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25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 教学设计
课题 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）掌握传播问题、增长率问题的数学模型并运用它解决实际问题； （2）根据数量关系列一元二次方程求解，并结合实际意义检验结果，培养分析解决问题的能力。
教学重点 用列一元二次方程的方法解传播问题、增长率问题。
教学难点 找出题目中的等量关系。
教学方法 问题探究、模型建构、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成检测反馈两题，并归纳两类问题的模型。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】1.解一元二次方程有哪几种方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 2.列方程解应用题的步骤是什么？ ① 审题；② 设出未知数；③ 找等量关系；④ 列方程；⑤ 解方程；⑥ 答（检验取舍）。 （设计意图：复习解法与应用题步骤，为建立传播与增长模型做准备。） 口答四种解法；复述列方程解应用题的步骤。 激活旧知，明确建模流程。
二、探索归纳 【探索归纳】探究1　有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 思考：(1) 本题中有哪些数量关系？(2) 如何理解“两轮传染”？(3) 如何依据数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染 x 个人：第一轮传染了 x 人，第一轮传染后共有 1+x 人患病；第二轮中传染源为 (1+x) 人，每人又传染 x 人，第二轮传染了 x(1+x) 人，第二轮传染后共有 (1+x)+x(1+x) 人患病。 解：设每轮传染中平均一个人传染 x 个人，依题意列方程 ，即 ，解得 x =10、x =-12（不合题意，舍去），故每轮传染中平均一个人传染 10 个人。 (5) 为什么要舍去一解？（人数不能为负，x=-12 无意义） 思考：按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 三轮传染后共有 (1+x) =11 =1331（人）患病，即 121+121×10=1331。 归纳：传播问题中，后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的 x 倍，故总数满足“逐轮乘以 (1+x)”的规律。 探究2　两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元；现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 思考：(1) 下降额与下降率有何关系？(2) 设甲种平均下降率为 x，一年后甲成本下降______元，此时为______元；两年后再下降______元，此时为______元。 解（甲）：设甲种药品成本年平均下降率为 x，则一年后成本为 元，两年后为 元。依题意 ，即 (1-x) =0.6，解得 x ≈0.225、x ≈1.775（不合题意，舍去）。 解（乙）：设乙种药品成本平均下降率为 y，则 ，即 (1-y) =0.6，解得 y≈0.225。 比较：甲、乙两种药品的年平均下降率一样大（均约为 0.225）。 思考：(3) 你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，下降率一定也较大吗？ 甲下降额 5000-3000=2000 元、乙下降额 6000-3600=2400 元，乙下降额大但下降率相同。故不能仅凭下降额判断，应比较下降率（相对变化）才公平。 （设计意图：通过两轮传染与药品成本两个经典模型，建立传播问题和增长率问题的等量关系并求解取舍。） 分析两轮传染数量关系，列 1+x+x(1+x)=121 求解并舍去负根，推算三轮总数；设甲、乙下降率列 5000(1-x) =3000、6000(1-y) =3600 求解；讨论下降额与下降率的比较方法。 通过两个模型自主建立等量关系并体会实际意义取舍。
三、检测反馈 【检测反馈】 1.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是 91，求每个枝干长出多少个小分支。 解：设每个枝干长出 x 个小分支，则主干 1 个、枝干 x 个、小分支 x 个，总数 ，即 ，解得 x =9、x =-10（舍去）。答：每个枝干长出 9 个小分支。 2.青山村种的水稻 2001 年平均每公顷产 7200 kg，2003 年平均每公顷产 8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率。 解：设年平均增长率为 x，则 ，即 (1+x) =1.175，解得 x≈0.084，即约 8.4%。 （设计意图：通过传播与增长率两道题当堂巩固两类模型。） 独立列方程 1+x+x =91 与 7200(1+x) =8460 求解并作实际意义检验。 当堂检验传播与增长率模型的建模与求解。
四、课堂小结 【课堂小结】 1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。 2.传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播，每轮传染后总数乘 (1+x)。 3.变化率问题：若平均增长（或降低）率为 x，增长（或降低）前的基数是 a，n 次后的量是 b，则有 a(1±x) =b（本题 n=2）。 4.传播、传染及增长率问题的方程，常适合用直接开平方法来解。 （设计意图：结构化小结两类模型，突出直接开平方法的适用性。） 归纳应用题步骤、传播模型、增长率模型 a(1±x) =b，并体会开平方法求解。 建立传播与增长率的模型化认识。
板书设计
25.3 实际问题与一元二次方程（2） 一、传播模型 每轮乘 (1+x)： 人；两轮 二、增长率模型 基数 a，增长率 x，n 次后 b：（本题 n=2） 甲、乙下降率相同，均约 0.225 三、解题 审—设—找—列—解—验—答 宜用直接开平方法 ★ 建模—求解—检验回归实际 学生板演区
教学反思

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