资源简介

29.3 弧长和扇形面积（第2课时 · 圆锥） 教学设计
课题 29.3 弧长和扇形面积（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）知道圆锥各部分的名称，知道圆锥的侧面展开图是扇形，能够计算圆锥的侧面积和全面积； （2）理解圆锥与扇形、圆之间的关系，体会转化的思想。
教学重点 圆锥侧面积的计算；弧长和扇形面积公式的应用。
教学难点 圆锥展开图与圆锥各部分的对应关系。
教学方法 类比迁移法、展开操作法、讲练结合法 教学准备 圆锥模型、扇形纸片、多媒体课件
课后练习 必做：教材第138~139页习题7；巩固：教材第138页练习1、2。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 【复习导入】 1.n° 的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式是什么？并讲讲它们的异同点。 ，。 异同点：两式中的 n 都不带单位（表示 1° 的倍数）；弧长公式分母是 180、半径是 R 的一次方；扇形面积公式分母是 360、分母含 ，易混淆须记清。 2.问题：如图是一种太空囊的示意图，其外表面须作特别处理以承受重返大气层时的摩擦高热。该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成？ 老师点评：应接受热处理的面积由三部分组成——圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底圆的面积。其中圆柱侧面积与底圆面积已学过，唯有圆锥的侧面积尚不会求，下面探究它。 （设计意图：由公式温习过渡到太空囊实际情境，引出圆锥侧面积问题。） 复述弧长与扇形面积公式及异同，分析太空囊受热处理面积的组成部分。 温习公式并借太空囊情境引出圆锥侧面积探究。
二、探究新知
圆锥 【探究新知】圆锥的侧面积与全面积 我们学过圆柱的侧面积是沿它的母线展开成长方形求得的。同样地，把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫作圆锥的母线。 问题：与圆柱的侧面积求法一样，沿圆锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥母线长为 l、底面圆半径为 r，则这个扇形的半径等于______、扇形的弧长等于______，从而圆锥的侧面积为______、全面积为______。 学生分组讨论，教师请两三位同学回答，并小结：扇形的半径就是圆锥的母线；扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。 由展开图扇形面积 及 得 n=…，代入化简得圆锥侧面积： ；圆锥全面积 = 侧面积 + 底圆面积 = 。 圆锥侧面积公式：侧面积 = π·底面半径·母线；全面积 = 侧面积 + π·半径 。 （设计意图：类比圆柱展开，由扇形与圆的对应关系推导圆锥侧面积与全面积。） 沿母线展开圆锥侧面为扇形，明确扇形的半径即是母线、弧长即底面周长，推导侧面积 S=πrl 与全面积 πrl+πr 。 通过展开操作推导圆锥的侧、全面积公式，体会转化思想。
三、典型例题
例1 【典型例题】例1（圣诞纸帽） 例1　圣诞节将近，某商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 58 cm、高为 20 cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少纸？（结果精确到 0.1 cm ） 【分析】要计算制作 20 顶纸帽至少要用多少纸，只须计算纸帽的侧面积，再乘以 20 即可。 [解] 设纸帽的底面半径为 r cm、母线长为 l cm，由底面周长得，故。 母线 (cm)。 侧面积 (cm )。 (cm )，所以至少需要 12 777.4 cm 的纸。 【讲评要点】底面周长即展开扇形弧长，母线即展开扇形半径；直角三角形（半径、高、母线）是求母线、半径的常用桥梁。 （设计意图：以圣诞纸帽应用侧面积公式，综合勾股定理求母线。） 由底面周长求半径，经直角三角形勾股定理求母线，用 S=πrl 算单顶侧面积再乘 20。 通过例1把侧面积、勾股定理与方程结合，解决实际应用问题。
四、典型例题
例2 【典型例题】例2（扇形卷成圆锥） 例2　已知扇形的圆心角为 120°、面积为 300π cm 。（1）求扇形的弧长。（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 【分析】（1）由扇形面积公式求出 R，再代入弧长公式求得。（2）卷成圆锥后，扇形的弧长即圆锥底面圆的周长，可求底面半径；轴截面是以底面圆直径为底、母线为腰的等腰三角形。 [解]（1）如图： ， ，， (cm)。 （2）如图：扇形的弧长即圆锥底面圆的周长， ，，母线 R=30。 轴截面等腰三角形的高即圆锥的高：。 (cm )。 因此，扇形的弧长是 20π cm，卷成圆锥的轴截面面积是 cm 。 【讲评要点】“扇形弧长=底面圆周长”是把扇形围成圆锥的关键桥梁；轴截面高用勾股定理由母线、底面半径求得。 （设计意图：由扇形的弧长、半径到圆锥底面、轴截面，打通“扇形—圆锥”的转化关系。） 用扇形面积求 R、弧长公式求 l，再由“扇形弧长=底面周长”求底面半径，勾股定理求轴截面高并算面积。 通过例2建立扇形与圆锥的对应关系（弧长=底面周长、母线=扇形半径）。
五、巩固练习 【巩固练习】 完成教材第138页 练习 1、2，运用圆锥的侧面积与全面积公式进行计算。 老师巡视指导，请学生板演并说明依据，及时纠正公式混用。 （设计意图：以当堂练习巩固圆锥侧面积、全面积公式的应用。） 独立完成教材第138页 练习 1、2，用侧面积、全面积公式计算圆锥问题。 当堂检测圆锥面积公式的运用，及时查漏补缺。
六、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 本节课应掌握：1.什么是圆锥的母线；2.会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题。 侧面积 ，全面积 。 关键对应：展开扇形半径=圆锥母线，扇形弧长=底面圆的周长），用勾股定理沟通半径、高、母线。 （设计意图：结构化总结圆锥母线及侧、全面积公式，突出扇形与圆的对应关系。） 学生归纳圆锥母线定义、侧面积与全面积公式及扇形—圆锥的对应关系。 梳理圆锥侧面积知识，强化转化与联系的思想。
七、布置作业 【布置作业】分层作业 教材第138~139页 习题7；巩固：教材第138页 练习 1、2。 （设计意图：以教材习题与练习巩固圆锥侧面积与全面积的运用。） 记录作业，课后完成习题并复习圆锥侧面积推导。 必做与巩固结合，夯实圆锥面积公式的应用。
板书设计
29.3 弧长和扇形面积（第2课时 · 圆锥） 一、圆锥母线 连接顶点与底面圆周上一点的线段 二、圆锥侧面积与全面积 展开图：扇形（半径=母线·弧长=底面周长） 侧面积 S侧 = πrl 全面积 S全 = πrl + πr 三、关键对应 直角三角形：半径·高·母线 例1、例2（扇形卷圆锥）、练习 ★ 数学思想：展开·转化·联系 学生板演区
教学反思

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