(1)求∠B的度数；(2)按角分类判断△ABC的形状。
21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E。若∠B＝42°，∠C＝76°，求∠ADE的度数。
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，AD与CE相交于点H。若∠BAC＝58°，∠ACB＝76°，求∠AHC的度数。

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