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参考答案
　题型1　变式：看到的形状、侧面展开、相对面与圆柱的两个视图
变式1　【答案】D
变式2　【答案】A
变式3　【答案】与“迎”字相对的是“春”字；与“喜”字相对的是“乐”字
变式4　【答案】圆；长方形
　题型2　变式：旋转生成、棱柱的元素个数与由棱数倒求棱柱
变式1　【答案】B
变式2　【答案】圆锥；圆柱
变式3　【答案】5；9；6
变式4　【答案】它是七棱柱，有9个面、14个顶点
　题型3　变式：记法辨析、由点数求直线条数、五点计数与交点条数
变式1　【答案】A
变式2　【答案】21
变式3　【答案】(1)一共有10条线段；(2)一共有55条线段
变式4　【答案】3；15
　题型4　变式：由中点求全长、直线上取点的两种情形、三点共线与动点
变式1　【答案】5
变式2　【答案】C
变式3　【答案】CD的长是6 cm
变式4　【答案】AM的长是4 cm或8 cm
　题型5　变式：单位换算、大小比较、混合运算与等分
变式1　【答案】21；2；12
变式2　【答案】C
变式3　【答案】(1)每份是17°20′；(2)所得的角是69°20′
变式4　【答案】(1)每份是22.5°，即22°30′；(2)应等分成12份
　题型6　变式：由平分线求一半、位置不定的两种情形、差与和列方程、两条平分线
变式1　【答案】38
变式2　【答案】D
变式3　【答案】∠BOC的度数是49°
变式4　【答案】∠MON的度数是27°或63°
　题型7　变式：由互余求另一角、说法辨析、同角的余角相等、互余与互补接力
变式1　【答案】63
变式2　【答案】A
变式3　【答案】∠BOC的度数是35°；与∠AOC互余的一个角是∠BOC
变式4　【答案】∠3的度数是128°
　题型8　变式：读方向、同基准求夹角、航线转向与三条射线
变式1　【答案】北偏西25°
变式2　【答案】B
变式3　【答案】∠ABC的度数是108°
变式4　【答案】∠POQ=60°，∠POR=96°
　题型9　变式：两针的转速、整点与非整点的夹角、一段时间里转过的角
变式1　【答案】6；60
变式2　【答案】C
变式3　【答案】这个夹角是22.5°
变式4　【答案】分针转过120°，4时20分时两针的夹角是10°
　题型10　变式：作和的画法、工具的限定、用量角器画角、截取后求线段
变式1　【答案】所作线段AD即为所求，AD=m+2n
变式2　【答案】B
变式3　【答案】∠BOC的度数是78°
变式4　【答案】QN的长是1.5 cm
　易错专练
易错1　【答案】射线MN与射线NM不是同一条射线
易错2　【答案】EP的长是5 cm或13 cm
易错3　【答案】63°24′大于63.24°
易错4　【答案】108°24′
易错5　【答案】∠1与∠2互余
易错6　【答案】所成的角是15°
易错7　【答案】他的说法不正确，这张图折不成正方体
　课后作业（一）基础巩固
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】五；15
10．【答案】18
11．【答案】2.5
12．【答案】52；18
　课后作业（二）能力进阶
13．【答案】16
14．【答案】90
15．【答案】112
16．【答案】85
17．【答案】(1)∠1与∠2的和是73°12′；(2)∠3=64°43′
18．【答案】AD的长是11 cm
19．【答案】∠MON等于∠AOB的一半
20．【答案】这个角的度数是65°
　课后作业（三）拓展延伸
21．【答案】(1)一共要拉6条绳子；(2)要拉()n(n-1)条绳子
22．【答案】(1)MN的长是7 cm；(2)MN的长是
23．【答案】∠BOD的度数是112.5°，即112°30′
24．【答案】经过 min，约49 min第六章 几何图形初步 题型精讲（讲义）
2026-2027学年七年级上册数学人教版
人教版（2024年版）七年级数学上册　第六章 几何图形初步　6.1 几何图形　6.2 直线、射线、线段　6.3 角
班级：________　姓名：________　日期：________
　课时目标
课标要点 1．能分辨立体图形与平面图形，会由立体图形说出从前面、左面、上面看到的平面图形，会判断一张平面图形能否折成指定的立体图形，并会由展开图确定相对的面。 2．能说出点、线、面、体的关系与“点动成线、线动成面、面动成体”，会用规范记法表示直线、射线与线段，会用“两点确定一条直线”“两点之间，线段最短”两个基本事实解释生活现象，会数直线、射线、线段的条数，会由线段的和差与中点求线段的长。 3．能说出角的两种定义、度分秒的六十进制关系，会作度分秒的加、减、乘、除运算，会求一个角的余角与补角，会用角平分线求角的度数，会读写北偏东、南偏西这类表示方向的角，会算钟面上时针与分针所成的角。
学习重难点 重点：直线、射线、线段的表示与计数；线段的和差、中点与两点之间线段最短；度分秒的换算与进位借位运算；角的和差、角平分线、余角与补角的性质。 难点：点或射线的位置没有被图形固定时要分情况讨论，漏掉一种情况就漏掉一个答案；度、分、秒是六十进制，加减乘除都不能按十进制处理；求钟面夹角时时针也在走，不能只按整点算。
　课时核心导图
　知识梳理
知识点　01　几何图形：立体图形与平面图形
本章第一句话就把研究对象交代清楚了：我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．接着教材按“各部分是不是都在同一平面内”把几何图形分成两类：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．换成自己的话说：能“鼓”起来、占着一块空间的是立体图形，能整个压在一张纸上的是平面图形。教材还提醒两类图形互相联系：很多立体图形中的某些部分是平面图形．例：一个四棱锥的底面是四边形，侧面都是三角形，这些面本身都是平面图形，而四棱锥本身是立体图形。
立体图形：各部分不都在同一平面内，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球
平面图形：各部分都在同一平面内，如线段、角、三角形、长方形、圆
两类图形互相联系：立体图形的某些面就是平面图形
小提示：别把“图形的名称”与“图形的类别”混为一谈：正方形是平面图形，正方体才是立体图形；圆是平面图形，球与圆柱才是立体图形。圆柱的两个底面是平的，侧面是曲的，一个立体图形的表面可以既有平的面又有曲的面。
知识点　02　从三个方向看与展开图
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究．教材给出两条转化的路子。第一条是从不同方向看：从前面、左面、上面观察同一个立体图形，往往会得到形状不同的平面图形，例如把一个长方体平放在桌面上，从前面看与从左面看到的两个图形往往一大一小。第二条是展开：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．把展开图反折回去就还原成原来的立体图形，所以判断一张图能不能折成正方体，关键看六个正方形排得合不合适，只要出现田字形（四个正方形围成一个大正方形）或者凹字形，就折不成。例：把一个长方体纸盒沿着若干条棱剪开铺平，得到的就是它的一张展开图；再沿原来的折痕折回去，纸盒就复原了，可见展开与折叠是互相可逆的两个动作。
从前面、左面、上面看同一个立体图形，得到的平面图形往往不同
展开图：立体图形的表面适当展开后得到的平面图形
展开图里只要出现田字形或者凹字形，就折不成正方体
小提示：由展开图找相对面，用“隔一个面相对”这句口诀：同一行（或同一列）里中间隔着一个正方形的两个面，折起来以后就是相对的两个面；相邻的两个正方形折起来是相邻面，不会相对。
知识点　03　点、线、面、体
构成图形的元素是什么？教材按由大到小的顺序作了回答：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体．几何体也简称体．包围着体的是面．面有平的面和曲的面两种．面和面相交的地方形成线．线和线相交的地方是点．反过来，这些元素动起来又能生成更高一级的图形：这可以说点动成线……这可以说线动成面……这可以说面动成体．教材最后把结论收在一句话上：几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．记忆时抓住两条相反的线索：往下拆是“体→面→线→点”，往上生成是“点→线→面→体”。例：钟面上分针的针尖绕着中心走一圈，针尖留下的痕迹是一个圆，这就是点动成线。
由大到小：体由面围成，面和面相交成线，线和线相交成点
由小到大：点动成线，线动成面，面动成体
点是构成图形的基本元素
小提示：面分平的面与曲的面：长方体的六个面都是平的，圆柱的侧面与球面是曲的。棱是线不是面，顶点是点不是线，答“有几个面、几条棱、几个顶点”之前先分清问的是哪一级元素。
知识点　04　直线、射线、线段的表示与基本事实
经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？动手画过以后，教材给出第一个基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．正因为两点能定住一条直线，直线才可以用它上面的两个点来表示，写成直线AB或者直线l。线段与射线都是直线的一部分：线段AB（也可以写成线段BA）有两个端点A、B；射线OA的端点是O，端点必须写在前面。教材还规定了三个作图用语：连接AB，就是要画出以A，B为端点的线段；延长线段AB，是指按从端点A到B的方向延长；延长线段BA，是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB．另外，当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点．例：在直线m上依次取P、Q两点，经过这两个点的直线只有一条，它既可以记作直线PQ，也可以记作直线m。
经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）
直线无端点、射线一个端点、线段两个端点；只有线段能量出长度
射线的记法端点写在前；连接、延长、反向延长各有确定的含义
小提示：由基本事实可以推出：两条不同的直线最多只有一个交点。“延长”只对线段和射线说得通：线段可以向某一端延长，直线本身已经向两方无限延伸，不能说“延长直线”。判断两条射线是不是同一条，先看端点是不是同一个点，再看方向是不是一致，两条都对才是同一条。
知识点　05　线段的比较、运算与尺规作图
线段有长度，因而可以比较长短，也能作和差运算。比较两条线段的长短有两种办法：一是用刻度尺分别量出长度再比数，二是把其中一条移到另一条上叠合着看，教材提醒：将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合．作线段的和差要先会“作一条线段等于已知线段”，教材把用无刻度直尺与圆规作图的这种限定命名为尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．作和差的口径也很固定：在直线上作线段等于第一条，再在它的延长线上接着作第二条，两段合起来就是和；若要作差，就在第一条线段上截去第二条。此外还有第二个基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．由它得出距离的定义：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．例：在直线上作线段PQ=c，再在PQ的延长线上作QR=d，那么线段PR就是c与d的和。
比较线段：度量法（量长度比数）或叠合法（一端重合看另一端）
尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规
两点之间，线段最短；两点间的距离是连接这两点的线段的长度
小提示：“两点间的距离”是一个长度（一个数），不是那条线段本身，答题时要带上长度单位。尺规作图不许用刻度尺去量，量出来的画法叫“用刻度尺画”，两者的工具限制不同，写画法时别混着说。
知识点　06　线段的中点与等分点
把线段平均分的点有专门的名称。教材写道：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点．由中点的定义能同时得到两串关系：从半边看，AM=MB；从整体看，AM与MB都等于AB的一半；反过来，AB是AM的2倍，也是MB的2倍。这三种写法在解题时按需要随时互换，哪一种能让式子最短就用哪一种。类似地，把线段分成三条相等线段的两个点叫作三等分点，分成四条相等线段的三个点叫作四等分点。例：若点R是线段ST的中点，且ST的长是9 cm，那么SR与RT都是4.5 cm；若再取SR的中点，它到点S的距离就是2.25 cm。
中点M：AM=MB，并且AM与MB都等于AB的一半
由中点求整体：AB是AM的2倍
三等分点把线段分成三条相等的线段，四等分点分成四条
小提示：“点M在线段AB上且AM=MB”与“点M是线段AB的中点”是同一件事，但“AM=MB”若没有说点M在线段AB上就不能推出中点。题目只说点在直线上而没说在线段上时，位置有两种可能，必须分情况算，漏一种就少一个答案。
知识点　07　角的概念与角度制
角有两种看法。静的一种是：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．动的一种是：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．角有四种记法：三个大写字母的∠AOB（顶点必须写在中间）、单个顶点字母的∠O、希腊字母的∠α、数字的∠1。度量角用的单位教材交代得很细：把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″．以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．由此得到四个换算关系：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。教材特别点明与计量时间一样，角的度、分、秒也是六十进制的．例：把0.2°化成分，0.2×60=12（′）；把7.25°写成度分，0.25×60=15，所以7.25°=7°15′。
角：有公共端点的两条射线组成的图形；也可看作一条射线绕端点旋转而成
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，度分秒是六十进制
记法：∠AOB（顶点在中间）、∠O、∠α、∠1
小提示：只有当顶点处只有一个角时才能用∠O这种单字母记法，顶点处有好几个角时必须写三个字母，否则说不清指的是哪一个。
知识点　08　角的和差、角平分线与余角、补角
角能比较大小，也能作和差，用的办法与线段那一套完全对得上。和差的写法教材写得很直白：∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC．∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC．作加减时要按六十进制处理：进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减．分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60．把角平分的射线也有名称：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．两个角之间还有两种特殊的数量关系：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补。由这两个定义教材推出两条常用性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．例：一个角是58°，它的余角是90°-58°=32°，它的补角是180°-58°=122°。
角的和差：∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOB=∠AOC-∠BOC
角平分线：从顶点出发把角分成两个相等的角的射线
互余两角和为90°，互补两角和为180°；同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等
小提示：互余、互补讲的是两个角的数量关系，与两个角摆在哪里无关，隔着老远的两个角照样可以互余。它们只能说两个角，三个角的和是90°不能说这三个角互余。
【题型1】立体图形、平面图形与展开图
这一题型考三件事：把一堆图形分成立体与平面两类、由立体图形说出三个方向看到的形状、由展开图判断能否折成正方体并找出相对的面。
例1　在下面八个图形中，把立体图形与平面图形分别按序号写出来：①长方体；②三角形；③圆柱；④线段；⑤棱锥；⑥圆；⑦球；⑧角。（下图画出了①与③两个图形）
【分析】分类的标准只有一条：各部分是不是都在同一平面内。都在同一平面内的是平面图形，不都在同一平面内的是立体图形。
【解答】①长方体、③圆柱、⑤棱锥、⑦球的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
②三角形、④线段、⑥圆、⑧角的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
答：立体图形有①③⑤⑦，平面图形有②④⑥⑧。
【方法小结】分类先问一句“能不能整个压在一张纸上”，能的是平面图形；名称相近的最容易错，正方形与正方体、圆与球分属两类。
例2　下图是一个正方体的展开图，六个面上分别写着“中”“国”“少”“年”“的”“梦”六个字。把它折成正方体后，写着“国”字的面的相对面上是哪个字？写着“少”字的面的相对面上又是哪个字？
【分析】这张展开图中间一行排着四个正方形，它们折起来正好围成侧面一圈；一圈上第1个与第3个相对、第2个与第4个相对。一行以外的两个正方形折成上、下两个底面，它们也互相相对。
【解答】中间一行依次是“中”“国”“少”“年”，折起来围成侧面一圈。
按“第1与第3相对、第2与第4相对”，得“中”与“少”相对、“国”与“年”相对。
剩下的“的”与“梦”折成上、下两个底面，因此它们互相相对。
所以“国”字的相对面上是“年”字，“少”字的相对面上是“中”字。
【方法小结】判断相对面先找那条能围成一圈的四格带：带上的面隔一个相对；带外剩下的两个面就是上、下底面，也是一组相对面。
题型1　变式：看到的形状、侧面展开、相对面与圆柱的两个视图
四道变式把“立体与平面互相转化”这条主线走一遍：由立体想平面、由展开想立体、由展开图找相对面、由摆放位置说出两个方向的视图。
变式1　把下面四个几何体分别竖直放在水平桌面上，从前面看得到的平面图形是长方形的是（　　）。
A．球　　B．圆锥　　C．棱锥　　D．圆柱
变式2　把一个圆柱的侧面沿一条竖直的线剪开后铺平，得到的平面图形是（　　）。
A．长方形　　B．圆　　C．三角形　　D．梯形
变式3　把下面这张平面图形折起来，正好围成一个正方体，它的六个面上依次是“喜”“迎”“新”“春”“快”“乐”。围好以后，“迎”字那一面的对面写着什么字？“喜”字那一面的对面呢？
变式4　把一个圆柱竖直放在水平桌面上，从上面看得到的平面图形是____，从前面看得到的平面图形是____。
【题型2】点、线、面、体
这一题型只有两条线索：往下拆是“体→面→线→点”，往上生成是“点动成线、线动成面、面动成体”。数面、棱、顶点属于往下拆，旋转生成属于往上生成。
例1　一个长方体有几个面、几条棱、几个顶点？请按“面→棱→顶点”的顺序分别数出来。
【分析】先分清三级元素：面是围着体的，线是面与面相交成的，点是线与线相交成的。数的时候按这个顺序数就不会重不会漏。
【解答】长方体上下两个面、前后两个面、左右两个面，一共6个面，每个面都是长方形。
长方体的面和面相交成棱，上底面4条、下底面4条、竖着的4条，一共12条棱。
棱和棱相交成顶点，上底面4个、下底面4个，一共8个顶点。
答：长方体有6个面、12条棱、8个顶点。
【方法小结】数面、棱、顶点按“上、下、侧”分组数，数完每组再相加；棱是线不是面、顶点是点不是线，三级元素别混着数。
例2　指出下面两种现象各说明了哪一条结论（点动成线、线动成面还是面动成体），并写出判断的依据：(1)夜晚的流星划过天空留下一道明亮的光线；(2)汽车的雨刷在挡风玻璃上扫过，扫出一块干净的区域。
【分析】先判断动起来的那个东西本身是哪一级元素，再看它运动以后留下的痕迹是哪一级元素，由“谁动、留下什么”就能对上号。
【解答】(1)流星在天空中可以看作一个点，它运动时留下的痕迹是一条光线，是线；由点运动留下线，所以这一现象说明的是点动成线。
(2)雨刷可以看作一条线，它扫过时留下的痕迹是挡风玻璃上的一块区域，是面；由线运动留下面，所以这一现象说明的是线动成面。
【方法小结】判断口诀是“看谁动、看留下什么”：点动留下线、线动留下面、面动留下体，三句话一一对应，不要凭感觉猜。
题型2　变式：旋转生成、棱柱的元素个数与由棱数倒求棱柱
四道变式从两个方向练：由平面图形旋转生成立体图形是“面动成体”，由棱柱的面数或棱数倒求其余元素则是“体→面→线→点”的逆用。
变式1　把一枚硬币竖直立在桌面上，用手拨动它快速旋转，看上去像是一个球。这一现象说明的是（　　）。
A．线动成面　　B．面动成体　　C．点动成线　　D．点动成面
变式2　一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是____；一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是____。
变式3　一个三棱柱有____个面、____条棱、____个顶点。
变式4　一个棱柱共有21条棱，它是几棱柱？它有多少个面、多少个顶点？
【题型3】直线、射线、线段的表示与计数
表示要守住三条记法规则，计数要守住一条数法：按端点分组、从左到右依次数，数完再相加，绝不东一条西一条地凑。
例1　平面内有A、B、C三个点。(1)当这三点不在同一条直线上时，以其中每两点为端点的直线共有几条？(2)当这三点在同一条直线上时，这样的直线又有几条？
【分析】两点确定一条直线，所以每取定两个点就画出一条直线。关键是这些直线会不会重合：三点不共线时条条不同，三点共线时三条重合成一条。
【解答】(1)从三个点中每次取两个，可以取出A与B、A与C、B与C三组，每组确定一条直线，且这三条直线互不相同，所以这样的直线共有3条。
(2)当三点在同一条直线上时，由A与B定出的直线、由A与C定出的直线、由B与C定出的直线其实是同一条，所以这样的直线只有1条。
【方法小结】这类题先按“每两点一条”数出组数，再回头检查有没有重合的直线，两步都做到才不会多数。
例2　如图，在直线l上从左到右取了A、B、C、D四个点。(1)图中一共有多少条线段？(2)以这四个点为端点的射线一共有多少条？
【分析】数线段按左端点分组：以A为左端点的、以B为左端点的、以C为左端点的，分完组再相加。数射线要抓住“每个点向左、向右各发出一条”。
【解答】(1)以A为左端点的线段有AB、AC、AD共3条；以B为左端点的有BC、BD共2条；以C为左端点的有CD共1条。
把三组加起来，得3+2+1=6（条），所以图中一共有6条线段。
(2)每个点都能向左、向右各发出一条射线，四个点共发出4×2=8（条）射线，且这8条射线的端点与方向各不相同。
【方法小结】线段按左端点分组求和，射线按“点数×2”计算；两种计数的口径完全不同，别用同一句话套两种。
题型3　变式：记法辨析、由点数求直线条数、五点计数与交点条数
变式按“会写→会数→会推”三级递进：先辨认哪种记法站得住，再由点数算直线与线段的条数，最后推几条直线两两相交最多有几个交点。
变式1　关于直线、射线与线段，下面四句话里站得住的一句是（　　）。
A．线段PQ与线段QP是同一条线段
B．直线AB的长是5 cm
C．可以把直线AB向两方延长
D．射线MN与射线NM是同一条射线
变式2　平面内有7个点，任意三点都不共线。经过其中每两个点画一条直线，这样的直线一共有____条。
变式3　一条直线上依次排着5个点。(1)这些点之间一共夹出多少条线段？(2)如果点的个数增加到11个，线段的条数又是多少？
变式4　平面内两条不同的直线相交时只有1个交点；三条直线两两相交，最多有____个交点；六条直线两两相交，最多有____个交点。
【题型4】线段的和差与中点
线段计算只有两个动作：把已知长度在图上标清楚，再用和差把要求的那一段拼出来。位置没被图形定死时，一定要分情况。
例1　如图，点C在线段AB上，AB=8 cm，AC=3 cm，点M是线段AB的中点。求线段MC的长。
【分析】先由中点求出AM，再看点C与点M谁离A近：AC比AM短，说明点C在点A与点M之间，于是MC等于AM减去AC。
【解答】因为点M是线段AB的中点，AB=8 cm，所以AM=8÷2=4（cm）。
因为AC=3 cm，比AM短，所以点C在点A与点M之间，于是MC=AM-AC=4-3=1（cm）。
答：线段MC的长是1 cm。
【方法小结】求两点之间的一段，先把两个点到同一个端点的距离都算出来，再作差；作差前先比一比大小，确定谁减谁。
例2　如图，点C把线段AB分成了AC与CB两段，其中AC=3CB，并且AC比CB长10 cm。(1)求线段AB的长；(2)设点M为线段AB的中点，求线段CM的长。
【分析】AC=3CB说明CB是1份、AC是3份，两段相差2份。先由“相差10 cm”求出一份的长，再把全长拼出来；第(2)问用中点求一半，再与AC作差。
【解答】(1)设CB=x cm，则AC=3x cm。由AC比CB长10 cm，得3x-x=10，解得x=5。
所以CB=5 cm，AC=3×5=15（cm），于是AB=AC+CB=15+5=20（cm）。
(2)因为点M是线段AB的中点，所以AM=20÷2=10（cm）。
因为AC=15 cm比AM=10 cm长，所以点M落在点A与点C之间，于是CM=AC-AM=15-10=5（cm）。
答：(1)线段AB的长是20 cm；(2)线段CM的长是5 cm。
【方法小结】遇到“某段是另一段的几倍”，先设一份为未知数把两段都表示出来，再照题目给的和或者差列方程；算完要比一比两点与同一端点的距离，才能确定作差的顺序。
题型4　变式：由中点求全长、直线上取点的两种情形、三点共线与动点
四道变式围着一个核心转：先用中点在整段与半段之间换算，再在同一条线段上作和差；一旦题目说的是“在直线上”而不是“在线段上”，点的位置就有两种，必须分情况。
变式1　点M是线段AB的中点，若AM=2.5 cm，则AB=____cm。
变式2　一条笔直的公路边上有甲、乙、丙三个站台，甲站台与乙站台相距7 km，丙站台与乙站台相距3 km。甲站台与丙站台之间的距离是（　　）。
A．4 km
B．10 km
C．4 km或10 km
D．3 km或7 km
变式3　点C与点D都在线段AB上，且点C在点A与点D之间。已知AB=15 cm，AC=5 cm，DB=4 cm。求线段CD的长。
变式4　线段AB的长是12 cm，在直线AB上另取一点C，使BC=4 cm，再取线段AC的中点M。求线段AM的长。
【题型5】角的度量与度分秒的换算、运算
度、分、秒是六十进制：度化分乘60、分化度除以60；加法逢60进位，减法不够减借1作60，乘除也照这一条办。
例1　(1)把56°18′36″用度表示；(2)把24.75°用度、分表示。
【分析】由小单位化成大单位要除，由大单位化成小单位要乘，进率都是60。(1)先把秒化成分、再把分化成度；(2)先留下整数度，再把小数部分化成分。
【解答】(1)36″=36÷60=0.6（′），所以18′36″=18.6′；再把分化成度，18.6′=18.6÷60=0.31（°）。所以56°18′36″=56.31°。
(2)24.75°的整数部分是24°，小数部分是0.75°；0.75°=0.75×60=45（′）。所以24.75°=24°45′。
【方法小结】两种换算的方向相反：往下化（度→分→秒）每步乘60，往上化（秒→分→度）每步除以60。整数部分先放着不动，只把小数部分往下化。
例2　计算：(1)37°28′+54°45′；(2)90°-27°36′。
【分析】两小题都按“同名单位分别运算”处理：度与度算、分与分算；分相加满60要向度进1，分不够减时要向度借1作60。
【解答】(1)分与分相加，28′+45′=73′=1°13′；度与度相加，37°+54°=91°。把进上来的1°加进去，得91°+1°13′=92°13′。
(2)被减数没有分，先向度借1作60，把90°写成89°60′；再相减，89°60′-27°36′=62°24′。
【方法小结】度分秒的加减只有一条规矩：同名单位对齐着算，满60进位、不够减借1作60。写竖式时把度、分各自对齐，出错率会明显下降。
题型5　变式：单位换算、大小比较、混合运算与等分
变式把度分秒的四则运算铺开：先练单向换算，再练把两个不同写法的角化到同一单位去比较，最后练带借位的减法与平角的等分。
变式1　0.35°=____′；132″=____′____″。
变式2　在25.4°、25°14′、25°44′、25.7°这四个角中，最大的一个是（　　）。
A．25.4°　　B．25°14′　　C．25°44′　　D．25.7°
变式3　(1)把一个86°40′的角平均分成5份，每份是多少度多少分？(2)把其中的一份扩大到原来的4倍，所得的角是多少度多少分？
变式4　(1)把一个平角8等分，每份是多少度？用度、分表示。(2)要使每份是15°，应把这个平角等分成多少份？
【题型6】角的比较、和差与角平分线
角的和差与线段的和差是一个套路：在图上把已知的角标出来，再用和差把要求的角拼出来；有平分线就先把被平分的角减半。
例1　如图，点O是直线AB上一点，∠AOC=62°34′。求∠BOC的度数。（教材例题改编）
【分析】点O在直线AB上，所以∠AOB是平角，∠AOC与∠BOC合起来正好是这个平角，于是∠BOC等于180°减去∠AOC。
【解答】因为点O是直线AB上一点，所以∠AOB是平角，∠AOB=180°。
由∠AOB=∠AOC+∠BOC，得∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-62°34′。
被减数没有分，先从度里借1°化成60′，把180°写成179°60′，于是∠BOC=179°60′-62°34′=117°26′。
答：∠BOC的度数是117°26′。
【方法小结】看到“点在直线上”就要立刻想到平角180°；减带分的角时先把整度数借1作60写成度、分的形式，再对齐相减。
例2　如图，∠AOB=80°，射线OC是∠AOB的平分线，射线OD在∠BOC的内部，∠BOD=15°。求∠COD与∠AOD的度数。
【分析】平分线先用：OC把∠AOB分成相等的两个角，所以∠BOC是∠AOB的一半。再看∠COD，它等于∠BOC减去∠BOD；∠AOD则等于∠AOB减去∠BOD。
【解答】因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB=80°，所以∠BOC=80°÷2=40°。
因为OD在∠BOC的内部，所以∠COD=∠BOC-∠BOD=40°-15°=25°。
又因为∠AOD=∠AOB-∠BOD=80°-15°=65°。
答：∠COD=25°，∠AOD=65°。
【方法小结】先把平分线带来的“一半”算出来标在图上，再一个一个作和差；每写一步都在图上核一眼这两个角是不是真的相邻，这样不会拼错。
题型6　变式：由平分线求一半、位置不定的两种情形、差与和列方程、两条平分线
变式把角平分线用到底：正着用求一半，倒着用求整个角；射线的位置没被图形固定时，照样要分成角内、角外两种情形。
变式1　已知∠AOB=76°，射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=____°。
变式2　已知∠AOB=58°，∠BOC=22°，那么∠AOC的度数是（　　）。
A．36°　　B．80°　　C．22°或58°　　D．36°或80°
变式3　如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOB=124°，且∠AOC比∠BOC大26°。求∠BOC的度数。
变式4　已知∠AOB=90°，∠BOC=36°，射线OM平分∠AOB，射线ON平分∠BOC。求∠MON的度数。
【题型7】余角与补角
互余是两角和为90°，互补是两角和为180°，都只讲数量不讲位置。求余角、补角就是用90°或180°去减；带倍数关系的题设未知数列方程最稳。
例1　已知一个角是34°52′，求它的余角与补角的度数。
【分析】余角用90°去减，补角用180°去减。两次都要借1°作60′，因为被减数都没有分。
【解答】把90°写成89°60′，则这个角的余角是89°60′-34°52′=55°8′。
把180°写成179°60′，则这个角的补角是179°60′-34°52′=145°8′。
答：它的余角是55°8′，补角是145°8′。
【方法小结】一个角的补角总比它的余角大90°，算完用这一条核一次：145°8′-55°8′=90°，相符说明两个结果都没错。
例2　已知一个角的补角比它的余角的3倍大10°，求这个角的度数。
【分析】设这个角为x°，它的补角是(180-x)°，余角是(90-x)°。把“补角比余角的3倍大10°”翻译成等式，就得到一个一元一次方程。
【解答】设这个角是x°，由题意得180-x=3(90-x)+10。
去括号，得180-x=270-3x+10；移项（移过去的项变号），得-x+3x=270+10-180；合并同类项，得2x=100。
把系数化为1，得x=50。
检验：这个角是50°时，补角是130°，余角是40°，而3×40+10=130，与题意相符。答：这个角的度数是50°。
【方法小结】把“余角”“补角”先用含未知数的式子写出来，再照着题目的那句话逐字翻译成等式，是这类题最稳的做法。
题型7　变式：由互余求另一角、说法辨析、同角的余角相等、互余与互补接力
变式覆盖余角补角的四种常见问法：直接求、判断说法、用“同角的余角相等”作推理、由互余接着互补求第三个角。
变式1　若∠1与∠2互余，且∠1=27°，则∠2=____°。
变式2　下面四句关于余角与补角的话中，正确的一句是（　　）。
A．锐角的补角是钝角
B．一个角的余角小于这个角
C．互补的两个角中必有一个是钝角
D．两个锐角的和是直角
变式3　如图，从点O引出四条射线OA、OB、OC、OD，其中∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=145°。求∠BOC的度数，并写出图中与∠AOC互余的一个角。
变式4　已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠1=38°。求∠3的度数。
【题型8】用角表示方向（北偏东、南偏西）
表示方向的角以正北或者正南为基准：先说偏离的是北还是南，再说偏向东还是西，最后写偏离的度数。画图与算度数都离不开这条十字线。
例1　如图，点O是观测点，图中的虚线表示东、南、西、北四个方向。请以点O为顶点画出表示下列方向的射线：(1)射线OM的方向是北偏东55°；(2)射线ON的方向是南偏西30°。（教材例题改编）
【分析】画表示方向的射线分三步：先认准基准方向（北或南），再定偏向（东或西），最后用量角器量出题目给的度数。
【解答】(1)以点O为顶点，以表示正北方向的射线为角的一边，在北与东之间画55°的角，另一边就是射线OM，它的方向是北偏东55°。
(2)以点O为顶点，以表示正南方向的射线为角的一边，在南与西之间画30°的角，另一边就是射线ON，它的方向是南偏西30°。
【方法小结】“北偏东55°”这句话里，“北”是量角的起边，“东”指出往哪一侧偏，“55°”是量角器上要量的度数，三样缺一不可。
例2　如图，从港口O向外观测，灯塔A在O的北偏东47°方向上，小岛B在O的南偏东28°方向上。求∠AOB的度数。
【分析】射线OA与正北方向成47°，射线OB与正南方向成28°，而正北方向与正南方向合起来是一个平角。用平角减去这两个角，剩下的就是∠AOB。
【解答】设表示正北方向的射线为ON，表示正南方向的射线为OS，则∠NOS是平角，∠NOS=180°。
由题意得∠NOA=47°，∠SOB=28°。
所以∠AOB=∠NOS-∠NOA-∠SOB=180°-47°-28°=105°。
答：∠AOB的度数是105°。
【方法小结】一个方向以北为基准、另一个以南为基准时，用平角180°减去两个偏离角；两个方向都以北（或都以南）为基准时，则直接把两个偏离角相加或者相减。
题型8　变式：读方向、同基准求夹角、航线转向与三条射线
四道变式练三种夹角的算法：两个方向同以北为基准时相加或相减，一北一南时用平角去减，航行转向时先把回头的方向说清楚再算。
变式1　一艘船从港口O出发，沿着与正北方向成25°角、且偏向西的方向航行。这个方向用方位的说法应表示为____。
变式2　如图，射线OA的方向是北偏东43°，射线OB的方向是北偏西21°，则∠AOB的度数是（　　）。
A．22°　　B．64°　　C．116°　　D．134°
变式3　一艘货轮从A地出发，沿北偏东68°方向航行到B地，接着从B地沿南偏东40°方向航行到C地。求∠ABC的度数。
变式4　如图，货轮停在O处，灯塔P在O的北偏东42°方向上，浮标Q在O的北偏西18°方向上，礁石R在O的南偏东42°方向上。求∠POQ与∠POR的度数。
【题型9】钟面上的角
钟面被12个大格平分，每个大格所对的角可以由周角算出来。算夹角时别忘了时针也在走：先把分针与时针各自从12的位置转过的角算清楚，再作差。
例1　钟面上一共有12个大格。(1)每个大格所对的角是多少度？(2)3时整与4时整这两个时刻，两根指针之间的夹角各是多少度？
【分析】钟面是一个周角被12个大格平分，先算出一个大格的度数，再数整点时两针之间隔着几个大格，用大格数乘每格的度数。
【解答】(1)钟面绕中心一周是周角360°，被12个大格平分，所以每个大格所对的角是360°÷12=30°。
(2)3时整时，分针指着12，时针指着3，中间隔着3个大格，夹角是30°×3=90°。
4时整时，分针指着12，时针指着4，中间隔着4个大格，夹角是30°×4=120°。
【方法小结】整点时两针的夹角只与小时数有关：夹角等于30°乘小时数；当算出的结果超过180°时，要用360°减去它，因为两条射线所成的角不超过平角。
例2　小明放学到家时，客厅里的挂钟显示3时40分。此刻两根指针之间夹着多大的角？
【分析】分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。分别算出两针从12的位置起各自转过的角度，再作差。注意时针在3与4之间，不能按3时整来算。
【解答】分针从12起转过了40 min，转过的角是6°×40=240°。
时针从12起先走过3个大格，是30°×3=90°，又在这40 min里多转了0.5°×40=20°，所以时针转过的角是90°+20°=110°。
两针之间的夹角是240°-110°=130°，没有超过180°，就是所求的角。
答：此刻两根指针之间夹着130°的角。
【方法小结】统一从12的位置量起，把两针各自转过的角度算出来再作差，是最不容易出错的做法；差超过180°时用360°减一次。
题型9　变式：两针的转速、整点与非整点的夹角、一段时间里转过的角
变式围绕两个速度展开：先由周角与钟面的格数把分针、时针每分钟转过的角各自算出来，会用这两个速度，任何时刻的夹角与任何一段时间转过的角都能算。
变式1　钟面上相邻两个小格之间所对的角是____°，时针走过一个大格需要____min。
变式2　6时20分这一刻，挂钟上时针与分针的夹角是（　　）。
A．60°　　B．65°　　C．70°　　D．80°
变式3　下午2时15分这一时刻，钟面上的时针与分针之间夹着多大的角？
变式4　从4时整到4时20分这段时间里，分针转过了多少度？4时20分时两根指针的夹角是多少度？
【题型10】尺规作图与画角
尺规作图只许用无刻度的直尺与圆规：直尺画直线、圆规截取长度。画角则用量角器或者一副三角尺，写画法时把每一步用了什么工具说清楚。
例1　如图，已知线段a与线段b（a>b）。用尺规作一条线段，使它等于3a-b，并写出作法。（教材例题改编）
【分析】3a-b可以拆成“先接出三个a，再从末端截去一个b”。接的动作在延长线上做，截的动作在已经作出的线段上做。
【解答】第一步：用直尺画一条直线，在直线上用圆规截取线段PQ=a。
第二步：在线段PQ的延长线上用圆规接着截取QR=a，再在QR的延长线上截取RS=a，这时PS=3a。
第三步：在线段PS上，从点S起用圆规截取线段ST=b，则线段PT就是所求的线段，PT=PS-ST=3a-b。
【方法小结】作和在延长线上接，作差在已经作出的线段上截；每一步都只用直尺画线、用圆规量长度，不许用刻度尺去读数。
例2　只用一副三角尺（一块的三个角是30°、60°、90°，另一块的三个角是45°、45°、90°），画出下面两个角，并写出画法：(1)15°的角；(2)105°的角。
【分析】一副三角尺上现成的角只有30°、45°、60°、90°四种。把其中两个角的顶点与一条边叠在一起，就能作出它们的和或者差。
【解答】(1)把两块三角尺的顶点重合，让45°的角与30°的角有一条公共边，并且30°的角落在45°的角的内部，那么剩下的部分就是45°-30°=15°的角。
(2)把两块三角尺的顶点重合，让45°的角与60°的角有一条公共边，并且分别落在这条公共边的两侧，那么这两个角合起来就是45°+60°=105°的角。
【方法小结】用一副三角尺能画出的角都是30°、45°、60°、90°的和与差，因此都是15°的倍数；画之前先把要画的度数拆成这四个数的和差，再动手摆。
题型10　变式：作和的画法、工具的限定、用量角器画角、截取后求线段
变式把作图的两头都练到：一头是动手作出线段与角，另一头是由作图的过程反过来算出线段的长。
变式1　如图给出了线段m与线段n。只许使用无刻度的直尺和圆规，画一条线段，使这条线段的长等于m+2n，并把每一步的画法写清楚。
变式2　下面四种作法中，属于尺规作图的是（　　）。
A．用刻度尺量出3 cm，再画出一条长3 cm的线段
B．用圆规在一条直线上截取一段，使它等于已知线段
C．用量角器量出60°，再画出这个角
D．用三角尺的一条直角边画出一个直角
变式3　用量角器画∠AOB=126°，再在∠AOB的内部画射线OC，使∠AOC=48°，然后求∠BOC的度数。
变式4　在一条直线上先用圆规截取PQ=5 cm，再从点Q起沿同一方向截取QR=2 cm，然后找出线段PR的中点N。求线段QN的长。
　易错专练
本章的失分集中在六处：记法写反、位置不定时漏解、度分秒按十进制算、加减不进位借位、把互余互补当成位置关系、钟面上忘了时针也在走。下面七题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。
易错1　已知点M与点N是直线上的两个不同的点。判断射线MN与射线NM是不是同一条射线，并写出判断的依据。
易错2　已知点P在直线EF上，EF=9 cm，PF=4 cm。求线段EP的长。
易错3　比较63°24′与63.24°的大小，并写出比较的过程。
易错4　求72°46′与35°38′的和。
易错5　已知∠1=64°，∠2=26°，∠3=64°。判断∠1与∠2是不是互余，并写出判断的依据。
易错6　一列火车在5时30分准点发车。发车的这一刻，车站大钟上时针与分针之间的夹角是多少度？
易错7　如图是某同学画的一张平面图形，他说这张图能折成一个正方体。判断他的说法是否正确，并写出判断的过程。
　课后作业（一）基础巩固
下面12题是本章最低限度的必会内容：前8题为单项选择，把合乎题意的那个字母填进括号里；后4题只要求写出最后的结果。考查的范围依次是图形的分类、两个基本事实、度分秒的换算与线段、角的基本计算。
1．下面四个图形中，属于立体图形的是（　　）。
A．圆柱　　B．三角形　　C．线段　　D．圆
2．“面动成体”这一结论可以用来解释的一种现象是（　　）。
A．天空中划过的流星留下一道光线
B．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周形成圆柱
C．雨刷扫过汽车的挡风玻璃
D．笔尖在纸上移动画出一条曲线
3．把一根木条用一枚钉子钉在木板上，木条还能绕着钉子转动；再钉上一枚钉子，木条就固定住了。后一件事说明的是（　　）。
A．经过一点可以画无数条直线
B．线段有两个端点
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
4．把一段弯曲的公路改直以后，从甲地到乙地的路程变短了。这样做的数学道理是（　　）。
A．经过两点只能画一条直线
B．直线可以向两方无限延伸
C．两点之间的距离是一条线段
D．两点之间，线段最短
5．3°15′等于（　　）。
A．195′　　B．315′　　C．3.15°　　D．180′
6．39°的角的余角是（　　）。
A．39°　　B．51°　　C．141°　　D．61°
7．点C在线段AB上。在给出的四个条件里，由它无法判定点C是线段AB的中点的一个是（　　）。
A．AC=CB
B．AB=2AC
C．AC+CB=AB
D．CB=()AB
8．上午9时整，挂钟上两根指针之间夹着的角是（　　）。
A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90°
9．一个棱柱共有7个面，它是____棱柱，共有____条棱。
10．已知线段AB=6 cm，延长AB到点C，使BC=2AB，则AC=____cm。
11．已知线段MN=8 cm，点P是MN的中点，点Q在线段PN上，且QN=1.5 cm，则PQ=____cm。
12．一个角的度数是17°26′，它的3倍是____°____′。
　课后作业（二）能力进阶
第13～16题只写结果；第17～20题要写出必要的计算过程或者推理过程。这一组把展开图、角的和差、方向的表示与度分秒运算合在一起用。
13．把下图剪下来折一折，可以围成一个正方体，六个面上依次写着1、2、3、4、5、6。围好以后，与写着1的那一面相邻的四个面上的数字之和是____。
14．若∠α=72°，则∠α的补角与∠α的余角的差是____°。
15．把∠AOB沿着从顶点O出发的一条射线对折，两边正好重合；再在其中的一半里画一条射线，把这一半分成24°与32°两个角。则∠AOB=____°。
16．一艘轮船从港口O出发沿北偏东64°方向航行，另一艘轮船同时从港口O出发沿南偏东31°方向航行，两艘船的航行方向所成的角是____°。
17．小明用量角器量得∠1=43°17′，∠2=29°55′。(1)求∠1与∠2的和；(2)若∠3与∠1的和恰好是108°，求∠3的度数。
18．如图，线段AB的长是16 cm，点C与点D都落在这条线段上，其中AC=6 cm，而点D把线段CB分成了相等的两段。求线段AD的长。
19．射线OC在∠AOB的内部，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC。写出∠MON与∠AOB之间的数量关系，并写出推导的过程。
20．某个角的余角，比这个角的补角的还要大2°。这个角是多少度？
　课后作业（三）拓展延伸
第21～24题在前面的基础上再走一步：由具体的个数归纳出含字母的式子，由具体的长度归纳出用字母表示的结论，以及把两针的速度用到一段时间上去。
21．一块平整的场地上竖着n根木桩，任意三根木桩都不在同一条直线上。现在要在每两根木桩之间拉一条直的绳子。(1)当n=4时，一共要拉多少条绳子？(2)用含n的式子表示要拉的绳子的条数。
22．如图，点C在线段AB上，点M与点N分别是线段AC与线段BC的中点。(1)当AC=8 cm、BC=6 cm时，求线段MN的长；(2)当AB=a时，求线段MN的长。
23．如图，点O是直线AB上一点，射线OC在直线AB的上方，∠AOC=3∠BOC，射线OD平分∠AOC。求∠BOD的度数。
24．3时整这一刻，挂钟上的两根指针恰好成90°的角。从3时整起，再经过多少分钟，两根指针第一次成180°的角？（结果先写成分数，再化成精确到1 min的近似值）

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