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课题 25.3实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环、双循环赛问题）
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教 学 目 标 1.能从循环赛类实际问题中提炼等量关系，建立一元二次方程数学模型． 2.会熟练列出并求解一元二次方程，能结合实际情境检验根的合理性、舍去不合理的根. 3.学会分析问题中的数量变化规律，理清事物间关联，提升分析与推理归纳能力. 重点：掌握建立数学模型解决循环类的问题. 难点：理解单循环和双循环的本质，能根据具体单循环和双循环问题中的数量关系，建立正确的数学模型.
教 材 分 析 教材地位与作用：本节课是人教版九年级上册第二十五章"一元二次方程"中25.3实际问题与一元二次方程第3课时，也是一元二次方程实际应用的终结基础课时.前两课时分别覆盖静态等量关系、动态变化关系，本节课聚焦组合计数关系，填补了方程建模中“两两组合计数”的知识空白，形成完整的一元二次方程应用模型体系.同时，本节课的组合公式推导思维，为高中排列组合知识做好铺垫，兼具承上启下的重要作用.本节课时是以单循环、双循环球赛为核心背景的一元二次方程应用课，承接一元二次方程的解法，前两课时数字面积、病毒传播与变化率模型，也为后面学习实际问题与二次函数奠定基础. 教材内容结构：教材首先分别以实际生活中的排球赛单循环为情境导入，建立一元二次方程模型解决实际问题；然后在基础上迁移变式，提出双循环的问题引发学生思考探究，深化学习，最后配套相应练习题巩固新知，完整形成“问题导入——迁移应用——习题巩固”的教学逻辑.
学 情 分 析 学生已掌握一元二次方程各类解法，经历前两课时建模训练，熟练掌握应用题六步解题法，具备一定的数学建模和规律探究能力，对生活化应用题接受度较高.学生对计数组合问题相对陌生，理解单循环公式的推导原理有难度，多数靠死记硬背；极易混淆单循环（不重复）与双循环（重复）模型，是本节课最大易错点.
教学过程（内容及步骤） 二次备课
一、问题情境 填空： 1.要组织一次足球邀请赛，若有3支球队参加，如果每两支球队之间比赛一场，比赛的总场数为： 3 场；若有4支球队参加，比赛总场数为： 6 场；若x支球队参加，比赛总场数为： x(x-1) 场. 2.要组织一次足球邀请赛，如果分主客场，每两支球队之间比赛2场；若有3支球队参加，比赛的总场数为： 6 场；若有4支球队参加，比赛总场数为： 12 场；若x支球队参加，比赛总场数为： x(x-1) 场. 3.要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 问题：共打了多少场？假设A、B两支球队，A和B打，B和A算2场，但规则两队之间比赛1场，存在重复计数，故要除以2 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)
支球队各赛1场，则可列得方程 方程化为 x2－x－56＝0 解方程，得 x1＝8，x2＝－7(不合题意，舍去) 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛. 教材探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 问题：分主客场进行双循环比赛，若两支队，要进行几场？n支对，共要进行几场比赛？ 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 n(n－1)＝300；解得： 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.
因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.
二、例题精讲 例1 参加一场足球比赛的每两队之间都要进行一次比赛，总共比赛45场，则共有多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)
支球队各赛1场，则可列得方程: 化简方程得： 解得： 故共10支球队参加比赛。 例2 中秋结节快到，数学兴趣小组互发微信祝福，共发送信息182条，根据你所学，能否推算出这个小组有多少个成员吗？ 解：设这个小组有x成员，每位成员要发信息(x－1)条. 解得： 故这个小组有14位成员. 归纳总结 1.握手问题，循环比赛问题(单循环)：=总场数. 2.互送礼物问题，循环比赛问题(双循环)： n(n－1)=总场数.
三、巩固练习 1.某生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(　 C　) A．x(x＋1)＝182 B．2x(x＋1)＝182 C．x(x－1)＝182 D．x(x－1)＝182×2 2.某参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有 5 人参加聚会． 3. 读书日当天，文学社举办了一场“书籍分享会”，同学们互相交换自
己喜爱的书籍，参加活动的全部同学共互换了110本书籍，则参加活动的
同学人数为(　B　) A. 11 B.12 C.13 D.14 4. 在2026年米兰 科尔蒂纳丹佩佐冬季奥林匹克运动会女子冰球项目中，
某小组内的队伍每两队之间赛一场，共进行了36场比赛，则该小组共有
多少支队伍参加比赛？ 解：设小组共有x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)
支球队各赛1场，则可列得方程: 解得： 故小组共9支球队参赛. 拓展提升 5.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设20条对角线的凸多边形的边数为x. 20 解得： 故20条对角线的凸多边形的边数为8条边. 假设存在，设18条对角线的凸多边形的边数为m。 18 解得： 故不存在. 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、作业 必做题:教材P24 习题25.3 第3题、P28页第3题. 选做题：教材P28页第12题 板书 左侧中间右侧问题导入
课题：实际问题与一元二次方程 一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 例题区
例1（单循环） 例2（双循环） 1.握手问题，循环比赛问题(单循环)：=总场数. 2.互送礼物问题，循环比赛问题(双循环)： n(n－1)=总场数.
教学反思

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