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25.2.2 公式法 教学设计
课题 25.2.2 公式法 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）经历公式推导过程，加强推理能力训练，会用公式法解一元二次方程； （2）在推导过程中体会化归这一数学思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握公式法知方程的解。
教学重点 求根公式的推导、公式的正确使用。
教学难点 求根公式的推导。
教学方法 类比推导、讨论归纳、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成检测反馈及例2其余练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】我们知道，对于任意一个有解的一元二次方程，都可以用配方法求出它的两个实数根。事实上，任何一个一元二次方程都可以写成 ax +bx+c=0 的形式，我们能否也用配方法求出它一般的解呢？ （设计意图：回顾配方法一般过程，尝试对一般式求通解，水到渠成导入公式法。） 回顾配方法解一元二次方程一般过程，思考对一般式 ax +bx+c=0 是否也能配方求解。 由具体到一般，激发推导求根公式的动机。
二、探索归纳 【探索归纳】活动1　观察两个方程，思考它们有何异同？ ① ；② （a≠0） 活动2　用配方法的一般步骤同时对两个方程求解： 第 1 步（移项）：，； 第 2 步（系数化 1）：，； 第 3 步（配方）：，； 第 4 步（写成 (x+m) =n 形式）：，； 第 5 步（直接开平方）：由于 4a >0，当右边非负时可开方：， 活动3　观察右边式子 (b -4ac)/4a ，在 a≠0 时对 b -4ac 的值与 0 的大小关系进行讨论： 当 时，方程有两个不等的实数根；当 时，；当 时，方程无实数根。 活动4　归纳：一般地，一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）：当 b -4ac≥0 时，它的实数根为 （b -4ac≥0）。我们把式子 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母 Δ 表示，即 Δ=b -4ac；利用求根公式解方程的方法叫作公式法。 活动5　用公式法解方程 6x -7x+1=0： a=6，b=-7，c=1，Δ=≥0，，故 、。 活动6　总结用公式法解题一般步骤：① 把方程整理成一般形式，确定 a、b、c 的值，注意符号；② 求出 Δ=b -4ac 的值，由 Δ 与 0 的大小关系确定根的情况；③ 在 Δ≥0 的前提下，把 a、b、c 代入求根公式 x=(-b±√(b -4ac))/(2a) 求出方程的根。 （设计意图：把具体方程与一般式同步配方推导，再讨论判别式，得到求根公式与公式法步骤。） 对比 6x -7x+1=0 与 ax +bx+c=0，按移项—化1—配方—写 (x+m) =n—开方同步推导；讨论 (b -4ac)/4a 与 0 的关系；归纳求根公式并解第一个方程；总结三步流程。 以具体方程带动一般式推导，完整建构公式法与判别式。
三、新知应用 【新知应用】例1　不解方程，判别下列各方程根的情况： (1) 。【答】Δ=1-4=-3<0，无实数根】 (2) 。【答】Δ=9-8=1>0，有两个不等实根】 (3) 。先化一般式 ，Δ=1+24=25>0，有两个不等实根】 方法提醒：判断前必须先化为一般式再定 a、b、c，否则符号易错。 例2　用公式法解下列方程： (1) 。解：a=1,b=-4,c=-7，Δ=16+28=44，，故 x =2+√11、x =2-√11。 (2) 。解：a=2,b=-2,c=1，Δ=4-8=-4<0，原方程无实数根。 (3) 。化一般式 ，Δ=16+20=36，，故 x =1、x =。 (4) 。化一般式 ，Δ=64-68=-4<0，原方程无实数根。 引导思考：(1) 什么情况下根的取值为正数？(2) 列方程解决实际问题在取根时应特别注意什么？ 【引导】判别式与如何“同号、异号、含零”决定根的正负；实际问题取根还要结合题意舍去不合实际的负根。 （设计意图：例1 掌判别式定性，例2 掌公式法定量求解，并关注实际取根。） 自主用判别式判例1 三题根的情况并上板演算；用公式法完整解例2 四题，互查书写格式；回答取根正负与实际问题取舍。 通过例1、例2 落实判别式与公式法的完整使用。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.关于 x 的方程 有两个实数根，则 m 的取值范围是______。【答案】Δ=4-4m≥0，即 m≤1】 2.若 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（　　）A.k>　B.k> 且 k≠0　C.k<　D.k≥ 且 k≠0。【答案】Δ=(2k+1) -4k =4k+1>0 且 k≠0，选 B】 3.方程 的根是（　　）【答案】Δ=16-24=-8<0，方程无实数根】 4.解下列方程： (1) ：【答案】x =2、x =-3】(2) ：【答案】】 (3) ：【答案】】(4) ：【答案】，x =0、x =】 (5) ：【答案】，x=±√3】(6) ：【答案】，】 （设计意图：通过取值范、选择与六道解方程当堂落实判别式与公式法。） 由 Δ 求参数范围；判别判别式与系数条件选k的取值范围；判定无实数根；用公式法完整解六方程并核对格式。 当堂检测判别式定性与公式法定量求解。
五、课堂小结 【课堂小结】本节课应掌握： (1) 求根公式的概念及其推导过程；(2) 公式法的概念；(3) 应用公式法解一元二次方程的基本步骤；(4) 初步了解一元二次方程根的情况（Δ>0 两不等根、Δ=0 两等根、Δ<0 无实根）。 核心公式：（b -4ac≥0）。 （设计意图：结构化小结公式法与根情况，强化归纳。） 归纳求根公式、公式法步骤及三类根的情况。 形成公式法的整体认知。
板书设计
25.2.2 公式法 一、求根公式 ax +bx+c=0（a≠0）：（b -4ac≥0） 二、判别式 Δ=b -4ac：>0 两不等根；=0 两等根；<0 无实根 三、步骤 一般式→定 a、b、c→算 Δ→Δ≥0 代公式求根 ★ 化归思想：一般式→求根公式→直接代入 学生板演区
教学反思

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