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3.1 圆的有关概念（第2课时）教案
课题：3.1 圆的有关概念（第2课时）
课型：新授课
设计时间：2026年09月15日
学习目标及评价
学习核心内容 学习目标 评价设计(指向学习目标)
核心内容1：确定圆的条件探究过一点、两点、三点画圆的规律，掌握“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的核心定理，理解共线三点无法作圆的原因。 1. 经历动手作图探究，掌握过一点、两点可以作无数个圆，过不在同一直线上三点只能作唯一一个圆。2. 理解三点定圆的原理，明确圆心为线段垂直平分线的交点。3. 能区分共线与不共线三点的作圆差异，熟练应用定理判断能否确定唯一圆。 1. 过程评价：观察学生作图过程，检查是否掌握找垂直平分线确定圆心的方法。2. 口头评价：随机抽查学生口述三点定圆定理及适用条件。3. 基础练习：完成判断三点能否确定圆的辨析题，正确率达标90%以上。
核心内容2：三角形的外接圆与外心掌握三角形外接圆、圆的内接三角形、外心的概念，理解外心的定义与性质，掌握不同三角形外心的位置特征。 1. 准确识记外接圆、内接三角形、外心的定义，理解外心是三角形三边垂直平分线的交点。2. 掌握外心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。3. 掌握锐角、直角、钝角三角形外心的位置规律，能简单应用性质解题。 1. 识图评价：能准确识别三角形外接圆、外心位置。2. 解题评价：能利用外心性质求线段长度、半径。3. 归纳评价：学生能自主总结三类三角形外心位置特点，完成归类辨析。
学习过程设计
一、复习回顾，情境导入（5分钟）
1. 旧知回顾：复习上节课圆的定义、点与圆的位置关系，明确圆心定位置、半径定大小。提问：确定一个圆需要几个条件？
2. 情境设问：破损的圆形圆盘，如何利用剩余碎片复原完整的圆？引发学生思考，导入本节课核心：探究确定圆的条件。
3. 揭示课题：3.1 圆的有关概念（第2课时）——确定圆的条件与三角形外接圆
二、动手探究，建构新知（22分钟）
探究1：探究不同点数确定圆的个数
1. 过一点作圆：让学生自主尝试，发现经过平面内任意一点可以作无数个圆，圆心可在平面内任意位置，半径任意。
2. 过两点作圆：过平面内两个点A、B作圆，引导学生发现圆心必须到A、B距离相等，因此圆心在AB的垂直平分线上，可作无数个圆。
3. 过三点作圆：分两种情况探究
（1）三点在同一直线上：三条垂直平分线互相平行，无交点，无法作圆；
（2）三点不在同一直线上：两条垂直平分线有唯一交点，即圆心，可作唯一的一个圆。
4. 定理归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
探究2：三角形外接圆相关概念
1. 概念生成：任意三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任意三角形都有唯一一个外接圆。
①外接圆：经过三角形三个顶点的圆；
②内接三角形：这个三角形叫做圆的内接三角形；
③外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆圆心。
2. 外心核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，距离即为外接圆半径。
探究3：不同三角形外心的位置规律
师生画图归纳总结：
1. 锐角三角形：外心在三角形内部；
2. 直角三角形：外心在斜边中点（斜边为外接圆直径）；
3. 钝角三角形：外心在三角形外部。
重点强调：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，是常用解题结论。
例题精讲
例题：已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，求△ABC外接圆的半径。
解题思路：利用勾股定理求斜边AB=10，根据直角三角形外心性质，半径r=AB=5。规范书写解题步骤，强化结论应用。
三、当堂巩固，分层训练（10分钟）
1. 基础辨析：判断正误：①三点确定一个圆；②三角形外心一定在三角形内部；③直角三角形外接圆圆心为斜边中点。
2. 基础计算：已知锐角三角形三个顶点在圆上，外心到顶点距离为5，求外接圆半径。
3. 提升应用：已知钝角△ABC，判断其外心位置，并说明外心性质。
师生互评：集中纠正“三点确定一个圆”缺少前提条件的典型错误，强化定理严谨性。
四、课堂小结，梳理体系（3分钟）
1. 核心定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
2. 核心概念：外接圆、内接三角形、外心。
3. 外心性质：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。
4. 特殊结论：直角三角形外接圆半径=斜边一半。
作业设计
用时：10分钟
作业类别：1. 选用 □改编 □自编 2. 书面练习类 □口头训练类 □活动实践类
作业内容：
1. 基础作业：教材课后对应习题，熟记三点定圆定理、外心定义与性质，规范解题步骤。
2. 提升作业：已知直角三角形两直角边长为9、12，求其外接圆的半径。
3. 拓展作业：画图说明锐角、直角、钝角三角形外心位置，并整理对比表格。
板书设计
3.1 圆的有关概念（第2课时）
一、确定圆的条件
1. 过一点、两点：无数个圆
2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆
3. 圆心：线段垂直平分线交点
二、三角形外接圆
1. 外接圆、内接三角形定义
2. 外心：三边垂直平分线交点
3. 性质：到三顶点距离相等（半径）
三、外心位置
锐角△：内部 直角△：斜边中点 钝角△：外部
四、常用结论：Rt△外接圆半径r=斜边
教学反思
亮点：本节课以破损圆盘复原情境导入，贴合生活，激发探究兴趣。通过分层作图探究，循序渐进推导三点定圆定理，符合学生认知规律。重点突破三角形外心的性质与位置规律，结合直角三角形典型例题，落实重难点。课堂评价贴合学习目标，分层练习兼顾全体学生，有效培养学生几何直观与逻辑推理素养，符合温州教学常规要求。
不足：学生容易遗漏定理前提“不在同一直线上”，概念严谨性不足；对三类三角形外心位置的规律记忆容易混淆；部分学生不会利用垂直平分线找圆心，作图能力薄弱。
改进措施：后续增加定理易错辨析专项练习，强化数学语言的严谨性；通过画图对比、表格归纳帮助学生熟记外心位置规律；增加尺规作图实操训练，提升学生动手作图与几何应用能力，夯实几何基础。

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