资源简介

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《小数除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《小数除法》属于数与代数领域第三学段 “数与运算” 核心内容。依据《义务教育数学课程标准》：能进行简单小数四则运算，感悟整数、小数运算的一致性，发展运算能力与推理意识；结合真实情境选择合理取值策略解决实际问题，区分四舍五入、进一法、去尾法，发展应用意识；全程落实数感、运算能力、推理意识、应用意识核心素养。
教学提示：依托人民币换算、平均分直观模型、商不变规律为载体，引导学生经历情境感知 — 转化推理 — 归纳算法 — 应用拓展完整流程，打通整数除法与小数除法运算逻辑，理解小数除法本质是计数单位的平均分，实现新旧运算知识迁移，提升说理与灵活解题能力。
（二）单元教材内容分析
本单元是整数除法、小数意义、小数乘法的延伸，是完整小数四则运算体系的收官模块，为分数除法、百分数计算奠基。以转化思想为主线，6 课时分层递进：
1.基础笔算层 1：除数是整数的小数除法，掌握商小数点对齐规则，突破末尾余数补 0、整数部分不够商 1 难点；
2.基础笔算层 2：一个数除以小数，借助商不变规律转化为整数除法，规范小数点同步移动；
3.近似取值层：商的近似数，区分四舍五入、进一、去尾三种取值方法，结合生活场景合理取舍；
4.概念拓展层：循环小数，认识有限、无限、循环小数，掌握循环节简便记法；
5.规律探究层：用计算器探索小数除法规律，依托计算工具观察、归纳商的变化规律；
6.综合应用层：小数除法解决实际问题，对比分装、用料、平均单价类应用题，建立除法数学模型。
教材搭配情境列式、竖式演算、错例辨析、小组说理、生活实操活动，兼顾计算技能与实际建模。
（三）学生认知情况
五年级学生已掌握整数除法竖式、商不变性质、小数乘法计算，但存在四大认知障碍：
1.算理理解障碍：混淆商小数点对齐规则；除数是小数时只移动除数小数点、不同步移动被除数；余数后忘记补 0 继续除；
2.概念区分薄弱：分不清有限小数、无限小数，循环节标注易错；不理解除不尽的数学含义；
3.应用思维不足：分不清三种取近似值方法适用场景，分装、布料类问题取值逻辑混乱；
4.学习习惯短板：竖式书写不规范、漏写约等号、缺少验算，不会完整口述转化推理过程。
需借助直观分物模型、对比错例、分层任务、生活实操，突破转化计算、情境取值两大难点。
二、单元目标拟定
1. 经历两类小数除法探究，理解算理，规范竖式，准确对齐商的小数点；能处理余数补 0、整数部分不够商 1、被除数位数不足补 0 等特殊题型，熟练笔算、验算。
2.依托商不变规律，自主归纳 “除数是小数转化为整数” 通用计算法则，打通整数与小数除法运算一致性。
3.掌握四舍五入法求商近似数，能根据生活场景灵活选用进一法、去尾法，区分精确计算与近似计算。
4.认识有限、无限、循环小数，能识别循环节，规范书写循环小数简便记法。
5.借助计算器观察、归纳小数除法算式规律，能直接运用规律写商，发展推理意识。
6.分析平均分、分装、用料、单价类实际问题，建立小数除法解题模型，完整列式、规范作答。
7.在单位转化、数形结合、错例会诊活动中体会转化、迁移、归纳、模型思想；养成认真审题、规范书写、主动验算、严谨说理习惯，感受小数除法在购物、分装、测量中的实用价值。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1. 掌握除数是整数、除数是小数的小数除法笔算方法，准确对齐小数点，规范处理补 0 题型；
2.掌握三种取商近似值方法，能结合生活情境合理选择；
3.认识循环小数、有限 / 无限小数，会读写循环小数；
4.运用计算器发现除法规律，利用小数除法解决生活实际问题。
（二）教学难点
1.理解商不变规律在小数除法中的转化逻辑，同步移动除数与被除数小数点；
2.区分进一法、去尾法、四舍五入适用场景，合理处理商的近似数；
3.完整、有条理口述小数除法转化推理过程，综合计算、近似、概念知识解决复合应用题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
以 “运算一致性” 为内核，围绕三会数学核心素养：会用数学眼光观察平均分现实情境；会用数学思维转化小数除法为整数除法；会用数学语言说清算理、算法、取值思路。
核心主线：整数除法旧知迁移→小数除以整数→除数是小数（转化）→商的近似值→循环小数概念→规律探究→生活应用
核心数学思想：转化、数形结合、归纳、模型、类比。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1. 情境生活化，降低转化理解难度
以跑步均分、编织中国结、羽毛球采购、香油分装、礼盒包装等学生熟悉场景导入，依托元角分、长度单位、分物线段图直观模型，化解小数除法抽象算理，贴合五年级由具象到抽象的认知规律。
2.知识梯度层层递进，思维螺旋上升
整体路径：基础笔算（除数整数）→转化笔算（除数小数）→近似取值→小数概念拓展→规律探究→综合应用，从单一竖式计算逐步过渡到概念辨析、规律推理、建模解题，难度稳步提升，持续训练转化、归纳推理能力。
3.紧抓运算一致性，重视算理说理
全单元贯穿商不变规律，持续引导学生口述 “如何转化、为什么同步扩倍、小数点如何对齐”，打通整数除法与小数除法内在运算逻辑，拒绝机械背诵计算步骤，突出运算本质是计数单位的平均分。
4.错例辨析与分层习题双线配套
每课时设置典型错例会诊环节，针对小数点移动不同步、漏补 0、取值方法混淆、循环节标注错误等高频问题对比纠错；习题分层设计：基础巩固、变式提升、生活拓展，兼顾学困生达标与优等生思维拓展。
5.融合工具教学与生活建模
专门设置计算器探究课时，借助计算工具降低复杂计算负担，聚焦规律观察推理；单独设置综合解决问题课时，重点训练从文字情境提取数学信息、画图拆分数量关系、建立除法数学模型，强化应用意识。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与运算 □方程与代数 □图形与几何 □数据整理与概率统计
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与运算 小数除法 除数是整数的小数除法(1) 1
除数是整数的小数除法(2) 1
除数是整数的小数除法(3) 1
一个数除以小数(1) 1
一个数除以小数(2) 1
小数除法解决实际问题 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 □转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 课型 学习目标 核心任务 评价标准
3.1《除数是整数的小数除法(1)》 新授课 1. 借助人民币单位换算理解 22÷4 算理，掌握基础竖式计算。 2. 明确商的小数点必须和被除数小数点对齐，规范竖式书写。 3. 体会转化思想，能完整口述单位转化推理过程，会基础验算。 探究 1：例题 22÷4，人民币单位换算，把小数除法转为整数除法。 → 探究 2：对照整数除法竖式，自主标注商的小数点位置，总结对齐规则。 → 探究 3：基础笔算、一步平均分应用题练习，小组互说计算道理。 → 1. 能借助单位换算说清小数转整数的计算逻辑。 2. 竖式小数点对齐无错误，书写规范，笔算正确率达标。 3. 能独立完成习题，主动验算，说理完整清晰。
3.2《除数是整数的小数除法(2)》 新授课 1. 通过 5.6÷7 探究，掌握被除数整数部分小于除数时，个位写 0 占位。 2. 整合例 1、例 2、例 3，归纳除数是整数的小数除法完整计算法则。 3. 能综合三类题型笔算、验算，规范完整书写竖式。 探究 1：例题 5.6÷7，观察 5＜7，讨论个位商 0 的必要性。 → 探究 2：三类题型混合笔算，小组总结统一计算步骤。→ 探究 3：错题整理，归类小数点、补 0、个位商 0 三类易错点。 → 1. 整数部分不够除时主动在个位写 0，无格式错误。 2. 能完整归纳除数是整数的小数除法通用计算方法。 3. 混合题型计算正确率达标，验算步骤完整。
3.3《除数是整数的小数除法(3)》 新授课 1. 结合 400÷75 例题，理解小数末尾添 0 大小不变，余数后补 0 继续除。 2. 掌握除到被除数末尾有余数的完整竖式步骤，规避漏补 0 错误。 3. 整合例 1、例 2 题型，对比梳理两类除数整数除法计算要点。 探究 1：例题 400÷75 竖式演算，发现末尾余数，讨论补 0 的数学依据。 → 探究 2：错例辨析：对比 “不补 0 停止计算” 与规范竖式的区别。 → 探究 3：分层笔算训练，完整口述余数补 0 的计算流程。→ 1. 理解余数补 0 算理，计算时主动添 0 继续除，无遗漏。 2. 竖式步骤完整，计算结果准确，能区分例 1、例 2 题型差异。 3. 能有条理说明：有余数时可添 0 继续平均分。
3.4《一个数除以小数(1)》 新授课 1. 依托商不变规律，理解 7.65÷0.85 转化为整数除法的逻辑。 2. 掌握被除数小数位数≥除数时，同步移动小数点的方法。 3. 梳理 “一看、二移、三算” 基础转化步骤，规范竖式。 探究 1：编中国结例题 7.65÷0.85，同时扩大 100 倍转化为整数除法 765÷85。 → 探究 2：提炼转化三步法，配套同类型基础笔算巩固。 → 探究 3：小组口述转化依据，辨析不移小数点的错误。 → 1. 准确说出商不变规律是转化依据，小数点同步移动。 2. 基础题型竖式书写标准，计算结果准确。 3. 能清晰口述小数转整数除法的完整步骤。
3.5《一个数除以小数(2)》 新授课 1. 结合例题 12.6÷0.28，发现除数小数位数多于被除数，理解被除数末尾补 0 的必要性。 2. 掌握被除数位数不足时末尾补 0、同步扩倍的竖式方法。 3. 整合例 4，归纳一个数除以小数完整通用计算法则。 探究 1：出示 12.6÷0.28，对比除数、被除数小数位数，发现被除数位数不足。 → 探究 2：依据商不变性质，探究被除数末尾补 0，同步扩大 100 倍变为 1260÷28。 → 探究 3：对比例 4、例 5 异同，总结完整计算法则，错例会诊漏补 0 题型。 → 1. 能准确判断被除数位数不足，主动在末尾补 0，同步移动小数点。 2. 竖式无漏 0、小数点错位问题，计算结果准确。 3. 能完整总结所有除数是小数题型的统一计算方法。
3.6《小数除法解决实际问题》 新授课 1. 结合 32÷2.7，掌握四舍五入法截取商近似数，计算多除一位再取舍，规范使用≈。 2. 区分进一法、去尾法适用场景，对比香油分装、丝带包装两道应用题。 3. 能根据生活情境自主选择取值策略，规范分步列式、完整作答。 探究 1：32÷2.7，学习四舍五入求商近似值。 → 探究 2：红豆分装 32÷2.7（进一法）、丝带礼盒 25÷1.5（去尾法），线段图梳理数量关系。 → 探究 3：列表对比三种取值方法适用场景，拓展同类变式应用题。 → 1. 求近似数主动多除一位，正确使用约等号，保留小数位数准确。 2. 能区分进一法、去尾法、四舍五入，清晰说明取值理由。 3. 应用题列式完整，答句贴合生活实际，解题思路表述清晰。
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《除数是整数的小数除法(3)》教学设计
学科 数学 年级 五年级 课型 新授课 单元 第三单元
课题名称 除数是整数的小数除法(3) 课时 第3课时
课前思考 学情诊断分析：学生已熟练掌握除数是整数、除数是小数的小数除法竖式计算，会用省略号表示除不尽的商；具备观察、对比、小组合作探究能力。但存在认知难点：1. 难以理解 “余数重复出现→商循环” 的内在逻辑；2. 分不清循环节起始位置，循环小数简便记法小圆点易标错；3. 混淆有限小数、无限小数、循环小数三者包含关系；4. 对 “无限” 抽象概念感知薄弱，容易误以为所有除不尽的小数都是循环小数。学生能完成竖式计算，但自主提炼循环小数定义、规范数学语言表达能力存在分层差异。
教材分析：本课为人教版五年级上册第三单元例 3（例 7、例 8 整合），是小数除法单元概念拓展课，承接小数除法竖式计算，依托 400 米跑步行程情境，通过三道除不尽除法算式，直观呈现商循环特征；引出循环小数、循环节、简便写法，区分有限 / 无限小数。渗透观察对比、抽象概括、分类归纳数学思想，为后续求循环小数近似值、计算器探索规律、分数小数互化奠定概念基础。 教学材料选择：多媒体课件、竖式练习单、概念辨析卡、小数分类思维导图、错题卡、生活循环现象图片（四季、钟表、星期）。
核心素养目标： 1. 理解产生循环小数的原因，认识循环小数，并能正确运用循环小数表示商。 2. 理解循环小数的意义，认识循环节，能用简便记法表示循环小数。 3. 初步认识无限小数和有限小数，掌握循环小数、有限小数和无限小数之间的关系，能正确区分。 教学重点：认识循环小数、循环节，掌握循环小数简便写法，区分有限小数与无限小数。 教学难点：理解余数重复导致商循环的算理；准确判断循环节起始位置，理清有限、无限、循环小数逻辑关系。
板块设计 环节目标 学习材料 关键问题 时间 分配
复习导入： 回顾小数除法竖式、除不尽的表示方法；借助生活循环现象建立 “循环” 直观认知，搭建具象到抽象桥梁。 课件、前置口算习题卡 400÷75 能除尽吗？ 5分钟
新知探究： 自主竖式计算，对比三道算式商与余数特征，抽象循环小数定义，认识循环节、规范简便记法。 探究学习单、竖式板书模板、循环节标注卡 计算 400÷75、28÷18、78.6÷11，你发现余数和商有什么规律？什么是循环节？怎样简写循环小数？ 20分钟
变式深究： 对比除得尽、除不尽算式，对小数进行分类，厘清有限、无限、循环小数包含关系。 分类练习纸、韦恩图模板、辨析判断题 两个数相除，商有哪两类情况？循环小数属于有限还是无限小数？为什么？ 5分钟
巩固与运用： 分层习题训练，纠正循环节标错、简写漏点、小数分类混淆典型错题，结合行程、平均分解决实际问题。 教材课后习题、分层练习单、改错卡 判断循环小数的关键是什么？写简便形式要注意什么？如何区分有限与无限小数？ 5分钟
总结与评价： 梳理完整概念脉络，提炼记忆口诀，课堂自评互评，固化循环小数核心知识点。 思维导图板书、课堂评价表 本节课学到哪些新概念？“余数循环” 和 “商循环” 有什么联系？ 5分钟
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 按“四舍五入”法求出下列各数的近似数。 2. 计算下面各题，说说你的发现。(保留两位小数)。 3.81÷7 2.83×0.9
独立完成表格，回顾求近似数的方法。 独立列竖式计算，保留两位小数。 联结小数除法及求近似数旧知，为探究循环小数特点铺垫。
二、新知探究 1. 出示教材情境：王鹏 400 米跑步用时 75 秒，求平均每秒跑多少米？ 引导列式 400÷75，板书课题《循环小数》。 2.布置自主探究任务：独立竖式计算 400÷75，巡视收集学生竖式，提问：一直除下去能除完吗？余数、商有什么变化？ 3. 板书竖式拆解：余数反复出现 25，商小数部分不断重复 3，板书 400÷75=5.333…，小结：余数重复，商就会循环。 4. 出示两道对比算式 28÷18、78.6÷11，组织学生分组计算，汇报结果：1.555…、7.14545…。 5. 引导对比三道商，抽象定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 6. 讲解循环节：循环小数中不断重复的数字；示范简便写法：只写一组循环节，首位、末位标小圆点：5.、1.、7.1，强调循环节多位时两端圆点不可漏。 7. 同桌互出循环小数，互相标注循环节、简写。 1. 根据 “速度 = 路程 ÷ 时间” 列出除法算式，思考计算中会出现的新问题。 2.独立竖式演算，发现余数 25 重复、商永远重复 3，无法除尽。 3.小组合作完成两道竖式，对比三道算式，总结商的共同特征。 4.齐读循环小数定义，圈画关键词，识别每道题循环节。 5.模仿规范简写，同桌互相出题、批改，口述循环节。 以竖式直观探究为核心，通过多组算式对比自主提炼概念；分步突破循环节、简便写法两大重点，落实推理意识素养，渗透观察归纳思想。
三、变式深究 1.出示两组算式：①12÷4=3、10÷8=1.25；②7÷3=2.333…、78.6÷11=7.14545…，提问：商分哪两类？ 2. 讲解概念：小数部分位数有限→有限小数；小数部分无限→无限小数。 3. 小组讨论：循环小数是有限还是无限小数？用思维导图板书三者关系：小数包含有限小数、无限小数；无限小数包含循环小数、无限不循环小数。 1. 分组对比算式，按 “除得尽 / 除不尽” 给小数分类，记录两类小数特征。 2. 结合思维导图理解三者逻辑包含关系，完整口述分类依据。 脱离竖式直观，抽象小数分类体系；专项突破易混淆概念，理清逻辑关系，规避概念判断高频错题。
四、巩固与运用 1.用简便形式写出下面的循环小数。 1.555… 1.746746… 0.105353… 计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数。 15÷7 15.3÷72 2.29÷9 3. 观察下面的算式，你发现了什么？ 4.你会比较这些小数的大小吗？试试看！ 5. 判断。(对的画“√”，错的画“×”) (1) 1.9保留三位小数约是1.796。 ( ) (2) 4.95959595是循环小数。 ( ) (3) 循环小数都是无限小数。 ( ) (4) 4.2787878…可以简写成4.7。 ( ) (5) 无限小数一定比有限小数大。 ( ) 6. 16÷37=0.432432… (1) 商的小数点后第99位上的数字是多少？ (2) 商的小数部分前200个数字之和是多少？ 分层完成习题，工整书写竖式，规范标注循环节、简写符号。 独立完成分类题，完整阐述判断依据。 结合生活情境列式计算，解释循环小数实际含义。 集体纠错，整理错题，标注课堂易错点。 分层练习适配不同水平学生；概念辨析强化核心知识点，结合生活应用题落实应用意识，培养自查纠错习惯。
五、总结与评价 1. 分层引导回顾：今天认识了哪些小数新概念？为什么商会循环？循环小数简写要注意什么？ 2. 师生共同梳理思维导图，提炼记忆口诀：除不尽，有循环，重复数字循环节；首尾点点简记法，有限无限分两类，循环都属无限列。 3. 对竖式规范、概念说理、纠错认真的学生进行课堂表扬、小组互评打分。 1. 集体回顾知识点，分享探究收获，互相提醒循环小数易错点。 2. 齐读记忆口诀，整理课堂笔记，标注核心定义。 3. 完成课堂自我评价，反思概念混淆、简写失误等漏洞。 系统搭建完整知识框架，口诀简化抽象概念记忆；多元课堂评价激励学生，培养严谨归纳、主动反思的数学学习习惯。
板书设计
作业设计 课前预设作业： 1.竖式计算：10÷3、25÷4，观察两道商有什么不同。 2.搜集 2 个生活中 “不断重复” 的循环现象，简单记录。 3.预习思考：400÷75 一直除下去，商会停止重复吗？ 课后跟进作业（提升题+拓展题）： 能力提升： 1.判断：对的打√，错的打 × ①循环小数一定是无限小数（） ②无限小数都是循环小数（） ③3.0606是循环小数（） 2.竖式计算，标注循环节并用简便形式书写：14÷9、30.1÷11、50÷6 3.分类填空： 2.、4.85、0.13636…、9.12345、3.1415… 有限小数：________ 无限小数：________ 循环小数：________ 拓展迁移： 生活应用题：把 20 千克大米平均分 7 户，每户分得多少千克？结果用简便循环小数表示。 改写练习：把4.、12.还原出 5 位小数。
教学反思 1. 预设与课堂实际差距及处理：课前预设学生能快速发现 “余数重复→商循环”，课堂中部分学生仅能观察数字重复，无法理解内在逻辑；还有学生容易把循环节圆点只标末尾、多位循环节漏标首位圆点。课堂临时增加竖式彩色标注（红笔圈重复余数、蓝笔圈循环数字），增设 “说算理” 双人互查活动，每道循环小数简写强制口述循环节范围，对比展示正确、错误简写范例，及时纠正认知误区。 2.课堂分层与学性：课堂采用自主计算 + 小组讨论模式，全员参与竖式演算；基础判断、简单竖式提问学困生；概念说理、拓展数字规律思考题交由优等生展示；每位学生都有上台标注循环节、分类板演机会，兼顾运算薄弱生与思维拓展型学生。 3.现存短板与改进方向：少数学生脱离竖式直观后，无法区分循环小数与无限不循环小数，概念分类易混淆；部分学生竖式计算速度慢，影响概念探究进度。 后续改进：配套循环小数分类思维导图随堂练习，持续数形结合；增设 “循环节找错” 专项闯关习题；课前增加 5 分钟小数除法竖式速算训练，夯实计算基础；拓展圆周率等无限不循环小数实例，丰富学生认知，厘清小数分类边界。
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