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29.2.3 圆周角（第1课时） 教学设计
课题 29.2.3 圆周角（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解圆周角的概念，会识别圆周角； （2）掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算； （3）经历圆周角定理的探究与证明，体会分类讨论、转化与化归的思想。
教学重点 圆周角的概念和圆周角定理。
教学难点 用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定。
教学方法 类比迁移法、观察猜想法、分类讨论法 教学准备 几何画板、直尺、量角器、多媒体课件
课后练习 必做：教材第130页练习第3题、教材第132页习题第3题；巩固：完成P129练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习类比
引入概念 【复习类比，引入概念】 1.用几何画板显示圆心角（顶点在圆心的角，如∠AOB）。 2.教师将圆心角的顶点进行移动： （1）当角的顶点在圆心时，这样的角叫圆心角（如∠AOB）；（2）当角的顶点运动到圆周上时，如∠ACB 这样的角叫什么角？ 学生猜出“圆周角”，教师给予鼓励，引出课题。 3.总结圆周角概念：鼓励学生类比圆心角尝试给圆周角下定义，再追问“是不是顶点在圆周上的角就是圆周角”，出示下图辨析： 通过观察，形成圆周角必须同时具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交。 圆周角定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角。 比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”？（学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此学习圆周角要注意“两边都与圆相交”这一条件。） （设计意图：由圆心角迁移类比出圆周角，通过辨析强化“顶点在圆周上、两边都与圆相交”两个条件。） 观察角的顶点由圆心移到圆周，类比圆心角给圆周角下定义，辨析是否顶点在圆上的角都是圆周角。 以类比建立圆周角概念，通过辨析突出重点条件。
二、观察猜想
寻找规律 【观察猜想，寻找规律】 1.教师出示同一条弧所对圆周角为 90°、圆心角为 180°，以及圆周角为 45°、圆心角为 90° 的特殊图形，提出问题：在这两个图形中，对同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系？ 学生观察、测量后容易得出：对同一条弧的圆周角是圆心角的一半。 2.教师提出：在一般情况下，对同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过特例，学生猜想得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 命题（待证明）：一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角 的一半，即 （设计意图：从特殊角的直观测量归纳出一般猜想，为证明圆周角定理做铺垫。） 测量特殊图形中对同一条弧的圆周角与圆心角，归纳“圆周角是圆心角的一半”，提出待证命题。 由特殊到一般提出猜想，激发证明欲望。
三、动手画图
证明定理 【动手画图，证明定理】 1.猜想是否正确，还有待证明。引导学生结合命题画出图形，写出已知、求证。 2.分小组交流所画图形：所画图形是否相同？是否合理？得出一条弧所对的圆心角与圆周角可能有三种位置：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部（必要时教师电脑演示顶点运动补全三种情况）。 3.选最特殊、最容易证明的“圆心在圆周角的一边上”进行证明，写出过程，教师点评。 情形一（圆心在边上）：连 OA，作辅助角，由 OA=OC 得 ∠A=∠C，又 ∠AOB=∠A+∠C（外角定理），故 。 4.把“圆心在圆周角内部、外部”的情形，通过添加辅助线（过圆周角和圆心角的顶点作直径）转化成“圆心在边上”的情形来证明；若学生不能构造，教师给予提示，小组交流展示证明过程。 5.将命题改为定理——圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即 。 （设计意图：按“边上—内部—外部”分类证明，用连直径化归，落实圆周角定理及分类讨论思想。） 画图写已知求证，识记三种位置，先证“圆心在边上”，再经连直径转化证内、外部两种情形，归纳圆周角定理。 以分类讨论和化归完成定理证明，突破证明难点。
四、达标检测
反馈新知 【达标检测，反馈新知】 1.教材第129页 练习第1题。 2.如图，∠BAC 和∠BOC 分别是☉O 中弧 BC 所对的圆周角和圆心角，若∠BAC=60°，那么∠BOC=______。（答案：120°） 3.如图，AB、AC 为☉O 的两条弦，延长 CA 到点 D，使 AD=AB，如果∠ADB=30°，那么∠BOC=______。（答案：120°） 老师巡视指导，评讲第3题：由等边对等角及外角先求∠BAC=60°，再由圆心角是圆周角的 2 倍得∠BOC=120°。 （设计意图：以梯级练习当堂反馈圆周角定理的识别、论证与计算。） 独立完成教材第129页练习第1题及检测2、3，应用圆周角定理求圆心角并说明依据。 当堂检测圆周角定理的理解与运用，及时查漏补缺。
五、课堂小结
布置作业 【课堂小结】回顾梳理 1.圆周角概念及定理：顶点在圆周上、两边都与圆相交的角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3.数学思想方法：类比（从一般到特殊）、分类讨论、转化与化归。 【布置作业】分层作业 教材第130页 练习第3题；教材第132页 习题第3题。 （设计意图：结构化小结圆周角概念与定理，以教材作业巩固定理的应用。） 学生梳理圆周角概念、定理及证明思想方法，记录作业。 总结概念定理与分类、化归思想，以作业巩固定理应用。
板书设计
29.2.3 圆周角（第1课时） 一、圆周角概念 顶点在圆周上·两边都与圆相交 二、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半 ∠ACB = 三、定理证明 三种位置：边上·内部·外部 连直径·化归为“边上”证明 四、应用 例、练习、检测 ★ 数学思想：类比·分类讨论·化归 学生板演区
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