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人教版（2024）· 九上 26.2.4 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质
2026—2027 学年人教版 · 九年级数学上册
26.2.4 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质
（第 4 课时 · 顶点式 · 平移规律综合）
授课教师：__________ 班级：__________ 日期：__________
一、教学基本信息
项目 内容 项目 内容
教材版本 人教版（2024）九年级数学上册 课 型 新授课（1 课时）
课 题 26.2.4 y=a(x-h) +k 的图象和性质 授课时长 45 分钟
课时编号 本章第 4 课时 前 接 26.2.1 y=ax → 26.2.2 y=ax +k → 26.2.3 y=a(x-h)
后 继 26.2.5 一般式 y=ax +bx+c（配方法） 单 元 26.2 二次函数的图象和性质
二、教材与学情分析
（一）教材分析
本节是在 y=ax 、y=ax +k（上下平移）、y=a(x-h) （左右平移）之后，把两种平移合成「顶点式 y=a(x-h) +k」的枢纽课。
地位：顶点式的出现是本章的「里程碑」——从一般式中配方可得，是数形结合、配方运算、对称轴与最值问题的总舞台。
与前节的衔接：h、k 分别是左右、上下平移量，h=0 即退化为 y=a(x-h) ，k=0 退化为 y=a(x-h) ，故本节是前两课时的自然整合。
与后继的衔接：一般式 y=ax +bx+c 通过配方化为顶点式，对称轴为 x=-，顶点为 (-，是 26.2.5 与前面对数的基础。
（二）学情分析
已有基础：学生已会用描点法画 y=ax ，能归纳 y=ax +k、y=a(x-h) 的图象与性质，并掌握「上加下减、左加右减」口诀；具备一定列表描点与几何画板操作经验。
主要障碍（两列对比）：
学生已有基础 学生主要障碍 教学对策
会画两类平移图象、能背口诀 ① 平移量 h、k 与方向对应常错（尤其 h） 几何画板动态拖拽 + 列表描点双证
掌握 a 对开口的影响 ② 忽略 a 决定开口、|h|、|k| 只决定位置 性质对照表 + 易错点专项辨析
知道顶点、对称轴 ③ 配方不熟练，不会由一般式化顶点式 强化配方「降幂排列 + 补项」三步
能由解析式说性质、由性质求解析式 ④ 对称轴、最值分类讨论不清（含 a 正负） 例题分层 + 解题「四步」规范化
三、教学目标与重难点
（一）教学目标（核心素养导向）
目标维度 具体内容
知识与技能 理解二次函数顶点式 y=a(x-h) +k（a≠0）的意义；掌握其图象（抛物线）的顶点 (h, k)、对称轴 x=h、开口方向、增减性与最值；会用平移规律与配方两种方法求顶点式和一般式。
过程与方法 经历「特殊→一般」的归纳过程，在几何画板动态演示与列表描点中体会平移合成；通过配方把一般式化为顶点式，发展数形结合与转化思想。
情感态度 在从三个特殊式到顶点式的建构中体验数学的统一美，增强探究与合作的意识。
核心素养 几何直观、数学抽象、推理能力、模型观念
（二）重点与难点
【重点】顶点式 y=a(x-h) +k 的图象与性质（顶点、对称轴、开口方向、最值、增减性）；由图象平移规律与配方两种方法求顶点式。
【难点】h、k 对顶点与对称轴的决定作用（「h 左加右减、k 上下平移」）；由一般式配方化为顶点式，由图象特征求顶点式解析式。
四、教学方法与准备
项目 内容
教学方法 情境探究法、讲练结合、类比归纳、数智赋能（几何画板动态演示）、分层教学
学习方法 动手列表描点 + 小组合作归纳 + 反思变式训练
教学准备 多媒体课件、几何画板动态课件、学案（含描点表）、方格纸、三角尺
五、教学过程（45 分钟 · 六环节详案）
环节一 复习导入（4 分钟）
活动 教师活动 学生活动 时间
复习回顾 ① 出示 y=2x 、y=2x +3、y=2(x-1) 、y=2(x-1) +3 四图，让学生观察两组平移关系 ② 提问：k 管上下、h 管左右，合起来怎么办？ 回顾前两课时结论；尝试把「上下 + 左右」平移合起来观察 4′
设计意图 由已有三个特殊式自然过渡到综合顶点式，激活旧知、制造认知整合需求。
环节二 探究新知 · 顶点式的形成（8 分钟）
教师出示 y=2(x-1) +3，提问：对比 y=2x ，图象向哪个方向、平移了多少？学生列表描点（x 取 -1, 0, 1, 2, 3 对应 y 取 8, 5, 3, 3, 8）观察顶点由 (0,0) 变为 (1,3)。再改变 h、k，几何画板动态拖拽验证：
活动 教师活动 学生活动 时间
列表描点 出示 y=a(x-h) +k，组织学生完成描点表，对比 y=ax 的五个点 填表、描点、发现顶点 (h, k)、对称轴 x=h 8′
动态验证 几何画板拖拽 h、k，直观展示抛物线整体平移 观察「a 不变形状不变，只平移位置」
设计意图 由特殊到一般，用列表 + 动态双重证据归纳顶点式，落实几何直观。
环节三 归纳性质（10 分钟）
师生共同归纳并填性质对照表（见第六部分核心辨析①）：
书写规范：二次函数 y=a(x-h) +k（a≠0）中，a 决定开口（a>0 向上、a<0 向下），|a| 决定开口大小；顶点为 (h, k)，对称轴为直线 x=h；当 x=h 时取最值 y=k。
环节四 类比推导 · 配方化一般式（6 分钟）
对比 y=ax +bx+c（一般式）与 y=a(x-h) +k（顶点式），指出「一般式配方即得顶点式」，并示范配方三步：
① 提公因式：y=a[x +x]+c（a≠0）
② 补项配平方：括号内加减
③ 化简：y=a(x+) +，即 h=-，k=
顺带得到对称轴 x=-、顶点 ( , )，自然衔接 26.2.5。
环节五 例题精讲（12 分钟）
例题 题目 解答要点 时间
例1 指出 y=-3(x+2) -1 的开口方向、顶点、对称轴、最值与增减性 a=-3<0 向下；顶点 (-2,-1)；对称轴 x=-2；x=-2 取最大值 -1；x<-2 增、-2例2 把 y=x -4x+5 化为顶点式，并说出顶点与最值 配方：y=(x-2) +1；顶点 (2,1)，对称轴 x=2，x=2 取最小值 1
例3 已知抛物线 y=ax +bx+c 顶点为 (1,-2)、过 (0,3)，求其一般式 设顶点式 y=a(x-1) -2，代入 (0,3) 得 a=5，即 y=5(x-1) -2=5x -10x+3
设计意图 由认式 → 配方 → 求式，三层递进，落实「先定顶点、再判开口」的解题规范。
环节六 巩固练习与小节（5 分钟）
巩固练习（任选）：① 写出 y=2(x-3) +4 的顶点与最值；② 把 y=-x +6x-7 配方；③ 求抛物线 y=x -2x 的顶点坐标与对称轴。
课堂小结：① 图象与性质一句话口诀；② 求式两条路（平移直接写 / 配方化一般式）；③ 作业布置。
六、核心概念辨析
（一）y=a(x-h) +k 与 y=ax 性质对照表
性质 y=ax y=a(x-h) +k
开口方向 由 a 符号决定 由 a 符号决定（不变）
开口大小 由 |a| 决定 由 |a| 决定（不变）
顶点坐标 (0, 0) (h, k)
对称轴 直线 x=0（y 轴） 直线 x=h
最值 x=0 时 y=0 x=h 时 y=k（a>0 最小值，a<0 最大值）
平移规律 基准 由 y=ax 向左 |h| 或向右 h、向上 k 或向下 |k| 平移得到
a 的作用 决定开口方向、大小、最值 同样决定开口方向与大小（h、k 只平移位置）
（二）三条口诀
① 平移：y=ax → y=a(x-h) +k，「h 左加右减、k 上加下减」；
② 配方：提 → 补 → 化，由一般式得顶点式；
③ 解题：一看 a（方向）、二定 h（对称轴）、三算 k（顶点），由式说性质、由性质求式。
（三）四大易错点
序号 易错点 正解提醒
1 把 (x-h) 中的 h 符号弄反，顶点写成 (-h, k) x 换成 (x-h) 即向右平移 h（h>0）；顶点横坐标 = h，不是 -h
2 k 的正负号与平移方向混淆，写成 (h, |k|) 顶点纵坐标是 k 本身（带符号），k<0 则向下平移 |k|
3 忽略 a≠0，或把 |a| 当成开口大小的方向 a 的正负定方向、|a| 的大小定宽窄；a 必须非零
4 一般式不会配方，或直接套顶点公式不推导 用几何画板或列表验证配方结果；顶点 (h,k)=(- -， ) )
七、板书设计（左中右三区）
左区 · 概念生成 中区 · 例题板演 右区 · 方法总结
y=a(x-h) +k (a≠0) 顶点 (h,k) 对称轴 x=h 开口由 a 决定 例1 y=-3(x+2) -1 顶点 (-2,-1) 对称轴 x=-2 最值 y=-1 口诀： ① 平移：h 左加右减 ② 配方：提·补·化 ③ 解题：看 a · 定 h · 算 k
八、作业设计（分层）
层次 内容 设计意图
基础 写出 y=2(x-1) +3、y=-(x+2) -1 的顶点、对称轴、最值与开口 巩固性质识记
提高 把 y=x -6x+10、y=-2x +8x-7 化为顶点式 训练配方三步
拓展 已知顶点 (2,-3) 且过 (3,1)，求抛物线解析式（用待定系数法） 衔接下课时，发展模型观念
九、时间分配表
环节 内容 时间
一 复习导入（四个式子观察平移关系） 4′
二 探究新知 · 列表描点 + 动态验证 8′
三 归纳性质 · 填性质对照表 10′
四 类比推导 · 配方化一般式 6′
五 例题精讲（认式 / 配方 / 求式三层） 12′
六 巩固练习 + 课堂小结 5′
合计 45′
十、教学反思
本节课的成功之处（课后填写）：
仍需改进之处（课后填写）：
学生易错点反馈（课后填写）：
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