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参考答案
　题型1　变式：由对应角求度数、旋转型与翻折型
变式1　【答案】47；75
变式2　【答案】∠BAE的度数是105°
变式3　【答案】DF的长是7，△DEF的周长是22
　题型2　变式：挑出不成立的条件、补边角边与一题两补法
变式1　【答案】D
变式2　【答案】∠B＝∠E
变式3　【答案】补NG＝QG，用边角边；补∠M＝∠P，用角边角
　题型3　变式：同一直线上的两个三角形、由全等读出平分线与去掉条件后的追问
变式1　【答案】(1)证明见解析（△ACE≌△DBF，边边边）；(2)与AE相等的线段是DF，与∠ACE相等的角是∠DBF
变式2　【答案】∠CAD；38
变式3　【答案】(1)证明见解析（△QGT≌△QHT，边边边）；(2)不一定，理由见解析
变式4　【答案】x＝9，AB的长是23
　题型4　变式：公共角型、共边型与同一直线上的平移型
变式1　【答案】(1)∠BAC＝48°；(2)证明见解析（△ABE≌△ACD，边角边）
变式2　【答案】△CBD；CD；∠CDB
变式3　【答案】(1)证明见解析（△ABC≌△DEF，边角边）；(2)∠ACB与∠DFE是一组相等的角
　题型5　变式：角角边证边相等、两种补法的对照与换条件后改走斜边直角边
变式1　【答案】(1)∠D的度数是64°；(2)证明见解析（△ABC≌△DEF，角角边）
变式2　【答案】角边角；角角边
变式3　【答案】(1)证明见解析（△ABD≌△ACD，角角边）；(2)仍然成立，理由见解析（△ABD≌△ACD，斜边、直角边）
　题型6　变式：读对应元素、实际的斜梁与共用一条直角边的图
变式1　【答案】∠M；53
变式2　【答案】(1)证明见解析（△ACB≌△DFE，斜边、直角边）；(2)与∠ABC相等的角是∠DEF
变式3　【答案】(1)相等的斜边是AC与DB，相等的直角边是公共边BC与CB，用“斜边、直角边”；(2)证明见解析（△ABC≌△DCB，斜边、直角边）
　题型7　变式：由一条垂线段求另一条、由距离相等反推平分线、面积与选择
变式1　【答案】54；12.8
变式2　【答案】(1)AB的长是14；(2)点D到∠BAC两边的距离相等且在角的内部，由角的平分线的判定得AD平分∠BAC
变式3　【答案】△ABD的面积是18，△ACD的面积是12
变式4　【答案】B
　题型8　变式：作角平分线与作图之后接着算角
变式1　【答案】按“作弧截两点、两弧交于一点、连顶点与这点”三步作出的射线OC就是∠AOB的平分线
变式2　【答案】48；24
　题型9　变式：由中线求取值范围、倍长后证平行与截长补短
变式1　【答案】AD的取值范围是2＜AD＜7
变式2　【答案】证明见解析（△ADC≌△EDB，边角边；由∠DAC＝∠DEB得AC∥BE）
变式3　【答案】(1)∠ACB的度数是58°；(2)证明见解析（△AED≌△ACD，边角边）
　题型10　变式：卡钳的道理、直线上的动点与共顶点的旋转型
变式1　【答案】PQ；边角边
变式2　【答案】当x＝4时，这两个三角形全等
变式3　【答案】证明见解析（先由两个相等的角同减∠DAC得∠BAD＝∠CAE，再由边角边得△ABD≌△ACE）
　易错专练
易错1　【答案】BC的对应边是DA；∠BAC的对应角是∠DCA
易错2　【答案】不一定全等；这三个条件是两边和其中一边的对角分别相等
易错3　【答案】不一定相等；只有PM⊥OA且PN⊥OB时才相等
易错4　【答案】不一定；只有点P还在∠AOB的内部时，它才在这个角的平分线上
　课后作业（一）基础巩固
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】23
10．【答案】77
11．【答案】2.4；AP平分∠BAC
12．【答案】8
13．【答案】20
14．【答案】24；58
　课后作业（三）拓展延伸
15．【答案】(1)证明见解析（两次全等：△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE）；(2)△ABD≌△ACD（边边边）、△BDE≌△CDE（边角边）、△ABE≌△ACE（边边边）
16．【答案】(1)证明见解析（△ABO≌△CDO，角边角）；(2)AD∥BC，理由见解析（△AOD≌△COB，边角边）
17．【答案】(1)∠BDE＝58°，∠BAD＝29°；(2)与DC相等的线段是DE
18．【答案】证明见解析（先由角的平分线的性质得DM＝DN，再用△BDM≌△BDN，斜边、直角边）
19．【答案】(1)证明见解析（△QSM≌△RSN，斜边、直角边）；(2)不一定成立，理由见解析
20．【答案】(1)证明见解析（连接AC后△ABC≌△CDA，边角边）；(2)∠D＝105°第十四章 全等三角形 题型精讲（讲义）
2026-2027学年八年级上册数学人教版
人教版（2024年版）八年级数学上册　第十四章　全等三角形　14.1全等三角形及其性质　14.2三角形全等的判定　14.3角的平分线
班级：________　姓名：________　日期：________
　知识梳理
知识点　01　全等形、全等三角形与对应元素
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫作全等形．能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．把一个图形平移、翻折或者旋转，位置变了，形状、大小没变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．记法上还有一条约定：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例：写出△GHK≌△MHK，就已经说明点G与点M、点H与点H、点K与点K分别是对应顶点。
全等形＝能够完全重合的两个图形；全等三角形＝能够完全重合的两个三角形
记法约定：表示对应顶点的字母写在对应的位置上；符号“≌”读作“全等于”
小提示：“≌”左右两边字母的次序本身就是一张对应表：把两边同一位置上的字母竖着对齐，对应顶点就出来了，对应边与对应角跟着一起定下来。
知识点　02　全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等
把两个全等的三角形叠合在一起，重合的边一样长，重合的角一样大，于是得到本章唯一的一条性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．它是后面所有计算与证明的落脚点：先说明两个三角形全等，再用它把要求的线段或者角拿出来。用的时候只有一个动作——照着全等式读对应关系。两个三角形有公共边或者公共角时，公共的那一条边、那一个角往往就是一组对应元素。例：由△PQS≌△RQS可以读出PQ与RQ是对应边、∠QPS与∠QRS是对应角，公共边QS则是这两个三角形自己的对应边。
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
公共边、公共角常常就是一组对应元素
小提示：全等三角形的周长相等、面积也相等，但反过来不成立：周长相等或者面积相等的两个三角形，形状可以完全不同。判断全等只能回到定义或者判定方法上去。
知识点　03　边角边：两边和它们的夹角分别相等
教材按“三个元素分别相等”分情况研究两个三角形什么时候全等。第一种情形是两边和它们的夹角：把两个相等的角叠合以后，两条边的另一端也随之重合，两个三角形就完全重合了。由此得到第一条基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．必须强调的是夹角二字：如果相等的那个角不是这两条边的夹角，而是其中一边的对角，结论就不成立。教材专门给了反例：△GHK与△GHM中，GH是公共边，∠H是公共角，又有GK＝GM，两个三角形却明显不重合。所以两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．例：AB＝AD、∠BAC＝∠DAC，再加上公共边AC，就凑齐了“边角边”的三个条件。
边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
小提示：判断手里的条件是不是“边角边”，只要看那个角的两条边在不在已知的两条边里。在就是夹角，可以用；不在就是对角，只能另找方法。
知识点　04　角边角与角角边：两角和一边分别相等
先看这一边正好夹在两角中间的情形：把这条边叠合以后，两端的两条射线也分别重合，它们的交点自然重合，于是得到第二条基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．如果相等的那条边不是夹边，而是其中一组等角的对边，那么两个三角形已经有两个角分别相等，由三角形的内角和定理，第三个角也相等，于是又凑出了“角边角”。这样就得到一条由基本事实推出来的结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．例：两个三角形里∠P与∠S相等、∠Q与∠T相等，而QR、TK分别是∠P、∠S的对边，这一组条件用的就是“角角边”。
角边角：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
小提示：分清角边角与角角边只看那条相等的边站在哪里：夹在两个已知角中间就是角边角，正对着其中一个已知角就是角角边。两者都要写清楚是哪两个角、哪一条边。
知识点　05　边边边与尺规作图
第三种情形是三条边分别相等。两条边的另一端各画一个圆，交点的位置是定死的，所以三条边一旦确定，第三个顶点也就确定了，于是得到第三条基本事实：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．它还带来两个尺规作图：已知三条线段（任意两条的和大于第三条），先作出一条边，再分别以它的两个端点为圆心、另两条线段为半径作弧，两弧的交点就是第三个顶点；作一个角等于已知角，则是把这个角装进一个三角形，再作出与它全等的三角形。三个角分别相等的两个三角形并不一定全等，所以通用的判定方法只有边角边、角边角、角角边、边边边这四条。例：AB＝AD、CB＝CD，再加上公共边AC，三条边就分别相等了。
边边边：三边分别相等的两个三角形全等
三个角分别相等的两个三角形不一定全等
小提示：已知三条线段作三角形之前，要先用三边关系检查任意两条的和是不是大于第三条；不满足这一条，两条弧根本交不上。作图痕迹是评分点，两条弧和那条边都要留着。
知识点　06　斜边、直角边：直角三角形专用的判定
直角三角形也可以用前面四种判定方法：两条直角边分别相等其实就是把直角当成夹角的“边角边”，一直角边和一个锐角分别相等则走角边角或者角角边。还有一种情形：两个直角三角形的斜边分别相等，同时各有一条直角边也相等。这时相等的那个角是直角，却不夹在两条已知的边之间，按前面的结论本该判定不出全等。教材用叠合的办法说明这一情形对直角三角形仍然成立，并给出这条专用的判定方法：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”）．教材同时指出，这条方法在后续的学习中还会给出严格的证明。例：两个三角形里∠C与∠F都是直角，斜边AB与DE相等，直角边BC与EF也相等，用的就是斜边、直角边。
斜边、直角边：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
用它之前必须先说明两个三角形都是直角三角形（写出两个直角）
小提示：斜边、直角边是直角三角形独有的通道，一般三角形套用它就是错的。写证明时先把两个直角交代清楚，再把斜边、直角边这两组条件按顺序列出来。
知识点　07　角的平分线：性质与判定
有了证明线段相等的通用办法，就可以用它研究角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA、PE⊥OB，那么△OPD与△OPE有两角和其中一组等角的对边分别相等，按前面的判定方法它们能够完全重合，于是得到角的平分线的性质（通常也叫它性质定理）：角的平分线上的点到角两边的距离相等．把题设与结论交换过来，得到的命题同样成立，这就是角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．两条合起来还能换一种说法：在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合．由判定还能得到一个常用结论：三角形的三条角平分线相交于同一个点，而这个交点与三条边的距离都相等。教材在这里还总结了证明几何命题的一般步骤：明确已知和求证，画出图形并用符号表示，再分析出由已知推到结论的途径并写出过程。例：KR⊥QM、KS⊥QN且KR＝KS，点K又在角的内部，那么射线QK平分∠MQN。
性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等
判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
小提示：性质与判定互为逆命题，方向不能反：由“在平分线上”推“距离相等”是性质，由“距离相等”推“在平分线上”是判定。这里的“距离”专指点到直线的垂线段的长，判定还要求这个点落在角的内部。
【题型1】全等三角形的对应元素与性质求边角
本题型只有两个动作：照着全等式把对应顶点竖着对齐，再用“对应边相等、对应角相等”把要求的量搬过来。三种常见姿势——平移得到的、翻折得到的、绕一点旋转得到的——对应关系都由全等式本身指定，与图摆成什么样无关。
例1　如图，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF。若∠A＝40°，∠B＝76°，AB＝7，EF＝5。(1)求∠F的度数；(2)写出BC的长。
【分析】平移前后的两个三角形全等，即△ABC≌△DEF，对应顶点是A与D、B与E、C与F。∠F的对应角是∠C，先在△ABC中把∠C算出来；BC的对应边是EF，长度可以直接搬过来。
【解答】(1)由三角形的内角和定理，得∠C＝180°－40°－76°＝64°。
∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C＝64°。
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝5。
答：(1)∠F是64°；(2)BC的长是5。
【方法小结】拿到全等式先写一行对应表：上下同一位置的字母配成一对，再求边就找对应边、求角就找对应角。本题的∠F没有直接给出，要先用内角和把它的对应角补出来。
题型1　变式：由对应角求度数、旋转型与翻折型
三道变式把“读对应关系”这条线走完：先由对应角求度数，再在旋转与翻折两种摆法里把对应边、对应角与周长找出来。
变式1　已知△ABC≌△DEF，∠A＝58°，∠E＝47°，则∠B的度数是____°，∠F的度数是____°。
变式2　如图，把△ABC绕点A旋转一定的角度，得到△ADE，其中点B与点D是对应顶点。若∠BAC＝40°，∠CAD＝25°，求∠BAE的度数。
变式3　如图，△ABC≌△DEF，点A与点D、点B与点E分别是对应顶点。若AB＝9，BC＝6，AC＝7，求DF的长与△DEF的周长。
【题型2】判定方法的选择与补足条件
手里已经有几个条件，该挑哪一种判定方法，还差哪一个条件，这是证明题落笔前必须想清楚的一步。办法是把已知条件按“边”“角”标出来，再看它们在两个三角形里的位置关系。
例1　如图，点B、C、E、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF。(1)若再补上BC＝EF，能用哪一种判定方法判定△ABC≌△DEF？(2)若补上的条件换成∠A＝∠D，又该用哪一种判定方法？
【分析】把已知的两个条件标一标：AB与DE是一组边，∠ABC与∠DEF是一组角，而这个角正好是AB的一个端点处的角。补上的条件是边还是角，决定了该走哪一条路。
【解答】(1)补上BC＝EF以后，两个三角形里已知的是两条边AB与BC、DE与EF，∠ABC与∠DEF正好是这两条边的夹角，所以用边角边。
(2)补上∠A＝∠D以后，两个三角形里已知的是两个角∠A与∠ABC、∠D与∠DEF，AB与DE正好是这两个角的夹边，所以用角边角。
答：(1)用边角边；(2)用角边角。
【方法小结】先数已知里有几条边、几个角，再看位置：角夹在两边之间走边角边，边夹在两角之间走角边角，边正对着一个已知角走角角边。
题型2　变式：挑出不成立的条件、补边角边与一题两补法
三道变式覆盖补条件的常见花样：从四个选项里挑出唯一不成立的那一个、按指定的方法补一个条件、以及同一道题给出两种不同的补法并各自说明依据。
变式1　在△ABC与△DEF中，已知AB＝DE，∠A＝∠D。再从下面四项里各取一项补上去，其中仍然定不出两个三角形全等的一项是（　　）。
A．AC＝DF　　B．∠B＝∠E　　C．∠C＝∠F　　D．BC＝EF
变式2　在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF。若要用“边角边”判定这两个三角形全等，还需要补上的条件是____。
变式3　如图，两条线段MP与NQ都经过点G，且MG＝PG。要使△MGN≌△PGQ，可以补上一个条件。写出两种不同的补法，并分别写出所用的判定方法。
【题型3】用“边边边”证明
三条边分别相等是最省心的一条判定：不涉及角，只要把三组相等的线段找齐。图里出现公共边时，它自己就是一组相等的边，别忘了把它写进去。
例1　如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，连接BD。求证：(1)∠A＝∠C；(2)BD平分∠ABC。
【分析】要证的两个结论都挂在△ABD与△CBD上：∠A与∠C是这两个三角形的一组对应角，∠ABD与∠CBD是另一组。已知给了两组相等的边，再补上公共边BD，三条边就齐了。
【解答】(1)在△ABD和△CBD中，
AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（边边边）。
∴∠A＝∠C。
(2)∵△ABD≌△CBD，∴∠ABD＝∠CBD。
∴BD平分∠ABC。
【方法小结】证明的骨架是三行：先写“在△×××和△×××中”，再按判定方法的次序列齐三个条件，最后写出全等并注明方法。
题型3　变式：同一直线上的两个三角形、由全等读出平分线与去掉条件后的追问
四道变式把“边边边”的常见图形走一遍：两个三角形分坐在同一条直线上、由全等直接读出一条角平分线、去掉一个条件后追问结论还成不成立，以及由对应边相等列一个方程。
变式1　如图，点A、C、B、D在同一条直线上，AC＝BD，AE＝DF，CE＝BF。(1)求证∠A＝∠D；(2)写出图中与AE相等的线段和与∠ACE相等的角。
变式2　如图，AB＝AC，BD＝CD，连接AD。由“边边边”可以判定△ABD≌△ACD，于是得到∠BAD＝____，射线AD是∠BAC的平分线；若∠BAC＝76°，则∠BAD＝____°。
变式3　如图，∠UQW是一块三角板缺口的两条边。在QU、QW上分别取点G、H，使QG＝QH；再在缺口的内部取一点T，使TG＝TH，连接QT。(1)求证射线QT是∠UQW的平分线；(2)若把条件TG＝TH去掉，射线QT还一定是∠UQW的平分线吗？说明理由。
变式4　已知△ABC≌△DEF，其中AB＝3x－4，DE＝2x＋5，且AB与DE是一组对应边。求x的值与AB的长。
【题型4】用“边角边”证明
边角边是用得最多的一条判定。它的三个条件必须按边、角、边的次序排好，中间那个角一定是前后两条边的夹角。图里的公共边与对顶角常常就是现成的条件。
例1　如图，点O是线段AC的中点，OB＝OD。(1)求证AB＝CD；(2)若∠A＝35°，∠AOB＝104°，求∠ODC的度数。
【分析】AB与CD分别是△AOB与△COD的一条边。这两个三角形里，OA与OC由中点给出，OB与OD已知，中间夹着的一对角正好是对顶角。
【解答】(1)∵点O是AC的中点，∴OA＝OC。
∠AOB与∠COD是对顶角，∴∠AOB＝∠COD。
在△AOB和△COD中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（边角边）。
∴AB＝CD。
(2)在△AOB中，由三个内角相加等于180°，得∠OBA＝180°－35°－104°＝41°。
∵△AOB≌△COD，∴∠ODC＝∠OBA＝41°。
答：(2)∠ODC的度数是41°。
【方法小结】两条线段相交、交点又是中点的图是边角边最标准的场景：中点给一组边，对顶角给夹角。
题型4　变式：公共角型、共边型与同一直线上的平移型
三道变式练边角边的三种典型摆法：以一个公共角为中间条件、以一条公共边为中间条件、以及两个三角形沿一条直线错开摆放时先由线段的和差凑出相等的边。
变式1　如图，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，连接BE、CD。(1)若∠ABC＝∠ACB＝66°，求∠BAC的度数；(2)求证BE＝CD。
变式2　已知AD＝CB，∠ADB＝∠CBD，BD是△ADB与以C、B、D为顶点的三角形的公共边。由“边角边”可以判定△ADB≌____，从而得到AB＝____；图中与∠ABD相等的角是____。
变式3　如图，点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF。(1)求证AC＝DF；(2)由(1)得到的全等还能读出哪一组相等的角？把它写出来。
【题型5】用“角边角”“角角边”证明
两角和一边的情形分两种：那条边夹在两角中间走角边角，那条边正对着其中一个已知角走角角边。两者都要先把两个角、一条边分别落在哪两个三角形里说清楚。
例1　如图，点O既在线段AC上，也在线段BD上，且∠A＝∠D，OA＝OD。(1)求证OB＝OC；(2)若∠A＝28°，∠AOB＝96°，求∠OBA的度数。
【分析】OB在△AOB里，OC在△DOC里。这两个三角形已经有一组相等的角∠A与∠D、一组相等的边OA与OD，再加上一对对顶角，条件正好排成角、边、角。
【解答】(1)∠AOB与∠DOC是对顶角，∴∠AOB＝∠DOC。
在△AOB和△DOC中，
∠A＝∠D，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC（角边角）。
∴OB＝OC。
(2)在△AOB中，由内角和等于180°可得∠OBA＝180°－28°－96°＝56°。
答：(2)∠OBA的度数是56°。
【方法小结】角边角的三个条件必须写成角、边、角的次序，中间那条边要夹在两个角之间。
题型5　变式：角角边证边相等、两种补法的对照与换条件后改走斜边直角边
三道变式分别练：直接套角角边、把角边角与角角边放在一起对照、以及在同一张图上换掉一个条件后改走斜边、直角边。
变式1　在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF。(1)若∠B＝52°，∠ACB＝64°，求∠D的度数；(2)求证BC＝EF。
变式2　在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E。若再补上AB＝DE，可以用____判定这两个三角形全等；若补上的是BC＝EF，则可以用____判定。
变式3　如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC，垂足为D。(1)求证BD＝CD；(2)若把已知的∠B＝∠C换成AB＝AC，(1)的结论是否仍然成立？说明理由。
【题型6】用“斜边、直角边”证明
这是直角三角形独有的一条判定。用它之前必须先把两个直角说出来，再把斜边、直角边这两组条件按顺序列齐；一般三角形套用它就是错的。
例1　如图，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，点E在线段AB上，AC＝BD，CE＝DE。(1)求证AE＝BE；(2)若∠ACE＝34°，求∠AEC的度数。
【分析】两条垂直给出两个直角，所以△ACE与△BDE都是直角三角形。CE与DE是它们的斜边，AC与BD是一组直角边，条件正好是斜边和一直角边分别相等。
【解答】(1)∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠CAE＝∠DBE＝90°。
∴△ACE与△BDE都是直角三角形。
在直角三角形ACE和直角三角形BDE中，
CE＝DE，AC＝BD，
∴△ACE≌△BDE（斜边、直角边）。
∴AE＝BE。
(2)∵∠CAE＝90°，由直角三角形的两个锐角互余，得∠AEC＝90°－34°＝56°。
答：(2)∠AEC的度数是56°。
【方法小结】斜边、直角边只列两个条件，但前面那句“都是直角三角形”不能省；先亮直角，再列斜边与直角边。
题型6　变式：读对应元素、实际的斜梁与共用一条直角边的图
三道变式练这条判定的三种用法：照图把全等式与对应边写完整、在实际情境里用它说明两段长度相等、以及在共用一条直角边的图里先挑条件再证明。
变式1　在△ABC与△MNP中，∠B＝∠N＝90°，AC＝MP，BC＝NP。由“斜边、直角边”可以判定这两个直角三角形全等，其中与∠A相等的角是____；若∠A＝37°，则∠P的度数是____°。
变式2　如图，两根长度相同的斜梁AB与DE架在两处支架上，支柱AC与DF都与水平地面垂直，且AC＝DF。(1)求证BC＝EF；(2)写出图中与∠ABC相等的角，并说明理由。
变式3　如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AC＝DB。(1)指出△ABC与△DCB中相等的斜边与相等的直角边，并写出应当使用的判定方法；(2)求证∠ACB＝∠DBC。
【题型7】角的平分线的性质与判定的应用
性质与判定是一对方向相反的工具：由“在平分线上”推“到两边的距离相等”是性质，由“到两边的距离相等”推“在平分线上”是判定。两者共同的前提是先有垂线段。
例1　如图，在△MNK中，∠MKN＝90°，∠MNK的平分线交MK于点D，过点D作MN的垂线段DE，垂足是E。若DE＝3，MD＝5。(1)写出点D到边NK的距离；(2)求MK的长。
【分析】∠MKN是直角，所以DK本身就与NK垂直，点D到边NK的距离就是DK的长。点D又在∠MNK的平分线上，由性质可知它到MN与NK的距离相等。
【解答】(1)∵∠MKN＝90°，∴DK⊥NK，点D到边NK的距离就是DK的长。
∵ND平分∠MNK，DE⊥MN，DK⊥NK，
∴由角的平分线的性质，得DK＝DE＝3。
∴点D到边NK的距离是3。
(2)点D在边MK上，∴MK＝MD＋DK＝5＋3＝8。
答：(1)点D到边NK的距离是3；(2)MK的长是8。
【方法小结】直角所在的那条边本身就是一条垂线段，用性质时不必另外作垂线。这一步看不出来，整道题就会卡在“到另一条边的距离是多少”上。
题型7　变式：由一条垂线段求另一条、由距离相等反推平分线、面积与选择
四道变式把性质与判定正反两个方向各走两遍：由一条垂线段求另一条并顺带求出整个角、由两条垂线段相等反推平分线、用相等的高求两块面积、以及在直角三角形里直接读出距离。
变式1　如图，点P在∠AOB的平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N。若PM＝6.4，∠MOP＝27°，则∠AOB的度数是____°，PM与PN的长的和是____。
变式2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝DC。(1)若DC＝3，△ABD的面积是21，求AB的长；(2)求证AD平分∠BAC。
变式3　如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE与DF分别是点D到边AB、AC的垂线段，垂足是E与F。若AB＝12，AC＝8，DE＝3，求△ABD与△ACD的面积。
变式4　一个直角三角形ABC里∠B是直角，∠A的平分线与边BC交于点D。若BD＝4，则点D到斜边AC的距离是（　　）。
A．2　　B．4　　C．8　　D．无法确定
【题型8】尺规作图与作图的依据
本章的两个基本作图——作一个角等于已知角、作一个角的平分线——都是用全等三角形撑起来的。会作还不够，还要说得出每一步为什么能保证两个角相等。
例1　如图，已知∠MON与射线VU。用直尺和圆规作∠UVW，使∠UVW＝∠MON（保留作图痕迹），并写出所用判定方法的名称。
【分析】把已知的角装进一个三角形里，再在新的射线上作一个与它全等的三角形，对应角自然相等。三条边由两次作弧截出来。
【解答】第一步，以点O为圆心、任意长为半径作弧，分别交OM、ON于点P、Q。
第二步，以点V为圆心、OP的长为半径作弧，交VU于点G。
第三步，以点G为圆心、PQ的长为半径作弧，与上一步作出的弧相交于点W。
第四步，作射线VW，则∠UVW就是所求作的角。
由作法得OP＝VG，OQ＝VW，PQ＝GW，所以△OPQ≌△VGW（边边边），于是∠UVW＝∠MON。
答：所用的判定方法是边边边。
【方法小结】尺规作图题的评分点有两处：作图痕迹要留着，作法要按“以谁为圆心、多长为半径、交于哪一点”写清。
题型8　变式：作角平分线与作图之后接着算角
两道变式围着两个基本作图转：亲手作一条角平分线，再由作图保证的相等关系接着往下算一个角。
变式1　如图，已知∠AOB。用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC（保留作图痕迹），并写出作法。
变式2　用直尺和圆规作出的∠UVW与已知的∠MON相等。若∠MON＝48°，则∠UVW＝____°；再用直尺和圆规作∠UVW的平分线VP，则∠UVP＝____°。
【题型9】（拓展）添辅助线证全等：倍长中线与截长补短
已知条件散在图的两头、单靠现成的三角形凑不齐条件时，就要自己添一条线把它们搬到一起（拓展）。最常用的两招是把中线延长一倍，以及在长的一边上截下与短边相等的一段。
例1　如图，PS是△PQR的QR边上的中线。求证PQ＋PR＞2PS。
【分析】PQ、PR与PS分散在两个不相邻的三角形里，直接比较不了。把中线PS延长一倍，就能把PR搬到与PQ相邻的位置上，三条线段落进同一个三角形，再用上一章的三边关系。
【解答】延长PS到点T，使ST＝PS，连接QT。
∵PS是QR边上的中线，∴QS＝RS。
在△PSR和△TSQ中，
RS＝QS，∠PSR＝∠TSQ（对顶角），PS＝TS，
∴△PSR≌△TSQ（边角边）。
∴QT＝PR。
在△PQT中，由三角形两边的和大于第三边，得PQ＋QT＞PT。
∵PT＝PS＋ST＝2PS，QT＝PR，∴PQ＋PR＞2PS。
【方法小结】倍长中线的口诀是“延长中线一倍，连接一个端点”：延长出的那对三角形靠对顶角与中点走边角边，全等后就把一条边搬到了需要的位置。
题型9　变式：由中线求取值范围、倍长后证平行与截长补短
三道变式把两招辅助线各练一遍：先用倍长中线求中线长的取值范围，再用它证一组平行，最后在角的平分线旁边截出相等的一段。
变式1　在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝9，AC＝5。求AD的取值范围。
变式2　如图，AD是△ABC的中线。把AD延长到点E，使ED与AD相等，再连接BE。求证：AC∥BE。
变式3　如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D。在边AB上取一点E，使AE与AC相等，再连接DE。(1)若∠B＝46°，∠BAC＝76°，求∠ACB的度数；(2)求证DE＝DC。
【题型10】（拓展）全等三角形与实际测量、动点问题
隔着障碍量不到的距离、在直线上匀速移动的点，都可以化成全等问题（拓展）：测量题是把要量的那条线段搬到能量得到的地方，动点题是把运动的长度写成含字母的式子再列方程。
例1　如图，要测量草坪两端M、N之间的距离，中间的障碍物挡住了视线。测量员在草坪外取一点O，连接MO并延长到点P，使OP＝OM；连接NO并延长到点Q，使OQ＝ON；量出PQ的长，就得到了M、N之间的距离。(1)写出这样测量的依据；(2)若量得OM＝14.5 m，求MP的长。
【分析】要量的MN被挡住了，而PQ在空地上能直接量。只要说明这两条线段所在的三角形全等，MN的长就可以由PQ代替。
【解答】由作法可知OM＝OP，ON＝OQ。
∠MON与∠POQ是对顶角，∴∠MON＝∠POQ。
在△MON和△POQ中，
OM＝OP，∠MON＝∠POQ，ON＝OQ，
∴△MON≌△POQ（边角边）。
∴PQ＝MN。
答：(1)依据是△MON≌△POQ（边角边），全等三角形的对应边相等，所以量出的PQ就是M、N之间的距离。
(2)由作法得OP＝OM，所以MP＝OM＋OP＝2×14.5＝29（m）。
答：(2)MP的长是29 m。
【方法小结】隔着障碍测距离的通用办法：两条线段各延长一倍，对顶角自动相等，边角边一凑就把线段搬到了空地上。
题型10　变式：卡钳的道理、直线上的动点与共顶点的旋转型
三道变式把拓展的三个方向各走一遍：用全等解释卡钳为什么能量内槽宽、在直线上让一个点动起来并列方程求时间、以及在共顶点的旋转型图里用角的和差凑出相等的角。
变式1　如图，把两根钢条AP、BQ的中点O连在一起，做成一个测量内槽宽的卡钳。测量时把点A、B放在内槽的两壁上，只要量出____的长，就得到了内槽的宽AB；其中的道理是△AOB≌△POQ，所用的判定方法是____。
变式2　如图，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，AB＝6，DE＝8，BD＝14。点C从点B出发，沿BD以每秒2个单位长度的速度向点D运动，运动的时间为x秒（0＜x＜7）。当x为多少时，以A、B、C为顶点的三角形与以C、D、E为顶点的三角形全等？
变式3　如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE。求证：(1)∠BAD＝∠CAE；(2)BD＝CE。
　易错专练
本章的失分集中在四处：按字母表的次序配对应顶点、把“边边角”当成判定方法、把角的平分线里的“距离”当成任意连线、以及用角的平分线的判定时漏掉“点在角的内部”。下面四题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。
易错1　已知△ABC≌△CDA。写出BC的对应边与∠BAC的对应角。
易错2　在△ABC和△DEF中，AB＝DE＝7，BC＝EF＝5，∠A＝∠D＝40°。判断这两个三角形是不是一定全等，并写出判断的依据。
易错3　点P在∠AOB的平分线上，点M在边OA上，点N在边OB上，连接PM、PN。判断PM与PN是不是一定相等。
易错4　已知点P到∠AOB两边所在直线的距离相等。判断点P是不是一定在∠AOB的平分线上。
　课后作业（一）基础巩固
下面8题是本章最低限度的必会内容，每题只有一个选项符合题意，把字母填进括号里。考查次序是全等的概念、性质、判定方法的选择、直角三角形的判定、角的平分线与尺规作图。
1．在下面四句话中，与教材给出的全等三角形的定义一致的是（　　）。
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．能够完全重合的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
2．若△ABC≌△DEF，∠A＝39°，∠B＝72°，AB＝8，则下列结论中正确的是（　　）。
A．DE＝8　　B．∠F＝72°　　C．∠D＝69°　　D．EF＝8
3．在△ABC和△DEF中，已知BC＝EF，∠B＝∠E。把下面四项分别补上去，其中一项补上以后两个三角形仍不一定全等，它是（　　）。
A．AB＝DE　　B．∠C＝∠F　　C．∠A＝∠D　　D．AC＝DF
4．对于两个直角三角形，下面四组条件里不足以断定它们全等的一组是（　　）。
A．两条直角边分别相等
B．两个锐角分别相等
C．斜边和一条直角边分别相等
D．一条直角边和一个锐角分别相等
5．要断定“点P在∠AOB的平分线上”，除了“点P到OA、OB的距离相等”，还必须补上的条件是（　　）。
A．点P在∠AOB的内部
B．点P到点O的距离是定值
C．∠AOB是锐角
D．OA＝OB
6．已知△ABC≌△DEF，∠A＝44°，∠B＝57°，则∠F的度数是（　　）。
A．44°　　B．57°　　C．79°　　D．101°
7．用直尺和圆规作一个角的平分线，作法中用到的判定三角形全等的方法是（　　）。
A．边角边　　B．角边角　　C．角角边　　D．边边边
8．在△ABC与△ADC中，AB＝AD。还需要补上一个条件才能用“边边边”判定这两个三角形全等，这个条件是（　　）。
A．∠B＝∠D
B．CB＝CD
C．∠BAC＝∠DAC
D．∠BCA＝∠DCA
　课后作业（二）能力进阶
第9～14题只要求写出结果，不必写过程。这一组把全等三角形的性质、补条件与角的平分线的性质各考一遍。
9．已知△ABC≌△DEF，其中点B与点E是一组对应顶点。若AB＝10，EF＝6，DF＝7，则△ABC的周长是____。
10．若△ABC≌△DEF，∠A＝65°，∠F＝38°，则∠B的度数是____°。
11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，点P在边BC上，且点P到边AB的距离等于PC的长。若BP＝3.6，则PC的长是____，射线AP与∠BAC的关系是____。
12．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长是28，AB＝9，BC＝11，则DF的长是____。
13．如图，GP是△GKN的角平分线，PR⊥GK，垂足为R。若PR＝4，GK＝10，则△GKP的面积是____。
14．已知△ABC≌△DEF，∠A与∠D是一组对应角。若∠A＝(2y＋10)°，∠D＝(3y－14)°，则y＝____，∠A＝____°。
　课后作业（三）拓展延伸
第15～20题要写出完整的证明或计算过程。这一组把两次全等的接力、直角三角形的判定、角的平分线的性质与判定合在一起用。
15．如图，AB＝AC，BD＝CD，点E在线段AD上，连接BE、CE。(1)求证BE＝CE；(2)写出图中所有的全等三角形，并说明各用了哪一种判定方法。
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AC与BD相交于点O。(1)求证AO＝CO；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由。
17．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。(1)求∠BDE与∠BAD的度数；(2)写出与DC相等的线段。
18．如图，BD是△ABC的角平分线，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N。求证：BD平分∠MDN。
19．在△PQR中，点S是QR的中点，SM⊥PQ于点M，SN⊥PR于点N，且SM＝SN。(1)求证∠Q＝∠R；(2)若把已知的SM＝SN去掉，(1)的结论还一定成立吗？说明理由。
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC。(1)求证AD∥BC；(2)若∠BAC＝39°，∠ACB＝36°，求∠D的度数。

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