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29.3 弧长和扇形面积（第1课时） 教学设计
课题 29.3 弧长和扇形面积（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算； （2）类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能利用扇形面积公式进行相关计算； （3）体会部分与整体、化未知为已知的转化思想。
教学重点 弧长和扇形面积公式的推导过程以及公式的应用。
教学难点 类比弧长公式的推导来获得扇形面积公式的推导过程。
教学方法 类比推导法、转化化归法、讲练结合法 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规
课后练习 必做：教材第138页习题29.3第1题(1)(2)及第2~7题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 如图是教材章前图中车轮的一部分，如果一只蚂蚁从点 O 出发，爬到 A 处，再沿弧 AB 爬到 B 处，最后回到点 O 处。若车轮半径 OA=60 cm、∠AOB=108°，你能算出蚂蚁所走的路程吗？ 这个问题就涉及到计算弧长，正是本节课要研究的第一个问题。 （设计意图：以车轮蚂蚁的实际问题激发兴趣，引出弧长计算。） 观察车轮蚂蚁路径，思考如何求所走的路程。 以生活化情境引出弧长问题，激发求知欲。
二、探究新知
弧长公式 【探究新知】弧长公式 思考：1.弧是圆的一部分，想一想，如何计算圆周长？ 2.圆周长可看作多少度的圆心角所对的弧长？(360°)　3.1° 的圆心角所对的弧长是多少？2°、3°、n° 呢？ 圆周长 ，看作 360° 圆心角所对的弧长；则 1° 的圆心角所对弧长为 ，n° 的圆心角所对弧长为 。 4.推导出弧长公式。强调：n 表示 1° 的圆心角的倍数，n 不带单位，180 也如此。 弧长公式：（n 为圆心角度数，R 为半径）。 5.对于公式 l 一定时，当 R 一定时，你能从函数的角度理解弧长 l 和圆心角 n 的关系吗？（l 是 n 的正比例函数。） （设计意图：从圆周长这一“整体”分割出“1°弧”再到“n°弧”，用比例法推导弧长公式。） 回顾圆周长公式，推想 1°、n° 圆心角所对弧长，归纳出弧长公式并理解 n 的意义（倍数、不带单位）。 以整体—部分—比例关系推导弧长公式，理解公式的由来与用法。
三、达标检测1 【达标检测1】 1.用公式计算活动1 中蚂蚁所走的路程。 （蚂蚁路程为 ，即 OA、弧 AB、OB 三段之和为 60+60+36π=120+36π (cm)。 2.解决教材第134页 例1。 3.完成教材第136页 练习第 1、2 题。 4.在半径为 12 的☉O 中，60° 圆心角所对的弧长是（　　） A．6π　　B．4π　　C．2π　　D．π　　 【答案】B（ ） （设计意图：即时运用弧长公式求解，巩固公式的落地与计算。） 用弧长公式求蚂蚁路程、教材例1与练习，完成弧长选择题并说明依据。 当堂运用弧长公式，检测公式掌握与计算能力。
四、自主探究
扇形面积公式 【自主探究】扇形面积公式 1.观察活动1 中蚂蚁所围成的图形是什么？请独立阅读教材第135页 第1自然段。（扇形：由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。） 2.弧是圆的一部分，可把弧长问题转化为圆周长问题；那么扇形呢？你能类比弧长的推导方式求出扇形的面积公式吗？ 类比可得：圆心角 360° 的扇形的面积即圆面积 ，n° 的扇形面积为 。 3.比较弧长公式和扇形面积公式，推导出扇形面积和对应弧长的关系。 由 、，推得扇形面积 （扇形面积等于弧长与半径乘积的一半）。 （设计意图：类比弧长推导扇形面积公式，并建立“面积与弧长、半径”的联系。） 类比弧长推导，得出扇形面积公式及其与弧长、半径的联系，理解“面积=弧长与半径积的一半”。 通过类比与推导建立扇形面积公式，体会转化与联系的观点。
五、反馈新知 【反馈新知】 1.已知扇形的半径为 3 cm、面积为 3π cm ，则扇形的圆心角是______°，扇形的弧长是______cm（结果保留π）。 【答案】由 得 n=120°；再由 ，故圆心角 120°、弧长 2π cm。 2.师生共同完成教材第135页 例2。 3.完成教材第136页 练习第3题。 4.如图，已知扇形的圆心角是直角、半径是 2，则图中阴影部分的面积是______（结果不计算近似值）。 【答案】π-2（阴影=扇形-直角三角形==π-2）。 5.方法小结：（1）求未知图形面积时，应把未知图形化为什么图形？（分割为扇形、三角形等已知图形）（2）通过割补、作辅助线把未知图形化为已知图形。 （设计意图：以扇形面积公式反馈计算，渗透割补与化未知为已知的方法。） 求已知面积与半径下的圆心角和弧长，完成例2、练习与象限阴影面积，归纳化未知为已知的方法。 应用扇形面积公式联系弧长，体会割补与转化思想。
六、达标检测2 【达标检测2】 1.120° 的圆心角所对的弧长是 12π cm，则此弧所在的圆的半径是______。【答案】18 cm 2.如图，在 4×4 的方格中（共有 16 个方格），每个小方格都是边长为 1 的正方形，O、A、B 分别是小正方形的顶点，则扇形 OAB 的弧长等于______（结果保留根号及π）。 3.如图，矩形 ABCD 中，AB=1、AD=√2，以 AD 的长为半径的☉A 交 BC 边于点 E，则图中阴影部分的面积为______。【答案】由扇形与三角形的面积差求得，结果含 π 项】 老师点评：第2、3题均需先确定扇形的圆心角与半径，再用弧长、面积公式计算，注意保留要求的精确形式。 （设计意图：以检测2 检验弧长与扇形面积公式在复杂图形中的应用。） 求弧所对圆半径，分析方格扇形与矩形阴影图形，用公式计算弧长与面积。 当堂检测斜线段在方格与图形割补中的弧长、面积问题。
七、课堂小结
布置作业 【课堂小结】回顾梳理 1.弧长公式、扇形的面积公式是什么？是怎样推导的？如何理解？有什么作用？有什么联系？ ；；（已知一方可求另一方）。 2.解决部分与整体关系的问题，应学会用比例的方法；解决不规则图形面积问题，用割补、作辅助线加转化化归的思想。 【布置作业】分层作业 教材第138页 习题29.3 第1题的（1）（2）题，第 2~7 题。 （设计意图：结构化小结两个公式及推导思想，以教材作业巩固弧长与扇形面积的应用。） 学生归纳弧长、扇形面积公式及推导方法，记录作业。 总结公式体系与转化思想，以作业落实应用。
板书设计
29.3 弧长和扇形面积（第1课时） 一、弧长公式 圆周长 → 1°弧长 n°弧长 l = 二、扇形面积公式 扇形面积 S = 与弧长的联系 S = 三、公式应用 已知 l、S、n、R 中部分量求其余 例1、例2、检测、练习 ★ 数学思想：整体—部分·转化化归·割补 学生板演区
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