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2026—2027 学年 · 人教版（2024）九年级数学上册
26.2二次函数的图象和性质 —— 第 3 课时 y = a(x h) 教学设计
课题 26.2 二次函数的图象和性质 —— 第 3 课时 y = a(x h)
教材版本 义务教育教科书 · 数学（人教版 2024 修订版）九年级上册 第二十六章
课型 新授课（1 课时）
课时安排 第 3 课时 / 共 6 课时（26.2 系列）
授课时间 45 分钟
授课教师 ________　　班级：________　　日期：________
前接内容 26.2 第 1 课时 y = ax （开口与最值）；第 2 课时 y = ax + k（上下平移 · 上加下减）
后继内容 第 4 课时 y = a(x h) + k（综合顶点式）；第 5 课时 一般式 y = ax + bx + c 与配方法
一、教材分析与学情分析
（一）教材分析
二次函数是初中函数的收官内容，也是衔接高中数学的重要桥梁。26.2「二次函数的图象和性质」采用“从特殊到一般、从具体到抽象”的五步递进结构：
第 1 课时 y = ax —— 认识抛物线、开口、顶点、对称轴与最值；
第 2 课时 y = ax + k —— 上下平移（“上加下减”）；
第 3 课时 y = a(x h) —— 左右平移（“左加右减”），即本课；
第 4 课时 y = a(x h) + k —— 综合顶点式；
第 5 课时 一般式 y = ax + bx + c 与配方法。
本课是“平移变换”研究的核心一步：以 y = ax 为基准，把“x 换成 (x h)”与“图象左右平移 |h| 个单位”建立一一对应，得出口诀“左加右减”。它既是对第 2 课时“上加下减”的对称补充，又是第 4 课时综合顶点式 h、k 分工的必要前提，在全章中起“承上启下”的枢纽作用。教学中应渗透数形结合、类比迁移、从特殊到一般三大数学思想。
（二）学情分析
维度 已有基础 主要障碍
知识储备 已掌握 y = ax 与 y = ax + k 的图象与性质，会用描点法作图 易把左右平移与上下平移混淆，记反 h 的正负方向
技能基础 会列表、描点、连线，能由顶点式读顶点与对称轴 顶点易写成 (0, h) 或 ( h, 0)，忽略 h 是横坐标
活动经验 经历过“操作—观察—归纳”的探究过程，接触过几何画板 对“x 换成 (x h) 却向右移”缺乏直观信服
思维水平 具备一定类比与归纳能力，开始形成数形结合意识 增减性因对称轴不再是 y 轴而易判断错误
二、教学目标（核心素养导向）
知识与技能 会用描点法画 y = a(x h) 的图象；掌握其开口方向、对称轴、顶点坐标与增减性；会用“左加右减”进行平移与解析式互化。
过程与方法 经历“画图象—观察特征—归纳性质—验证应用”的探究过程，发展观察、归纳与抽象能力。
情感态度 在平移规律的发现中体验数学的对称美与统一美，增强学好函数的信心。
核心素养 几何直观、数学抽象、推理能力、模型观念。
三、教学重点与难点
教学重点 用描点法画 y = a(x h) 的图象；理解其性质，特别是对称轴为 x = h、顶点为 (h, 0)。
教学难点 理解“h 的符号与平移方向的对应关系”（左加右减），并能灵活应用于解析式与图象的互化。
突破策略 ① 与 y = ax + k 的“上加下减”类比，突出“h 管左右、k 管上下”的分工；② 用几何画板动态拖拽 h，直观验证“x 换成 (x h) 图象右移 |h|”。
四、教学方法与教学准备
教学方法 情境探究法、类比归纳法、讲练结合法、数智赋能（几何画板动态演示）。
学习方法 自主画图、小组合作、对比辨析、归纳口诀。
教学准备 教师：多媒体课件、几何画板；学生：方格纸、直尺、学案。
五、教学过程设计（45 分钟）
环节 教师活动 时间 学生活动 设计意图
1 情境导入 4′ 复习 y=ax +k 的“上加下减”，追问“若只动 x 会怎样”，引出左右平移 回顾旧知，制造认知冲突，明确探究方向
2 合作探究 9′ 在同一直角坐标系中画 y=x 、y=(x 1) 、y=(x+1) ，列表、描点、连线、对比顶点 通过具体操作发现“顶点横坐标随 h 变化”
3 归纳性质 10′ 对比三条抛物线，归纳对称轴 x=h、顶点(h,0)、开口方向、最值、增减性 由形到数，形成完整性质表
4 类比推导 6′ 与 y=ax +k 对照，提炼口诀“h 左加右减、k 上下平移” 类比迁移，区分左右与上下平移
5 例题精讲 12′ 例1 画 y=2(x 1) 与 y=2(x+1) ；例2 分析 y= (x 3) ；例3 由顶点横坐标求 h 规范作图与推理，突破难点
6 巩固小结 4′ 课堂练习 + 梳理“画、看、说、用”四步 + 布置作业 内化规律，延伸思考
六、教学过程详述
环节 1　情境导入（4 分钟）
复习提问：y = 2x 与 y = 2x + 3 的图象有什么关系？（上移 3 个单位，顶点由 (0,0) 到 (0,3)，对称轴仍是 y 轴）
追问设疑：上一节课是“在整体上加 k”实现上下平移。如果这一次我们不改变整体，而是把 x 换成 (x 1)，即研究 y = (x 1) ，它的图象又会怎样？会不会左右移动？
设计意图：由“加 k”自然过渡到“换 x”，制造认知冲突，明确本课研究对象。
环节 2　合作探究——发现平移规律（9 分钟）
在同一坐标系中画 y = x 、y = (x 1) 、y = (x + 1) 。取 x = 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 列表：
x 2 1 0 1 2 3
y=x 4 1 0 1 4 9
y=(x 1) 9 4 1 0 1 4
y=(x+1) 1 0 1 4 9 16
观察发现：三条抛物线形状、开口完全相同，只是位置不同——顶点依次为 (0,0)、(1,0)、( 1,0)，对称轴依次为 x = 0、x = 1、x = 1。
归纳：把 y = x 的图象向右平移 1 个单位得 y = (x 1) ；向左平移 1 个单位得 y = (x + 1) 。一般地，y = a(x h) 的图象可由 y = ax 向左（h < 0）或向右（h > 0）平移 |h| 个单位得到。
环节 3　归纳性质（10 分钟）
借助几何画板动态演示：保持 a 不变，拖动 h，观察顶点与对称轴随之变化，而开口大小不变。整理性质如下：
项目 y = ax y = a(x h)
图象名称 抛物线 抛物线（形状、开口均不变）
顶点坐标 (0, 0) (h, 0)
对称轴 y 轴（x = 0） 直线 x = h
开口方向 a > 0 向上，a < 0 向下 a > 0 向上，a < 0 向下
最值 x = 0 时 y最小(大) = 0 x = h 时 y最小(大) = 0
增减性 对称轴两侧相反 在 x = h 两侧相反：a>0 时左减右增
核心提醒：平移只改变位置，不改变形状与开口大小（|a| 不变）。
环节 4　类比推导——提炼口诀（6 分钟）
对照第 2 课时：y = ax + k 是“整体加 k”→ 上下平移 → 上加下减（k 管上下）。
本课：y = a(x h) 是“x 换成 x h”→ 左右平移 → 左加右减（h 管左右）。
口诀：“括号里 x 减 h，图象向右；x 加 |h|，图象向左”——即“左加右减”。注意：h 本身是括号内的实数，y = (x + 1) 对应 h = 1，顶点为 ( 1, 0)。
环节 5　例题精讲（12 分钟）
例1 在同一直角坐标系中画出 y = 2(x 1) 与 y = 2(x + 1) 的图象，并指出它们的对称轴与顶点。
分析 二者均由 y = 2x 平移得到：h = 1 时右移 1，对称轴 x = 1、顶点 (1,0)；h = 1 时左移 1，对称轴 x = 1、顶点 ( 1,0)。取 x = 1, 0, 1, 2, 3 列表描点即可。
例2 已知抛物线 y = (x 3) ，说明它的开口方向、对称轴、顶点坐标，并指出当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大。
分析 a = 1 < 0 开口向下；h = 3，对称轴 x = 3，顶点 (3,0)；开口向下时“左增右减”，故当 x < 3 时 y 随 x 增大而增大。
例3 一条抛物线由 y = 3x 向右平移 2 个单位后所得，求其解析式及顶点坐标。
分析 右移 2 即 h = 2，解析式为 y = 3(x 2) ，顶点为 (2, 0)。（训练“由平移反求 h”）
环节 6　巩固练习与小结（4 分钟）
练习：① 说出 y = (x 4) 与 y = (x + 2) 的对称轴与顶点；② 把 y = x 向左平移 3 个单位，写出解析式。
小结（“画、看、说、用”四步）：① 画：由 y = ax 平移得到；② 看：a 定开口，h 定左右；③ 说：对称轴 x = h，顶点 (h, 0)；④ 用：左加右减。
作业：课本 P__ 练习第 __ 题；预习第 4 课时 y = a(x h) + k。
七、核心概念辨析
1. y = a(x h) 与 y = ax 性质对照
（见环节 3 表格，此处聚焦易错点。）
2. “h 管左右”与“k 管上下”的分工
第 2 课时 y = ax + k：整体加 k → 上下平移（上加下减）；本课 y = a(x h) ：x 换 x h → 左右平移（左加右减）。二者合流即第 4 课时 y = a(x h) + k：先左右、再上下。
易错点 错误表现 正确认知
h 的方向记反 认为 (x 1) 是左移 1 x h 当 h > 0 时右移 |h|
左右上下混淆 把 y=(x 1) +k 的 k 当成左右 h 左右、k 上下，各司其职
顶点坐标写错 写成 (0, h) 或 ( h, 0) 顶点为 (h, 0)，h 是横坐标
忽略括号 y = x h 这类书写 必须写成 (x h) ，注意括号
忘记 a ≠ 0 未强调 a 的作用 a 决定开口与最值，a ≠ 0
八、板书设计（左中右三区）
【左区】课题与探究 26.2 第3课时 y=a(x h) 描点列表（三函数） 【中区】性质与口诀 顶点(h,0) 对称轴 x=h 口诀：左加右减 【右区】例题板演 例1 画图象 例2 开口/顶点 例3 由平移求 h
九、分层作业设计
基础层 画出 y = (x 2) 与 y = (x + 3) 的大致图象，写出对称轴与顶点坐标。
提高层 已知抛物线顶点为 ( 1, 0) 且过 (0, 2)，求其解析式，并说明由 y = 2x 怎样平移得到。
拓展层 数学小笔记：用几何画板探究“同时改变 h 与 k”时顶点 (h, k) 的轨迹，为第 4 课时做准备。
十、教学时间分配
导入(4′) + 探究(9′) + 归纳(10′) 23 分钟
类比(6′) + 例题(12′) + 巩固(4′) 22 分钟
合计 45 分钟
十一、教学反思（课后填写）
1. 学生对“左加右减”口诀的接受程度：________________________________
2. 几何画板动态演示是否有效化解了“h 方向记反”的难点：______________
3. 例题与练习的层次是否合理、时间是否充裕：________________________
4. 后续需加强或调整之处：____________________________________________
第二十六章 二次函数 · 26.2 第 3 课时　y = a(x h) 　　第 1 页

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