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参考答案
　题型1　变式：按序号挑方程、由指数求字母、由系数为0求字母
变式1　【答案】②⑤
变式2　【答案】B
变式3　【答案】a的值是-3，这个方程的解是x=
　题型2　变式：由解求字母、从四个选项里挑出解、同解方程与看错符号
变式1　【答案】1
变式2　【答案】C
变式3　【答案】k的值是0
变式4　【答案】a的值是3，原方程的正确解是x=3
　题型3　变式：写出变形后的等式、辨认合法变形、用性质解带分数系数的方程
变式1　【答案】5x-3=5y-3
变式2　【答案】B
变式3　【答案】x=-18
　题型4　变式：年龄和、工程队的进度、两种商品的销售额
变式1　【答案】x+(3x-5)=51
变式2　【答案】A
变式3　【答案】列得方程6x+9(60-x)=450；方程的左边表示两种笔记本销售额的和，右边表示这一天的总销售额
　题型5　变式：一步合并、辨认合并结果、三项同类项与按比例分配
变式1　【答案】3
变式2　【答案】D
变式3　【答案】(1)x=3；(2)y=-16
变式4　【答案】最长边的长是21cm
　题型6　变式：一步移项、辨认移项结果、带小数与分数系数的方程、三个连续整数
变式1　【答案】4
变式2　【答案】C
变式3　【答案】(1)x=10；(2)y=-18
变式4　【答案】这三个整数是-9，-8，-7
　题型7　变式：一次去括号、由解倒查错处、两边都有括号、用铁丝围长方形
变式1　【答案】3
变式2　【答案】A
变式3　【答案】(1)x=3；(2)y=2
变式4　【答案】这个长方形的宽是12cm，长是16cm
　题型8　变式：只有单项分母、辨认去分母的结果、两次去分母、一个数的一半与三分之一
变式1　【答案】12
变式2　【答案】B
变式3　【答案】(1)x=5；(2)x=2
变式4　【答案】这个数是30
　题型9　变式：服装厂的配套、两人合打材料、按班分书、分两段的装订工作
变式1　【答案】5x=6(44-x)
变式2　【答案】D
变式3　【答案】这批图书共有270本，学校共有10个班级
变式4　【答案】后一段时间是12h
　题型10　变式：由售价倒求标价、两种套餐的分界点、球赛积分表、阶梯水价
变式1　【答案】120
变式2　【答案】C
变式3　【答案】星光队胜了6场
变式4　【答案】这个月他家用水25m
　易错专练
易错1　【答案】x=-1
易错2　【答案】y=-5
易错3　【答案】x=11
易错4　【答案】x=4
易错5　【答案】x=-9
易错6　【答案】x=0
易错7　【答案】算得的题数不是整数，所给的情况不可能出现
　课后作业（一）基础巩固
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】3
10．【答案】-3；2
11．【答案】3x-5=11
12．【答案】150
　课后作业（二）能力进阶
13．【答案】5
14．【答案】6
15．【答案】3x+10=31
16．【答案】4
17．【答案】(1)x=-6；(2)x=4
18．【答案】(1)x=-7；(2)x=1
19．【答案】每件的标价是225元
20．【答案】计划用7天完成，这批零件共有300个
　课后作业（三）拓展延伸
21．【答案】a的值是5，方程ay+3=13的解是y=2
22．【答案】(1)一年内锻炼20次时两种方式的花费相同；(2)锻炼30次时选择方式一更省钱
23．【答案】实验进行22.5min时温度是37℃
24．【答案】A，B两地之间的路程是20km第五章 一元一次方程 题型讲义
2026-2027学年七年级上册数学人教版
人教版（2024年版）七年级数学上册　第五章 一元一次方程　5.1 方程　5.2 解一元一次方程　5.3 实际问题与一元一次方程
班级：________　姓名：________　日期：________
【题型1】方程与一元一次方程的识别
判定分两层：先看是不是方程，再看是不是一元一次方程；后一层要同时守住“一个未知数”“含未知数的式子是整式”“次数是1”三条。
例1　在下面六个式子中，指出哪些是方程，哪些是一元一次方程：①9-4=5；②6x+7；③5y-2=y+10；④()-m=0；⑤3a+2b=12；⑥=x。
【分析】方程要同时满足“有等号”“含未知数”两条；一元一次方程还要再满足“只含一个未知数”“含未知数的式子是整式”“未知数的次数是1”三条。
【解答】①只有已知数，没有未知数，不是方程；②含未知数却没有等号，也不是方程。
③④⑤⑥都是含有未知数的等式，所以这四个式子都是方程。
④中未知数m的次数是2，不满足“次数是1”；⑤中出现了a与b两个未知数，不满足“只含一个未知数”，它们都不是一元一次方程。
③与⑥都只含一个未知数，含未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，所以一元一次方程有③⑥。⑥的分母3是数字，含x的式子仍然是整式。
【方法小结】判定按“先方程、后一元一次”两步走；第二步的三条要逐条核对，分母里有没有未知数是最容易漏看的一条。
例2　已知关于x的方程(k-2)+5=0是一元一次方程，其中指数n=|k-1|。求k的值。
【分析】“一元一次”要求未知数x的次数是1，也就是n=1，即|k-1|=1；同时含未知数的项的系数k-2不能等于0，否则方程里就没有未知数了。两个条件要合起来用。
【解答】由未知数的次数是1，得n=1，即|k-1|=1，所以k-1=1或k-1=-1，解得k=2或k=0。
又因为含未知数的项的系数k-2不等于0，所以k不等于2。
把k=2舍去，得k=0。这时方程是-2x+5=0，它确实是一元一次方程。
【方法小结】这类题必须同时用“次数是1”与“系数不为0”两个条件，只用前一条就会把不合题意的k=2留下来。
题型1　变式：按序号挑方程、由指数求字母、由系数为0求字母
把一元一次方程从一堆式子里挑出来，再从“指数等于1”与“系数等于0”两个方向倒过来求字母——三题分别对应判定的三条要求。
变式1　把下面五个式子中的一元一次方程全部找出来，按序号写在横线上：____。①8+7=15；②3x-1=2x+4；③4s-9；④()=6；⑤=y-2。
变式2　若3+2=0是关于x的一元一次方程，那么m等于（　　）。
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
变式3　当a取哪个值时，方程(a+3)+5x-7=0是关于x的一元一次方程？求出a，并解出这时的方程。
【题型2】方程的解与检验
检验一个数是不是方程的解，把左边与右边分开算完再比较；反过来由解求方程里的字母，用的仍是“代入后两边相等”这一句。
例1　判断x=3与x=-2是不是方程4x-5=2x+1的解。
【分析】把每个数分别代入方程的左边与右边，各自算出结果再作比较：两边的值相等就是解，不相等就不是解。
【解答】当x=3时，左边=4×3-5=7，右边=2×3+1=7，方程左、右两边的值相等，所以x=3是这个方程的解。
当x=-2时，左边=4×(-2)-5=-13，右边=2×(-2)+1=-3，方程左、右两边的值不相等，所以x=-2不是这个方程的解。
【方法小结】检验时左、右两边各算各的，算完再比较；代入负数必须带上括号，否则符号会算错。
例2　已知x=-3是关于x的方程2x+a=7-x的解，求a的值。
【分析】“x=-3是这个方程的解”的意思是：把x=-3代进去以后，方程左、右两边的值相等。代入以后原方程就变成了一个关于a的方程。
【解答】把x=-3代入原方程，得2×(-3)+a=7-(-3)。
即-6+a=10。移项（移过去的项变号），得a=10+6，所以a=16。
检验：把a=16与x=-3同时代入原方程，左边=-6+16=10，右边=7+3=10，两边的值相等。
【方法小结】已知解求字母，第一步永远是代入；代入后原方程就变成以那个字母为未知数的一元一次方程，再按解方程的步骤做下去。
题型2　变式：由解求字母、从四个选项里挑出解、同解方程与看错符号
四道变式把“解”这个字用足：由解求字母、由方程求解、让两个方程共用一个解，最后由一个错的解倒推出被看错的那个符号。
变式1　若x=4是关于x的方程3x-2m=10的解，则m=____。
变式2　方程5x-1=2x+8的解是（　　）。
A．x=1　　B．x=2　　C．x=3　　D．x=9
变式3　已知关于x的方程2x-k=6与方程3x+1=10的解相同，求k的值。
变式4　小敏在解关于x的方程2x+a=9时，误把+a看成了-a，求得的解是x=6。求a的值与原方程的正确解。
【题型3】等式的性质及其应用
等式的性质管的是“两边同时做同一件事”；用它解方程时，每一步都要说清楚两边同时加了什么、乘了什么。
例1　下面两个变形各用了等式的哪一条性质？把横线上的内容补充完整，并说明理由：(1)由4x+9=9-2x两边同时减去9，得4x=____；(2)由()x=3两边同时乘5，得x=____。
【分析】两小题都已经把“两边同时做了什么”写在题目里，只要把这件事在两边各做一遍，就知道横线上该填什么；加、减用性质1，乘、除用性质2。
【解答】(1)左边4x+9减去9剩下4x，右边9-2x减去9剩下-2x，所以横线上填-2x；两边同时减去同一个数，用的是等式的性质1。
(2)左边()x乘5恰好得x，右边3乘5得15，所以横线上填15；两边同时乘同一个数，用的是等式的性质2。
【方法小结】看清题目让两边同时做的是哪一件事，把它在两边各做一遍，再按“加减—性质1、乘除—性质2”报出依据。
例2　解下列方程，每一步都在旁边写出所用的依据，并把求得的结果代回原方程检验：(1)x-8=15；(2)-6x=42。
【分析】解方程就是把方程逐步化成x=m的形式。(1)左边多了一个-8，两边同时加8，依据是等式的性质1；(2)左边x的系数是-6，两边同时除以-6，依据是等式的性质2。
【解答】(1)方程两边加8（等式的性质1），得x-8+8=15+8，于是x=23。检验：把x=23代入原方程，左边=23-8=15，右边=15，两边的值相等，所以x=23是原方程的解。
(2)方程两边除以-6（等式的性质2），得x=42÷(-6)=-7。检验：把x=-7代入原方程，左边=-6×(-7)=42，右边=42，两边的值相等，所以x=-7是原方程的解。
【方法小结】两条性质各管一类：加减用性质1，乘除用性质2。性质2里“除数不为0”这一条，在解方程里对应的正是“未知数的系数不为0”。
题型3　变式：写出变形后的等式、辨认合法变形、用性质解带分数系数的方程
三道变式分别从“做一次变形”“判一次变形”“连着做两次变形”三个角度练等式的性质。
变式1　在等式5x=5y的两边同时加上-3，根据等式的性质1，得到的等式是____。
变式2　由a=b出发，用等式的性质可以得到的等式是（　　）。
A．=
B．5a=5b
C．a-3=b+3
D．a+c=b-c
变式3　利用等式的性质解方程-()x-4=2，并把求得的值代回原方程检验。
【题型4】由实际问题列方程
列方程只做两件事：设出未知数，找准相等关系。找关系时先读出题目里哪两个量其实是同一个量，或者哪几部分合起来是总量。
例1　根据下列问题，设未知数并列出方程（不必求解）：(1)某数的5倍与12的和等于这个数的8倍；(2)一批零件共84个，师傅做的个数比徒弟做的个数的2倍少6个，求徒弟做了多少个。
【分析】(1)的相等关系写在“等于”两个字上；(2)的相等关系是“两人做的个数之和等于总数”。
【解答】(1)设某数为x。某数的5倍是5x，它与12的和是5x+12；这个数的8倍是8x。根据“和等于8倍”，列得方程5x+12=8x。
(2)设徒弟做了x个，则师傅做了(2x-6)个。根据“两人做的个数之和是84个”，列得方程x+(2x-6)=84。
【方法小结】列方程的关键在相等关系，不在会不会解。先用一句话把相等关系说出来，再把这句话里的每个量换成含未知数的式子。
例2　甲、乙两个仓库共存粮120t。从甲仓库运出15t后，甲仓库剩下的存粮恰好是乙仓库存粮的2倍。设乙仓库存粮x t，列出方程（不必求解）。
【分析】两个仓库的存粮之和是120t，设乙仓库存粮x t，甲仓库就是(120-x)t。运出15t后甲仓库剩下(120-x-15)t，乙仓库没有变动，仍是x t。
【解答】设乙仓库存粮x t，则甲仓库存粮(120-x)t，甲仓库运出15t后剩下(120-x-15)t。
根据“甲仓库剩下的存粮是乙仓库存粮的2倍”，列得方程120-x-15=2x。
【方法小结】两个量的和已知时，设其中一个为x，另一个就用“和减去x”来表示，这样全题只用一个未知数。变化发生在哪个量上，就只改哪个量的式子。
题型4　变式：年龄和、工程队的进度、两种商品的销售额
三个场景各对应一条相等关系：年龄和是总量，铺设进度是“每天的量乘天数”，销售额是两部分钱数的和。
变式1　小明今年x岁，爸爸的年龄比小明年龄的3倍少5岁。两人今年的年龄和是51岁，据此可列出方程____。
变式2　某工程队原计划每天铺设管道x m，实际每天比原计划多铺设30m，8天一共铺设管道2000m。根据题意所列的方程是（　　）。
A．8(x+30)=2000
B．8x+30=2000
C．8(x-30)=2000
D．8x-30=2000
变式3　某文具店一天卖出甲、乙两种笔记本共60本，甲种每本6元，乙种每本9元，这一天两种笔记本的销售额共450元。设甲种笔记本卖出x本，列出方程，并说出方程两边各表示什么量。
【题型5】合并同类项与系数化为1
方程两边先各自合并，把方程收成ax=b的样子，再除以a——这是解方程最短的一条路。
例1　解下列方程：(1)5x-3x=-8；(2) ()x+()x=10。
【分析】两小题的左边都只有同类项，先合并成一项，再把系数化为1。(2)的系数是两个分数的和，先通分相加。
【解答】(1)把同类项合并，得2x=-8。系数化为1以后，得x=-4。
(2)因为+=，合并同类项得()x=10。系数化为1（两边乘），得x=12。
【方法小结】合并同类项时只把系数相加，未知数与它的指数照抄；系数是分数时，乘它的倒数比除以它更省力。
例2　学校图书馆新购进科普、文学、艺术三类图书共288本，这三类图书的本数之比是3：4：5。三类图书各购进多少本？
【分析】三类图书的本数之比是3：4：5，可以设每一份是x本，三类分别是3x本、4x本、5x本。相等关系是“各部分量的和等于总量”。如图，一条线段被分成3份、4份、5份三段，全长表示288本。
【解答】设每一份是x本，则科普类有3x本，文学类有4x本，艺术类有5x本。
根据“三类图书共288本”，列得方程3x+4x+5x=288。
合并同类项以后，得12x=288。把未知数的系数化为1，得x=24。
所以3x=72，4x=96，5x=120。
答：科普类购进72本，文学类购进96本，艺术类购进120本。
【方法小结】比例分配的问题设“每一份”为未知数最方便，有几类量就写成几个倍数；求出x以后别忘了回头算出每一类的具体数量。
题型5　变式：一步合并、辨认合并结果、三项同类项与按比例分配
从一次合并到三项一起合并，再到把比例分配的实际问题化成一个只需合并的方程——本组四题的难度按这个次序上升。
变式1　方程7y-3y=12的解是y=____。
变式2　把方程4x-9x=-15的左边合并同类项，方程变成（　　）。
A．5x=-15
B．13x=-15
C．-13x=-15
D．-5x=-15
变式3　解下列方程：(1)3x-7x+2x=-6；(2) ()y-()y-y=8。
变式4　一个三角形三条边的长的比是3：5：7，它的周长是45cm。求这个三角形最长边的长。
【题型6】移项解方程
移项只有一个目的：把含未知数的项集中到一边、把常数项集中到另一边。跨过等号就必须变号。
例1　解下列方程：(1)6x-7=4x+3；(2)5-2y=3y+20。
【分析】两边都有含未知数的项与常数项，先移项把它们分开，再合并同类项，最后系数化为1。
【解答】(1)移项，得6x-4x=3+7。合并同类项，得2x=10。最后把系数化为1，得x=5。
(2)移项（移过去的项变号），得-2y-3y=20-5。把同类项合并，得-5y=15。系数化为1以后，得y=-3。
【方法小结】移项时只给被移动的那一项变号，留在原处的项不动。习惯上把含未知数的项移到左边、常数项移到右边，写起来最顺手。
例2　一个水池里有水320L，从某时刻起每小时流出24L；另一个水池里有水80L，从同一时刻起每小时注入16L。经过多长时间两个水池里的水一样多？
【分析】设经过x h两池的水一样多。第一个水池的水在减少，x h后是(320-24x)L；第二个水池的水在增加，x h后是(80+16x)L。相等关系写在“一样多”这三个字上。
【解答】设经过x h两个水池里的水一样多。
根据两池的水量相等，列得方程320-24x=80+16x。
把含未知数的项移到左边，得-24x-16x=80-320。合并同类项以后，得-40x=-240。把未知数的系数化为1，得x=6。
检验：6h后第一个水池有水320-24×6=176 (L)，第二个水池有水80+16×6=176 (L)，两池的水确实一样多。
答：经过6h两个水池里的水一样多。
【方法小结】一个量在减少、一个量在增加时，减少的写成“原有量-每小时减少量×时间”，增加的写成“原有量+每小时增加量×时间”，再让两个式子相等。
题型6　变式：一步移项、辨认移项结果、带小数与分数系数的方程、三个连续整数
从最短的一次移项，到系数是小数与分数的方程，再到用连续整数列方程——四题把“移项变号”这一条练到底。
变式1　当x=____时，等式8-3x=-x成立。
变式2　把方程7x-5=3x+11移项，所得的结果正确的是（　　）。
A．7x-3x=11-5
B．7x+3x=11+5
C．7x-3x=11+5
D．7x-3x=-11+5
变式3　解下列方程：(1)2.4x-3=1.4x+7；(2) ()y+5=()y-4。
变式4　三个连续整数的和是-24，求这三个整数。
【题型7】去括号解方程
有括号先去括号；括号前是负号或带着系数时，括号里的每一项都要照顾到，一项也不能漏。
例1　解下列方程：(1)4x-3(2-x)=8；(2)2(y+3)-5(1-y)=8。
【分析】两小题的括号前都带着符号或系数：(1)的括号前是-3，(2)的第二个括号前是-5。去括号时把括号外的数乘遍括号内的每一项。
【解答】(1)去括号，得4x-6+3x=8。两边分别移项，得4x+3x=8+6。合并同类项，得7x=14。最后把系数化为1，得x=2。
(2)去括号，得2y+6-5+5y=8。移项，得2y+5y=8-6+5。把同类项合并，得7y=7。系数化为1以后，得y=1。
【方法小结】括号前是负数时，去掉括号后括号内各项都要变号；去括号后先数一数项数，括号里原来有几项，去括号后就该有几项。
例2　解方程5x-2[3x-2(x-1)]=8。
【分析】含中括号的方程从最里面的小括号开始，一层一层往外去；每去掉一层就把能合并的同类项先合并，式子会越写越短。
【解答】先去小括号，得5x-2(3x-2x+2)=8。
把中括号内的同类项合并，得5x-2(x+2)=8。
去括号，得5x-2x-4=8。移项（移过去的项变号），得5x-2x=8+4。合并同类项以后，得3x=12。把未知数的系数化为1，得x=4。
【方法小结】由里向外逐层去括号是最稳的写法；每去完一层先合并一次，能把后面几步的计算量压下来。
题型7　变式：一次去括号、由解倒查错处、两边都有括号、用铁丝围长方形
括号在方程里出现的四种样子：只有一个括号、括号前带系数、两边各有括号、括号由实际问题带出来。
变式1　方程3(x-1)=2x的解是x=____。
变式2　方程2(x-3)=-4的解是（　　）。
A．x=1　　B．x=-1　　C．x=5　　D．x=-5
变式3　解下列方程：(1)3(2x-1)-2(x+2)=5；(2)7-2(3y-1)=3(1-y)。
变式4　用一根长56cm的铁丝围成一个长方形，使它的长比宽多4cm。求这个长方形的长与宽。
【题型8】去分母与解方程的一般步骤
分母都是数字时，两边同乘各分母的最小公倍数就能把分母去掉；乘的时候方程两边的每一项都要乘到，分子是多项式的要添上括号。
例1　解下列方程：(1) =；(2) -=1。
【分析】(1)的两个分母是2与3，最小公倍数是6；(2)的两个分母是3与6，最小公倍数也是6。两边同乘这个数就能去掉分母，分子是多项式时要添上括号。
【解答】(1)去分母（两边乘6），得3(x-1)=2(x+2)。去括号，得3x-3=2x+4。移项（移过去的项变号），得3x-2x=4+3。合并同类项以后，得x=7。
(2)去分母（两边乘6），得2(2x+1)-(5x-1)=6。去括号，得4x+2-5x+1=6。再移项，得4x-5x=6-2-1。再合并同类项，得-x=3。最后把系数化为1，得x=-3。
【方法小结】去分母时把原来的分子整个用括号括起来，第二步再去括号，符号就不会错；右边没有分母的项同样要乘最小公倍数。
例2　解方程x-=+1。
【分析】方程里有分母3与2，最小公倍数是6。左边的x与右边的1都没有分母，乘的时候同样不能漏。
【解答】去分母（两边乘6），得6x-2(x-2)=3(x+1)+6。
去括号，得6x-2x+4=3x+3+6。
把含未知数的项移到左边，得6x-2x-3x=3+6-4。两边分别合并同类项，得x=5。
检验：把x=5代入原方程，的值是1，所以左边=5-1=4；的值是3，所以右边=3+1=4。两边的值相等，所以x=5是原方程的解。
【方法小结】五个步骤按顺序走一遍：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。没有分母的项在去分母那一步最容易被漏乘，动笔前先在每一项上点一下。
题型8　变式：只有单项分母、辨认去分母的结果、两次去分母、一个数的一半与三分之一
去分母的四种常见样子：分母下面只有一个字母、两边都有分数、右边还带着整数项、由文字叙述列出带分母的方程。
变式1　方程-=1的解是x=____。
变式2　解方程-=1时，方程两边都乘6去分母，正确的结果是（　　）。
A．3(x+1)-2(2x-1)=1
B．3(x+1)-2(2x-1)=6
C．2(x+1)-3(2x-1)=6
D．3(x+1)-2(2x-1)=5
变式3　解下列方程：(1) =；(2) =2-。
变式4　一个数的一半与它的三分之一的和，比这个数少5。求这个数。
【题型9】实际问题（一）：配套与工程
配套问题抓住“配套比”，工程问题把总工作量看作1、用“工作量=人均效率×人数×时间”。两类题都先把每一部分写成含未知数的式子，再让它们满足题目给的那条关系。
例1　（教材例题改编）现有18m 木材，每立方米木材可以制作桌面20个或者桌腿400条。1个桌面要配4条桌腿，为使制作的桌面与桌腿恰好配套，应用多少立方米木材制作桌面？
【分析】设用x m 木材制作桌面，那么制作桌腿的木材是(18-x)m 。桌面有20x个，桌腿有400(18-x)条。恰好配套是说桌腿的条数正好是桌面个数的4倍。
【解答】设用x m 木材制作桌面，则用(18-x)m 木材制作桌腿。
制作的桌面有20x个，桌腿有400(18-x)条。
根据“桌腿的条数是桌面个数的4倍”，列得方程400(18-x)=4×20x。
去括号，得7200-400x=80x。移项（移过去的项变号），得-400x-80x=-7200。再合并同类项，得-480x=-7200。把系数化为1，得x=15。
检验：这时桌面有20×15=300(个)，桌腿有400×(18-15)=1200(条)，1200恰好是300的4倍，配套。
答：应用15m 木材制作桌面。
【方法小结】配套问题先写出两种部件各有多少，再把“配套比”写成倍数关系。用料的立方米数可以是小数，但部件的个数必须是整数，算完要回头核一次。
例2　修一条绿道，甲工程队独自施工需要20天完工，乙工程队独自施工需要30天完工。现在甲队先施工5天，余下的部分改由两队一起施工。两队一起施工还要多少天才能完工？
【分析】把修完这条绿道的总工作量看作1。甲队每天完成，乙队每天完成，两队一起每天完成+=。相等关系是“甲队先施工的工作量加上两队一起施工的工作量等于1”。
【解答】设两队一起施工还要x天才能完工。
甲队每天完成的工作量是，乙队每天完成的工作量是，两队一起每天完成。
甲队先施工5天完成的工作量是5×()=，两队一起施工x天完成的工作量是。
根据“先后两段的工作量之和等于总工作量”，列得方程+=1。
去分母（两边乘12），得3+x=12。再移项，得x=9。
答：两队一起施工还要9天才能完工。
【方法小结】工程类问题把总工作量看作1，效率就是1除以独自完工所需的天数。先分段算出各段的工作量，再让它们的和等于1。
题型9　变式：服装厂的配套、两人合打材料、按班分书、分两段的装订工作
配套与工程这两类题在变式里各出现两次：不论题目要不要求解，列出方程以后都把解算一遍，看人数、件数是不是落在实际允许的非负整数里。
变式1　某服装厂有44名工人，每名工人每天可以加工上衣5件或者裤子6条。1件上衣配1条裤子，设安排x名工人加工上衣，可列出方程____。
变式2　打印一份材料，甲打字员独自打完需要15h，乙打字员独自打完需要10h。若两人合打x h恰好打完这份材料，则可以列出的方程是（　　）。
A．-=1
B．15x+10x=1
C．+=25
D．+=1
变式3　学校把一批图书分给几个班级，若每班分24本，则余下30本；若每班分27本，则恰好分完。这批图书共有多少本？学校共有多少个班级？
变式4　装订一批试卷，由1人单独装订需要90h完成。现在先安排3人装订6h，再增加3人与他们一起装订，恰好完成了这项工作。后一段时间是多少小时？
【题型10】实际问题（二）：行程、销售盈亏与方案选择
行程问题抓“路程=速度×时间”，销售问题抓“售价=进价+利润”，方案比较先把两种方案的费用各写成一个式子，再看它们何时相等。
例1　一列快车与一列慢车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。甲、乙两地相距280km，快车每小时行驶80km，慢车每小时行驶60km。经过多长时间两车相遇？
【分析】两车相向而行，相遇时两车行驶的路程之和等于甲、乙两地之间的距离。如图，全程被相遇点分成两段，一段是慢车行驶的路程，另一段是快车行驶的路程。
【解答】设经过x h两车相遇。
慢车行驶的路程是60x km，快车行驶的路程是80x km。
根据“两车行驶的路程之和等于两地之间的距离”，列得方程60x+80x=280。
合并同类项，方程化为140x=280。系数化为1以后，得x=2。
检验：2h内慢车行驶60×2=120 (km)，快车行驶80×2=160 (km)，120与160的和是280，与两地之间的距离相符。
答：经过2h两车相遇。
【方法小结】相向而行求相遇时间，用“两段路程的和等于总路程”；同向追及则用“两段路程的差等于出发时相隔的距离”。
例2　（教材例题改编）某商店同时卖出两件商品，售价都是120元。其中一件盈利20%，另一件亏损20%。卖这两件商品总的是盈利还是亏损？盈亏多少元？
【分析】是盈利还是亏损，要看两件商品的总售价与总进价哪个大：总售价大于总进价就盈利，小于总进价就亏损。两件商品的进价都不知道，分别设出来，各列一个方程。
【解答】设盈利的那件商品的进价是x元，它的利润是0.2x元。根据“售价等于进价加利润”，列得方程x+0.2x=120。
合并同类项，得1.2x=120。把未知数的系数化为1，得x=100。
设亏损的那件商品的进价是y元，它的利润是-0.2y元。同样根据“售价等于进价加利润”，列得方程y-0.2y=120。
把同类项合并，得0.8y=120。系数化为1，得y=150。
两件商品的总进价是100+150=250 (元)，总售价是120+120=240 (元)。因为240小于250，所以总的是亏损，亏损250-240=10 (元)。
答：卖这两件商品总的是亏损，亏损10元。
【方法小结】盈利率与亏损率都是对各自的进价说的，进价不同时不能把两个20%直接抵消。两件商品分别设未知数、分别列方程，最后再比较总进价与总售价。
题型10　变式：由售价倒求标价、两种套餐的分界点、球赛积分表、阶梯水价
四道变式分别落在销售、通信资费、积分表与阶梯计费上；后两题都要读表，读表时先看清每一栏的单位。
变式1　某商品的售价是96元，这个售价恰好是它标价的八折。这种商品的标价是____元。
变式2　某通信公司推出两种套餐：甲套餐每月固定费30元，另按每分钟0.1元收通话费；乙套餐每月固定费50元，另按每分钟0.05元收通话费。当每月通话x min时两种套餐的月费用相同，则x的值是（　　）。
A．200　　B．300　　C．400　　D．500
变式3　（教材例题改编）某校园足球联赛的计分办法如下表所示。星光队一共比赛了12场，其中负了2场，共积22分。星光队胜了多少场？
比赛结果 胜一场 平一场 负一场
每场积分 3分 1分 0分
变式4　某市居民用水按月计费：每月用水量不超过20m 的部分，每立方米收费3元；超过20m 的部分，每立方米收费5元。小林家某月的水费是85元，这个月他家用水多少立方米？
　易错专练
解一元一次方程的失分集中在四处：去括号的符号、移项不变号、去分母时漏乘与分子不加括号、系数化为1时的除法。下面七题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。
易错1　解方程5x-3(x-2)=4。
易错2　解方程7y+8=5y-2。
易错3　解方程-1=。
易错4　解方程-=1。
易错5　解方程-()x=6。
易错6　解方程3x=5x。
易错7　某次数学竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或者不答一题扣3分。小华最后得了70分，他答对了多少道题？
　课后作业（一）基础巩固
第1～8题每题只有一个选项合乎题意，把它的字母填进题后的括号；第9～12题只写结果。这一组覆盖概念判定、五个步骤与列方程这三方面的最低要求。
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）。
A．2x-3y=1
B．+x=6
C．4x-7=x
D．+2=5
2．方程2x+5=1的解是（　　）。
A．x=2　　B．x=-3　　C．x=3　　D．x=-2
3．由3x-5=7得到3x=7+5，这一步变形的依据是（　　）。
A．等式的性质1　　B．等式的性质2　　C．合并同类项法则　　D．分配律
4．解方程3(x-1)=2x+4，按一般步骤第一步应当先（　　）。
A．移项　　B．去括号　　C．合并同类项　　D．系数化为1
5．把一根长40cm的绳子剪成两段，使其中一段的长是另一段的3倍。设较短的一段长x cm，则所列的方程是（　　）。
A．3x-x=40
B．x+3x=40
C．x+3=40
D．3x=40
6．若关于x的方程2x+m=3的解是x=-1，则m的值是（　　）。
A．1　　B．3　　C．5　　D．-5
7．甲、乙两人从相距12km的两地同时出发同向而行，甲在后面每小时走6km，乙在前面每小时走4km。经过x h甲恰好追上乙，则所列的方程是（　　）。
A．6x+4x=12
B．6x-4=12
C．4x-6x=12
D．6x-4x=12
8．方程=的解是（　　）。
A．x=2　　B．x=1　　C．x=-2　　D．x=10
9．方程5x+2=17的解是x=____。
10．由-2x=6可得x=____，所用的依据是等式的性质____。
11．用方程表示：某数的3倍与5的差等于11，可列得方程____。
12．一批货物按2：3分给甲、乙两个商店，两个商店共分得250箱，则乙商店分得____箱。
　课后作业（二）能力进阶
第13～16题填结果，第17～20题要把每一步的变形与依据都留在卷面上。到这一组，五个步骤开始混在同一道题里出现。
13．若代数式与的值相等，则y=____。
14．当x=____时，代数式3x-7与x+5的值相等。
15．小明买了单价3元的笔记本x本和单价5元的笔袋2个，一共付了31元，可列得方程____。
16．某快递按首重12元、超出首重的部分每千克再加6元计费。一件包裹的运费是36元，则超出首重的部分是____千克。
17．解下列方程：(1)3x+5=2x-1；(2)5(x-1)=2x+7。
18．解下列方程：(1)4(x-1)-3(2x+1)=7；(2) -=1。
19．某种服装的进价是150元，商店按标价的八折出售时，每件仍可盈利30元。这种服装每件的标价是多少元？
20．某工厂计划生产一批零件。若每天生产45个，则比计划多生产15个；若每天生产40个，则比计划少生产20个。计划用多少天完成？这批零件共有多少个？
　课后作业（三）拓展延伸
压轴的四题分量重一些：一道由已知的解反求字母再解新方程，一道比较两种收费方式，一道从实验数据表里找时间，一道在往返的行程里求两地的路程。允许多花些时间，但每一步都要写明依据。
21．已知关于x的方程3(x-2)=2a-x的解是x=4。求a的值，并求关于y的方程ay+3=13的解。
22．某健身房有两种收费方式：方式一，办一张年卡付300元，之后每次锻炼再付10元；方式二，不办年卡，每次锻炼付25元。(1)一年内锻炼多少次时，两种方式的花费相同？(2)若小周一年内锻炼30次，他选择哪种方式更省钱？
23．下表记录了一次实验中的时间与温度，温度的变化是均匀的。实验进行多长时间时温度是37℃？
时间／min 0 5 10 15 20 25
温度／℃ 10 16 22 28 34 40
24．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲步行每小时走5km，乙骑车每小时走15km。乙到达B地后立即按原路返回，在途中与甲相遇，此时距离出发已经过了2h。求A，B两地之间的路程。

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