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26.1 二次函数的概念 教学设计
课题 26.1 二次函数的概念 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）经历对实际问题情境分析确定二次函数解析式的过程，理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式； （3）经历观察、归纳的过程，体会函数建模与从特殊到一般的思想。
教学重点 二次函数的概念。
教学难点 二次函数概念的归纳与一般式中系数条件的理解。
教学方法 情境探究法、观察归纳法、讲练结合法 教学准备 多媒体课件、直尺、板书
课后练习 完成检测反馈4题及教材121~122页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境 · 温习函数概念】 1.函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量。 2.一次函数定义：一般地，形如 （k、b 为常数，）的函数叫一次函数；当 时，就是正比例函数 。 3.填空：y 是 x 的一次函数的有______，y 是 x 的正比例函数的有______（只填序号）。 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 【答案】(1)(3) 是一次函数；(1) 是正比例函数。通过判别感受“最高次数为 1”是一次函数的核心，由此引出“最高次数为 2”的二次函数。 （设计意图：复习函数的定义与一次函数，为二次函数概念的学习作铺垫。） 补全函数、一次函数定义，判断哪些是一次函数、正比例函数。 温习函数与一次函数，建立类比迁移的知识起点。
二、探索归纳 【探索归纳 · 实际问题列式】 问题1　正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x、表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为______。（y=6x ） 问题2　n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 提示：每个球队 n 要与其余 (n-1) 个队各赛一场，而甲对乙与乙对甲是同一场，故 ，即 。 问题3　多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？（从每个顶点出发引对角线，去掉重复得 d=…） ，即 。 问题4　某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年增加 x 倍，两年后产量 y 与 x 的关系式为______。 。 观察猜想：式子 y=6x 、m= n n、d= n n、y=20x +40x+20 有什么共同点？ 共同点：等式右边都是关于自变量的整式，且最高次数都是 2。由此概括出二次函数的概念。 二次函数定义：一般地，形如 （a、b、c 是常数，且 ）的函数叫作 x 的二次函数。 注意：①等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；②a、b、c 为常数，且 a≠0；③等号右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；④x 的取值范围是任意实数。 （设计意图：由四个实际问题列式归纳“最高次数为 2”的共同特征，抽象出二次函数定义及系数条件。） 列出正方体表面积、比赛场次、对角线数、产量增长四个关系式，观察共同点，归纳二次函数定义及其注意条件。 以实际问题建模归纳二次函数定义，突出重点并理解系数条件。
三、新知应用 【新知应用】 例1　下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数、一次项系数、常数项。 (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) ； (7) ；(8) （m、n、p 为常数）。 【讲评要点】(1) 是，系数 2、0、3；(2) 是，展开得 y=3x 6x+4，系数 3、 6、4；(3) 不是，展开为 y=6x+9（二次项系数为 0）；(4) 不是；(5) 是，系数 1、0、0；(6) 不是，最高次数为 3；(7) 不是，展开为 y=4+2x；(8) 当 m≠0 时是，系数 m、n、p。判断的关键是看“展开、化简后最高次数是否为 2”。 例2　若下列函数是二次函数，求相应 m 的值。 (1) 是二次函数。 且 ，故 ，。 变式　关于 x 的函数 ：（1）m 取什么值时它是正比例函数？（2）m 取什么值时它是二次函数？ (1) 正比例：令 次数=1，即 ，（均使 ）；(2) 二次：令 ，，且 成立。 （设计意图：通过例1、例2及变式，强化二次函数一般式系数条件，比较一次与二次函数以提升辨别能力。） 判别八个函数是否为二次函数并指出系数，解含参数的二次函数求 m，完成变式对比。 以例题与变式深化对二次函数系数条件及解析式确定的理解。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.下列函数中（x 是自变量），是二次函数的为（　　）A．　　B．　　C．　　D．　　【答案】C（A 未说明 a≠0，B 不是 y 与 x 的单值对应，D 含分式。 2.函数 y=(m-n)x +mx+n 是二次函数的条件是（　　）　　A．m≠0　　B．n≠0　　C．m≠n　　D．m,n 为任何实数　　【答案】C 3.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛场次数 m 与球队数 n 的关系式。 （ 且 n 为整数）。 4.用 20 m 的篱笆围一个矩形花圃，设连墙的一边为 x m、矩形面积为 y m ，求： (1) 写岀 y 关于 x 的函数解析式（写出 x 的取值范围）：连墙的一边为宽 x，则长 =20-2x，（）。 (2) 当 x=3 时，，故矩形面积为 42 m 。 （设计意图：通过检测反馈，当堂落实二次函数的判别、参数条件及实际应用。） 完成二次函数选择、正误与场次数、篱笆等应用问题，用解析式解决实际情境。 当堂检测二次函数概念的理解与实际建模应用。
五、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 一次函数 （含正比例函数 ）；二次函数 。 判断二次函数的关键：整理、化简后等号右边是关于自变量的整式且最高次数为 2，且二次项系数 a≠0。 （设计意图：对比一次与二次函数，强化二次函数一般式中的条件。） 学生归纳一次、二次函数的一般形式与系数条件，梳理判别要点。 结构化小结函数家族，突出二次函数一般式的条件。
板书设计
26.1 二次函数的概念 一、二次函数定义 形如 y = ax +bx+c（a、b、c 常数，a≠0） 右边是关于 x 的整式·最高次数为 2 二、探索问题 正方体表面积·比赛场次·对角线·产量 三、系数与判断 二次项系数·一次项系数·常数项 展开化简看最高次数·题例 四、待定系数 由次数=2 且 a≠0 求参数 ★ 数学思想：建模·从特殊到一般 学生板演区
教学反思

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