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第7章 图形与坐标
7.3 用方位角和距离描述两个物体的相对位置
一、核心素养目标
【数学抽象】通过生活中的方位描述，抽象出用方位角和距离描述位置的方法，发展数学抽象能力
【逻辑推理】通过探究方位角与方向的关系，理解相对方位的规律，培养逻辑推理能力
【直观想象】借助平面图直观表示物体的相对位置，深化数形结合思想，发展几何直观
【数学运算】能根据方位角和距离准确描述物体位置，提高实际应用能力
二、教学重难点
教学重点：会用方位角和距离描述两个物体的相对位置；掌握方位角的命名规则
教学难点：理解相对方位的变化规律（互逆方向关系）；正确区分不同参照点下的方位描述
三、教学过程
【情境导入：小明家的地图】（3分钟）
【教师活动】同学们，我们在生活中经常需要描述一个物体相对于另一个物体的位置。比如，你要告诉同学你家的位置，你会怎么说？
【学生活动】思考并回答：我会说在XX路XX号，或者从学校往东走200米再往北走。
【教师活动】很好！这些描述方式都包含了两个关键信息：方向和距离。今天我们就来学习一种更精确的数学方法——用方位角和距离描述两个物体的相对位置。
【教师活动】本节课的学习目标是：会用方向和距离描述两个物体的相对位置。我们先来看一个生活中的情境。
【教师活动】活动1：根据下列情境，回答问题。
情境：如图是小明家O和学校A所在地的简单地图。已知OA=400m，OB=500m，OP=800m，C为OP的中点。
【教师活动】请同学们观察地图，找一找图中标注了哪些场所，它们的距离是多少。
图1 小明家与周边场所的位置示意图
【学生活动】观察地图：学校A距离小明家400m，商场B距离小明家500m，公园P距离小明家800m，C是OP的中点距离小明家400m。
【教师活动】问题1：图中距小明家距离相同的是哪些地方？
【学生活动】思考后回答：学校A和点C到小明家的距离都是400m，所以距离相同的是学校A和点C。
【教师活动】问题2：以小明家为参照点，与公园同一方向的还有什么场所？如何区分它们相对于小明家的位置？
【学生活动】思考：学校A和点C虽然距离相同，但它们在不同方向上。光靠距离无法区分同一方向上的不同场所，还需要方向信息。
【教师活动】说得对！如果只告诉距离400m，我们不知道是学校A还是点C。所以除了距离，还需要说明方向。方向加距离，才能准确描述一个物体的位置。
【知识点】描述平面内一个点的位置，需要两个要素：方向和距离。缺少任何一个，位置都无法唯一确定。
理解要点：描述平面内点的位置，必须有两个数据。在直角坐标系中用的是有序数对（横坐标，纵坐标），在方位描述中用的是方向+距离。
【过渡语】那么我们应该如何用方向来描述位置呢？这就需要用到方位角的概念。
【探究一：方位角的概念与表示】（5分钟）
【教师活动】问题3：用方向和距离描述商场在小明家什么位置？那小明家在商场的什么位置呢？
【教师活动】请同学们仔细观察图中商场B相对于小明家O的方向。
图2 商场与小明家的相对位置
【学生活动】观察并回答：商场在小明家北偏西30°的方向，离小明家500m。
【教师活动】很好！这就是用方位角表示方向的方法。'北偏西30°'表示从正北方向向西偏转30°。那么反过来，小明家在商场的什么位置呢？
【学生活动】思考：小明家在商场南偏东30°的方向，离商场500m。
【教师活动】完全正确！我们来理解一下方位角的数学原理。射线ON的方向是正北方向，射线BS的方向是正南方向，以O为参照点，B的方向可用∠NOB表示，如图可知为30°。
【教师活动】以B为参照点，O的方向可用∠OBS表示，因为ON∥BS，所以∠NOB=∠OBS=30°。这就是为什么互逆方位的角度相等的几何原理——两直线平行，内错角相等。
【学生活动】理解：因为正北方向线和正南方向线是平行的，所以从O看B和从B看O的角度相等，只是方向相反。
【教师活动】请同学们注意：方位角是从正北方向（或正南方向）按顺时针或逆时针方向旋转到目标方向线所成的锐角。方位角必须是锐角，范围是0°到90°之间。
【知识点】方位角：从正北方向（或正南方向）按顺时针或逆时针方向旋转到目标方向线所成的锐角，叫做方位角。方位角必须是锐角（0°到90°之间）。表示方法：先说'北'或'南'，再说'偏东'或'偏西'，最后说角度。
重点强调：方位角的表示方法：先说'北'或'南'，再说'偏东'或'偏西'，最后说角度。如'北偏西30°'表示从正北方向向西偏30°。方位角一定是锐角（0°~90°）。
【过渡语】从商场和小明家的互逆描述中，我们发现了什么规律呢？让我们继续探究。
【探究二：相对方位的互逆规律】（5分钟）
【教师活动】请同学们观察：商场在小明家北偏西30°，小明家在商场南偏东30°。你能发现什么规律？
【学生活动】发现：方向互逆——'北'变'南'，'西'变'东'，角度不变，距离相同。
【教师活动】总结得非常好！描述平面上A、B两点的相对方位时，如果由A观测B的方向是北偏东(西)n°，那么由B观测A的方向就是南偏西(东)n°。
【教师活动】也就是说，南北互换，东西互换，角度不变，距离不变。这个规律背后的原理是：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
【学生活动】理解并记录规律：南北互换，东西互换，角度不变，距离不变。
【教师活动】我们来做一个小练习：如果A在B的北偏东40°方向300m处，那么B在A的什么方向？
【学生活动】快速回答：B在A的南偏西40°方向300m处。北→南，东→西，角度不变40°，距离不变300m。
【教师活动】非常好！再试一个：如果C在D的南偏西25°方向800m处，那么D在C的什么方向？
【学生活动】回答：D在C的北偏东25°方向800m处。南→北，西→东，角度不变25°，距离不变800m。
【知识点】相对方位规律：如果由A观测B的方向是北偏东(西)n°，那么由B观测A的方向就是南偏西(东)n°。即'南北互换，东西互换，角度不变，距离不变'。
判断技巧：快速判断互逆方位：把'北'改成'南'（或'南'改成'北'），把'东'改成'西'（或'西'改成'东'），角度不变。如'北偏东40°'的互逆方位是'南偏西40°'。
【过渡语】掌握了方位角的表示方法和相对方位的规律，我们还需要注意一些重要的细节规则。
【注意事项：方位角命名规则】（5分钟）
【教师活动】利用'方向+距离'表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可：(1)该点相对参照点的方向；(2)该点与参照点之间的实际距离。方向和距离，两个要素缺一不可。
【学生活动】理解：方向和距离就像直角坐标系中的横坐标和纵坐标，都是必不可少的。
【教师活动】在说明方位时，有三条重要的注意事项，请同学们务必牢记。
【教师活动】注意事项1：在说明被观测对象的方位时，应先说'北'或'南'，再说'东'或'西'。如'北偏西57°'，不能说成'西偏北33°'。
【学生活动】理解并记录：先说南北，后说东西。因为方位角是以南北方向为基准线的。
【教师活动】注意事项2：方位角都是锐角，如'北偏西57°'，不能说成'南偏西123°'。因为方位角的定义就是从正北或正南方向偏转的角度，必须是锐角（0°~90°）。
【学生活动】理解：即使偏转超过90°，也要换用从另一个南北方向开始算的锐角。比如从北偏西超过90°的情况，应该转换为从南偏东的锐角。
【教师活动】注意事项3：北偏东45°也可写成东北方向，同样，北偏西45°、南偏东45°、南偏西45°分别可写成西北方向、东南方向、西南方向。
【学生活动】记忆：四个特殊方向——东北（北偏东45°）、西北（北偏西45°）、东南（南偏东45°）、西南（南偏西45°）。
【教师活动】我们来总结一下：方位角命名有三个要点——先说南北后说东西、必须是锐角、45°有特殊名称。这三点在考试中经常出现，同学们一定要记牢。
【知识点】方位角命名规则：1.先说南北，后说东西；2.方位角必须是锐角（0°~90°）；3.45°方向有特殊名称：东北（北偏东45°）、西北（北偏西45°）、东南（南偏东45°）、西南（南偏西45°）。
易错提示：最容易犯的错误：①把'北偏西57°'说成'西偏北33°'——应先说南北后说东西；②用钝角表示方位角——方位角必须是锐角；③漏掉距离——描述位置必须同时有方向和距离两个数据。
【过渡语】掌握了方位角的命名规则，我们通过一个实际应用来巩固所学知识。
【活动2：动物园示意图】（5分钟）
【教师活动】活动2：如图是动物园的示意图。
【教师活动】请同学们观察动物园示意图，图中标注了北方向，比例尺在图上。请完成下列问题。
图3 动物园示意图
【教师活动】(1)熊猫馆和孔雀园分别在猴山的什么方向，距离猴山多少米？
【学生活动】观察图中方位和距离标注：以猴山为参照点，熊猫馆在猴山的北偏西方向，距离猴山___米；孔雀园在猴山的___方向，距离猴山___米。
【教师活动】(2)蛇馆在猴山南偏西45°方向180米处，在图中表示出它的位置。
【学生活动】操作：以猴山为参照点，从正南方向向西偏45°，沿此方向量取180米（按比例尺换算为图上距离），标出蛇馆的位置。
【教师活动】同学们注意：在图上标出位置的关键是——先确定方向线（用量角器量出方位角），再沿方向线量取距离。两步缺一不可。
【教师活动】请一位同学到黑板上来展示一下，蛇馆应该标在哪个位置。其他同学在练习本上完成。
【学生活动】上台演示：以猴山为原点，画出南偏西45°方向线，按比例尺量取距离，标出蛇馆。
【知识点】用方位角和距离在图上标出位置的方法：1.确定参照点；2.画出方位角方向线（用量角器）；3.沿方向线按比例尺量取距离，确定点的位置。
理解要点：在地图上标出位置时，方位角决定了方向线，比例尺决定了图上距离，两者结合才能准确定位。
【过渡语】动物园的练习让我们初步掌握了方位描述和定位的方法，下面我们通过几道例题进一步提升综合应用能力。
【例题精讲：雷达探测与公园定位】（7分钟）
【教师活动】例1 如图是一台探测雷达的屏幕，现在雷达上同时出现A、B、C、D、E这5个目标，如果你是雷达操作员，你如何向上级报告各目标的位置？
【教师活动】请同学们观察雷达屏幕，注意雷达屏幕上的同心圆表示距离，径向线表示方位角。
图4 雷达探测屏幕
【学生活动】观察并分析：雷达屏幕上的同心圆每圈代表1km，径向线标注了方位角。以雷达站O为参照点，逐目标读取。
【教师活动】很好！请一位同学到前面来，逐一报告这5个目标的位置。
【学生活动】逐一报告：A目标在南偏东60°方向，距离2km；B目标在北偏东30°方向，距离5km；C目标在北偏西60°方向，距离4km；D目标在南偏西60°方向，距离3km；E目标在北偏西30°方向，距离4km。
【教师活动】非常准确！每个目标都需要用'方位角+距离'来描述。注意：方位角从正北或正南方向开始算，距离从圈数读出。
【教师活动】例2 如图为某公园的平面示意图，其中OA=4cm，OB=4.5cm，OD=8cm，C为OD的中点。已知儿童游乐园距离公园入口200m。
【教师活动】(1)用方位角和距离描述卫生间和游船码头相对于公园入口的位置。
图5 公园平面示意图
【学生活动】分析：先确定比例尺。儿童游乐园对应OA=4cm，实际200m，所以比例尺是1cm:50m。然后从图中读出卫生间和游船码头的方位角和图上距离，再乘以50m/cm换算。
【教师活动】正确！首先要确定比例尺，这是解题的关键一步。然后分别读出方位角和图上距离。
【教师活动】(2)用方位角和距离描述公园入口相对于滑冰场的位置。
【学生活动】注意：参照点变了！现在以滑冰场为参照点，描述公园入口的位置。需要根据相对方位规律：先看滑冰场在公园入口的什么方位，再用互逆规律转换。
【教师活动】非常好！当参照点改变时，一定要用互逆规律：南北互换，东西互换，角度不变，距离不变。
【知识点】用方位角和距离描述位置需要注意：1.明确参照点；2.正确读出方位角；3.根据比例尺计算实际距离；4.改变参照点时，注意方位互逆规律。
重点强调：用方位角和距离描述位置时，方向和距离两个要素缺一不可。方向决定了位置在哪条射线上，距离决定了在射线上的哪个点。
【过渡语】通过例题，我们掌握了用方位角和距离描述位置的方法。下面进行课堂练习，检验一下大家的掌握情况。
【课堂练习】（9分钟）
【教师活动】下面我们来做几道练习题，检验一下同学们对本节课知识的掌握情况。
【教师活动】练习1 如图，一艘船在B处遇险后向相距50海里位于A处的救生船报警。用方向和距离描述B处相对于A处的位置是（ ）
【教师活动】A. 南偏西75°，50海里 B. 南偏西15°，50海里
【教师活动】C. 北偏东15°，50海里 D. 北偏东75°，50海里
【教师活动】请同学们观察方位角，以A为参照点，判断B相对于A的方向。
图6 遇险船与救生船位置示意图
【学生活动】分析：观察图中B相对于A的位置，以A为参照点，B在A的北偏东方向，具体角度从图中读出是15°，距离50海里。所以选C。
【教师活动】正确答案是C。注意：参照点是A（救生船），描述的是B（遇险船）相对于A的位置，所以是北偏东15°，50海里。
【教师活动】练习2 8月30日江苏省4艘渔船在回港途中，突遭9级强风，船上共35名船员遇险，岛上边防战士接到命令后立即出发，进行拉网式搜救。描述各渔船位置。
【教师活动】请同学们以边防战士所在的小岛为参照点，描述各渔船的位置。
图7 渔船搜救示意图
【学生活动】观察并描述：渔船1在北偏西30°方向30km处；渔船2在北偏东40°方向25km处；渔船3在正南方向20km处；渔船4在南偏东65°方向35km处。
【教师活动】很好！注意正南方向是特殊情况，方位角为0°（不需要偏转），直接用'正南方向'描述即可。另外，南偏东65°的方位角是锐角，符合命名规则。
【教师活动】练习3 根据下列语句，标出相应位置。某岛：'我在灯塔北偏东40°方向20千米处。'某船：'我在灯塔南偏西40°方向15千米处。'
【教师活动】请同学们以灯塔为参照点，在图上标出小岛和船的位置。
图8 灯塔与岛/船位置示意图
【学生活动】操作：以灯塔为原点，从正北方向向东偏40°，沿此方向量取20千米标出小岛；从正南方向向西偏40°，沿此方向量取15千米标出船的位置。
【教师活动】注意：北偏东40°和南偏西40°是两个不同的方向，不要混淆。小岛在灯塔的东北方向，船在灯塔的西南方向。这两个方向恰好互逆。
【教师活动】大家做得都很好！通过这三道练习，我们巩固了用方位角和距离描述位置的方法，以及根据描述在图上标出位置的方法。
【过渡语】练习完成，我们来对本节课的内容进行系统梳理。
【课堂小结】（6分钟）
【教师活动】回顾本节课所学内容，请同学们回答以下问题：
【教师活动】问题1：描述物体的具体位置需要具备哪几个要素？
【学生活动】回答：需要两个要素——方向和距离。缺一不可。
【教师活动】问题2：描述平面上A、B两点的相对位置时的方向规律是什么？
【学生活动】回答：如果由A观测B的方向是北偏东(西)n°，那么由B观测A的方向就是南偏西(东)n°。即南北互换，东西互换，角度不变，距离不变。
【教师活动】问题3：方位角的命名规则有哪些？
【学生活动】回答：①先说南北，后说东西；②方位角必须是锐角（0°~90°）；③45°方向有特殊名称（东北、西北、东南、西南）。
【教师活动】非常好！今天我们学习了用方位角和距离描述两个物体的相对位置。这种方法在航海、搜救、军事、测绘等领域都有广泛应用。
【教师活动】同学们要记住：描述位置两要素（方向+距离），方位命名先南北后东西，方位角必锐角，相对方位互逆（南北互换、东西互换），45°方向有特殊名。
【学生活动】回顾本节课内容，整理笔记，强化记忆核心规律。
【知识点】本节课核心知识：1.描述位置需要方向和距离两个要素；2.方位角先说南北后说东西，必须是锐角；3.相对方位规律：南北互换、东西互换、角度不变、距离不变；4.45°特殊方向：东北、西北、东南、西南。
规律总结：描述位置两要素（方向+距离），方位命名先南北后东西，方位角必锐角，相对方位互逆（南北互换、东西互换、角度不变），45°方向有特殊名（东北、西北、东南、西南）。
四、板书设计
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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