资源简介

26.2.1 二次函数 y=ax 的图象和性质 教学设计
课题 26.2.1 二次函数 y=ax 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用描点法作出二次函数 y=x 的图象，能根据图象认识 y=x 的性质； （2）能作出 y=-x 的图象，会比较它与 y=x 的图象的异同； （3）经历探索 y=x 图象作法与性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
教学重点 用描点法作 y=x 的图象并认识其性质；作出 y=-x 的图象并比较异同。
教学难点 由 y=x 的“探索”迁移到 y=-x 的“运用”，实现探索—经验—运用的思维过程。
教学方法 类比迁移法、描点作图法、观察归纳法 教学准备 多媒体课件、坐标纸、直尺
课后练习 完成检测反馈3题及教材第32~34页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 一次函数的图象与性质是如何研究的？（描点作图→读图归纳性质。）我们能否类比研究一次函数的方法来研究二次函数呢？如果可以，应先研究什么？ 学生回答：先取最简单的二次函数（如 y=x ），用描点法作图，再由图象归纳性质。 （设计意图：由一次函数的研究路径类比到二次函数，确立“描点作图—读图归纳”的研究主线。） 回顾一次函数图象与性质的研究顺序，猜想研究二次函数应先取哪个函数。 类比一次函数研究方法，确立本节研究路径。
二、探索归纳 【探索归纳】（一）抛物线及其相关概念 用描点法画二次函数 y=x 的图象。 (1) 列表：自变量 x 可以是任何实数，x 的互为相反数的两个值对应的函数值相等，故以 0 为中心取几个整数，列表得： x：-3　-2　-1　0　1　2　3；y：9　4　1　0　1　4　9。 (2) 描点：以表中 x、y 的对应值为横、纵坐标，在坐标平面中描点。 (3) 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到 y=x 的图象。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？ 提示：类似于投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是开口向上，这样的曲线叫作抛物线。实际上二次函数的图象都是抛物线，开口向上或向下。 顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。 【探索归纳】（二）探索 y=ax 的性质 1.在同一直角坐标系中画出 y=x 与 y=-x 的图象，比较两者的共同点与区别。 2.在另一坐标系中画出 y=2x 与 y=-2x 的图象，比较这两个函数的图象。 3.将上面四个函数的图象作比较，又能发现什么？（吸数决定开口方向，|a|影响开口大小。） 【探索归纳】（三）归纳概括 由 y=x 、y=-x 、y=2x 、y=-2x 的共同特点猜想：函数 的图象是一条，它关于对称，顶点坐标是；|a| 越大，抛物线开口越小。 追问：要更细致地研究 y=ax 图象的特点和性质，应如何分类？为什么？（按 a 的符号分 a>0 与 a<0 两类。） 当 a>0 时，抛物线开口向上：在对称轴左边，曲线自左向右下降；在对称轴右边，曲线自左向右上升，顶点（0,0）是抛物线上位置最低的点。 当 a<0 时，抛物线开口向下：在对称轴左边曲线上升、右边曲线下降，顶点（0,0）是位置最高的点。 函数 与 的图象关于 x 轴对称（开口方向相反、大小相同）。 （设计意图：由描点作图到比较图象，再到按 a 的符号分类归纳 y=ax 的对称性、顶点与增减性。） 描点画 y=x 图象，认识抛物线与顶点；画 y=-x 、y=±2x 比较异同，建构 ax 并归纳开口方向、对称轴、顶点与增减性。 通过描点—比较—分类，获得 y=ax 性质并体会数形结合。
三、新知应用 【新知应用】例1 ① 函数 y=-x 的图象是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______。 【答案】抛物线；(0,0)；y 轴；向下。 ② 函数 、 和 的图象如图所示，请指出三条抛物线。 【答案】由开口方向与大小判断：最外面的抛物线的 ，中间的为 ，在 x 轴下方的为 。 教师点拨：要注意解析式需化为一般式再根据图象特征解答；抛物线中 a>0 开口向上、a<0 开口向下，|a| 越大开口越小。 例2　已知函数 y=(m+2)x^(m +m-4)（指数为 m +m-4）是关于 x 的二次函数。 ① 求满足条件的 m 的值；② m 为何值时抛物线有最低点？求这个最低点，当 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大？③ m 为何值时函数有最大值？最大值为多少？当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小？ 且 ，即 ，（m-2）（m+3）=0， 或 ，均使 ，故原函数为二次函数。 ② 有最低点→开口向上，即 m+2>0（m>-2）→只能取 m=2。最低点为顶点(0,0)；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大。 ③ 有最大值→开口向下，即 m+2<0（m<-2）→只能取 m=-3。最大值为顶点纵坐标 0；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小。 （设计意图：通过例1、例2，落实开口方向、开口大小、顶点与增减性的判定，训练由系数符号分类。） 由解析式判定开口、顶点、对称轴，指出三条抛物线；解含参二次函数，由开口方向求 m 及最低点/最大值。 以例1、例2巩固 y=ax 性质的判定，渗透分类讨论。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.在同一直角坐标系中画下列函数的图象，并写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标： ；；。 ：开口向上、对称轴 y 轴、顶点(0,0)；：开口向下、对称轴 y 轴、顶点(0,0)；：开口向上、对称轴 y 轴、顶点(0,0)。 2.抛物线 的开口方向______、对称轴是______、顶点坐标______；抛物线 的开口方向______、对称轴______、顶点坐标______。【答案】上、y轴、(0,0)；下、y轴、(0,0)） 3.已知等边三角形的边长是 2x，请把它的面积 S 表示成 x 的函数，并画出这个函数的图象。【答案】（x>0），开口向上的抛物线，顶点(0,0)，但 x 取正值。 （设计意图：以画图、填空、面积建模检测 y=ax 图象与性质的掌握。） 画四个函数的图象并写开口、对称轴、顶点，完善抛物线性质填空，由等边三角形面积列出二次函数并作图。 当堂检测 y=ax 图象作法与性质的应用。
五、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.如何画出函数 y=ax 的图象？（列表、描点、连线，注意以 0 为中心对称取值。） 2.函数 y=ax 具有哪些性质？（关于 y 轴对称、顶点(0,0)；a>0 开口向上、a<0 开口向下；|a| 越大开口越小；对应区间的增减性。） 3.抛物线 与 的关系：图象关于 x 轴对称。 （设计意图：系统小结作图方法与性质，突出数形结合与分类讨论。） 学生归纳画图三步与 y=ax 的对称性、开口、顶点、增减性及与 y=-ax 的关系。 总结 y=ax 知识结构，强调数形结合的研究方法。
板书设计
26.2.1 二次函数 y=ax 的图象和性质 一、抛物线 y=ax 二次函数图象都是抛物线 对称轴是 y 轴·顶点(0,0) 二、性质 a>0 开口向上，顶点是最低点 a<0 开口向下，顶点是最高点 |a|越大，开口越小 三、a 取值与增减性 a>0：左降右升；a<0：左升右降 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称 ★ 数学思想：数形结合·分类讨论 学生板演区
教学反思

展开更多......

收起↑