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25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） 教学设计
课题 25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）能根据具体图形的特性列出一元二次方程，并解决问题； （2）通过建立一元二次方程模型，发展分析问题和解决问题的能力，培养计算能力与建模意识。
教学重点 根据图形特点，利用图形的特性解决图形问题。
教学难点 根据题意列出方程。
教学方法 情境建模、图形分析、讲练结合 教学准备 多媒体课件、几何画板
课后练习 完成检测反馈两题与变式。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】1.列方程解决实际问题的一般过程有哪些？ 审题设元→列方程→解方程→检验取舍→答句（建模 → 求解 → 回归）。 2.我们学过哪些基本图形？它们的面积公式是什么？ 矩形 S=ab、正方形 S=a 、三角形 S= ·底·高、平行四边形 S=底·高、梯形 S=(上底+下底)×高÷2、圆 S=πr 。 （设计意图：复习建模的一般过程与面积公式，为图形类应用题铺垫。） 口答“列方程解应用题的步骤”与常见图形的面积公式。 激活旧知，为图形建模搭桥。
二、探索归纳 【探索归纳】课本例1　是否存在边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的直角三角形有多少个？ 方法一（设最小边）：设三边长分别为 x、x+1、x+2，由勾股定理得 ，整理得 ，解得 x =3、x =-1（不合题意，舍去），故三边为 3、4、5。 方法二（设中间边）：设三边长分别为 x-1、x、x+1，由勾股定理得 ，整理得 ，即 x(x-4)=0，解得 x =4、x =0（不合题意，舍去），三边仍为 3、4、5。 教师提问：① 列出方程的依据是什么？（勾股定理）；② 解出的方程有几个解？为什么舍去一个？（正整数、边长为正，负根或零根舍去）；③ 你更喜欢哪种方法？对比两法优劣。 答：存在边长是连续正整数的直角三角形，这样的三角形只有一个，三边长分别是 3、4、5。 课本例2　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，则另一边为 (20-x) m，得 ，即 ，解得 x =12、x =8。当 x=12 时另一边为 8；当 x=8 时另一边为 12，故能围成面积为 96 的矩形，且这样的矩形唯一，两边长分别是 12 m 和 8 m。 变式　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 75 m 的矩形区域？ 解：设一边为 x m，，即 ，解得 x =15、x =5，故能围成 75 的矩形，且唯一，两边分别为 15 m 与 5 m。 （设计意图：通过连续正整数直角三角形与用绳围矩形两个典型问题，体会列方程建模型、解方程并检验取舍的完整过程，并比较两种设元方法。） 独立尝试例1、例2，展示过程并回答“列方程依据”“为何舍根”；比较两种设元方法优劣；完成变式。 以勾股定理与面积两个模型落实列方程建模与取舍。
三、新知应用 【新知应用】如图，在足够大的空地上有一段长为 30 m 的旧墙 MN，小乐同学想利用旧墙和铁围栏围成一个矩形花园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了 40 m 铁围栏。 (1) 设花园的一边 AB 长为 x m，请用含 x 的代数式表示另一边 AD 的长； 解：花园为矩形，AD=BC；铁围栏围 AB+BC+CD=40，其中 AB=CD=x，得 2x+AD=40，故 （m）。 (2) 若所围成的矩形花园的面积为 128 平方米，求所利用旧墙 AD 的长。 解：面积 AB·AD=128，即 ，整理得 ，解得 x =4、x =16。当 x=4 时 AD=40-8=32>30（不符合 AD≤MN，舍去）；当 x=16 时 AD=40-32=8<30（符合题意）。故所利用旧墙 AD 的长为 8 m。 方法提醒：涉及“靠墙”类问题时，考虑 AD≤旧墙长 这一隐含限制，是取舍正根的关键。 （设计意图：通过靠墙矩形变化，巩固面积模型并对解进行实际意义检验。） 分析围栏与旧墙关系得 AD=40-2x；由面积列 x(40-2x)=128 求解并按 AD≤30 取舍。 应用面积模型，强化含参代数式表示与实际限制取舍。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.（2025·福建中考）为加强劳动教育，某校拟用总长为 5 米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角围出一块 6 平方米的矩形菜地作为实践基地，如图。设矩形的一边长为 x 米，根据题意可列方程（　　） A.　B.　C. 　D.。解：另一边为 5-x，面积 x(5-x)=6，选 C。 2.（2025·威海中考）某校有一块长 20 m、宽 14 m 的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影），小路把种植园分成面积均为 24 m 的 9 个矩形地块，求小路的宽度。 解：设小路宽 x m，则 9 块地块合成长为 (20-4x) m、宽为 (14-4x) m 的矩形。由面积得 ，整理得 ，解得 x= 或 x=8（8>3.5，宽不可能，舍去）。答：小路宽 0.5 m。 （设计意图：通过中考真题检验列方程建模与解的实际意义取舍。） 分析直角墙角围法得 x(5-x)=6；按 9 块地块合成长宽列 (20-4x)(14-4x)=216 并舍去不合题意的 8。 当堂落实图形建模、解二次方程及取舍。
五、课堂小结 【课堂小结】本节课学习的是如何根据几何图形的特性列出一元二次方程，从而解决问题。 要点回顾：① 依据图形特性（如勾股定理、面积公式、周长关系）列含未知量的方程；② 解方程后必须结合图形与题意检验取舍（边长、面积、绳长等限制）。 （设计意图：小结图形建模方法与检验意识。） 归纳图形问题列方程的依据与解后检验取舍的必要性。 结构化总结图形建模与检验意识。
板书设计
25.3 实际问题与一元二次方程（1） 一、建模步骤 审题设元→列方程→解方程→检验取舍→答 二、图形依据 勾股定理：连续正整数 Rt 三边 面积：x 与周长/围栏表示另一边 → x·另一边 限制：AD≤旧墙长、边长为正、二次项筛根 三、例题 例1 3、4、5；例2 12 与 8；变式 15 与 5 威海：小路宽 m ★ 建模—求解—回归实际 学生板演区
教学反思

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