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25.1 一元二次方程的概念 教学设计
课题 25.1 一元二次方程的概念 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能从实际问题中抽象出方程知识； （2）感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。
教学重点 一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用。
教学难点 根的作用的理解。
教学方法 情境探究、归纳抽象、讲练结合 教学准备 多媒体课件、几何画板
课后练习 完成检测反馈及补充题，并布置课后分层小练。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 问题1　如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm、宽 50 cm。在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积是 3600 cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形边长为 x cm，考虑从两个角度列方程： 角度一：底面长×宽=底面积，得 ； 角度二：底面积=大长方形面积-四个小正方形面积-四个小长方形面积，得 ，整理得 。 问题2　要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛。比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 全部比赛共 28 场。若设邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x-1) 个队各赛一场，且甲对乙与乙对甲为同一场比赛，故全部比赛共 ·x(x-1) 场，可得方程： 即 ，去分母得 ，整理得 。 （设计意图：由实际问题入手设置情境，让学生初步感受一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的数学模型。） 设未知数列无盖方盒与排球比赛方程，从不同角度列式并整理。 用两个现实情境引入，激发兴趣、建立方程模型意识。
二、探索归纳 【探索归纳】观察下列得到的方程： (1) ；(2) ；(3) 。 学生口答：上面几个方程整理后含有几个未知数？按整式中多项式的规定，它们最高次数是几次？有等号吗？ 结论：(1) 都只含一个未知数 x；(2) 最高次数都是 2 次；(3) 都有等号，是方程。 归纳定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫作一元二次方程。 一般形式：（a≠0）。其中 是二次项、a 是二次项系数； 是一次项、b 是一次项系数；c 是常数项。 思考：为什么规定 a≠0？ 若 a=0，则二次项消失，方程退化为一次方程（或不可能是一次方程），故必须 a≠0，以保证“二次”。 强调：一元二次方程定义中的三个条件——(1) 是整式方程；(2) 只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是 2，缺一不可。 （设计意图：由观察三式到口答归纳，抽象出一元二次方程定义与一般形式。） 观察三方程口答未知数个数、最高次数、是否为方程；归纳定义三条件与一般形式及各项名称；讨论 a≠0 的原因。 经历观察—口答—归纳，掌握一元二次方程定义与一般形式。
三、新知应用 【新知应用】例1　将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数。 解：去括号得 ，移项、合并同类项，得一般形式 。其中二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10。 易错提醒：化为一般形式时要注意去括号、移项后各项符号；一次项、常数项系数要连同符号一起判断。 例2　猜测方程 x -x-56=0 的解是什么？ 可取 x=1、2、3、4、5……代值尝试，发现 x=8 时等号成立，故 x=8 是方程的一个解。 归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根。 （设计意图：以例1 巩固化一般形式与指系数，以例2 引出根的定义。） 自主化简 3x(x-1)=5(x+2) 并指各项系数；尝试代入求 x -x-56=0 的根，总结解法。 通过化简与试根，深化一般形式与根的概念。
四、检测反馈 【检测反馈】 完成教材 P3 练习第 1、2 题（按示例将方程化为一般形式并指出二次项系数、一次项系数、常数项）。 补充习题：将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项。 解：，即 ，合并得 ，两边同除以 2 得 。故二次项 、系数 1；一次项 、系数 1；常数项 -2。 （设计意图：结合教材练习与补充题当堂巩固化一般形式与指系数。） 完成教材与补充题：展开、去括号、移项、合并，化为一般形式并指系数。 当堂检验一般形式与各项系数辨析。
五、课堂小结 【课堂小结】 1.一元二次方程的概念：形如 ax +bx+c=0（a≠0）的方程；定义要求的三个条件要灵活运用，用以判断方程是否为一元二次方程，或由一元二次方程来确定某些字母的值及取值范围。 2.一元二次方程的一般形式 ax +bx+c=0（a≠0）及二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念。 （设计意图：小结定义三条件与一般形式各项名称，深化概念。） 回顾一元二次方程定义三条件与一般形式各项名称。 结构化总结本课核心概念。
板书设计
25.1 一元二次方程的概念 一、定义 等号两边是整式，一元且最高次数为 2：（a≠0） 二、一般形式各项 二次项 ax （系数 a）｜一次项 bx（系数 b）｜常数项 c 三、根的定义 使方程两边相等的未知数的值（方程的解/根） ★ 建模思想：实际问题 → 一元二次方程 学生板演区
教学反思

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