资源简介

26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质（第2课时） 教学设计
课题 26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用描点法画出二次函数 y=a(x-h) +k 的图象； （2）了解抛物线 y=a(x-h) +k 的开口方向、顶点坐标、对称轴； （3）以已学二次函数图象性质为基础，通过平移进一步探究二次函数图象的性质。
教学重点 用描点法画 y=a(x-h) +k 的图象以及顶点坐标的确定。
教学难点 y=-(x+1) -1 的顶点坐标确定以及与另两个二次函数图象的关系。
教学方法 描点作图法、平移类比法、探究归纳法 教学准备 多媒体课件、坐标纸、直尺
课后练习 完成检测反馈2题及教材第37~38页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 函数 y=x 的图象向下平移 1 个单位得到 y=x -1；向左平移 1 个单位得到 y=(x+1) 。请你思考：把 y=x 如何平移，就能得到函数 y=(x+1) -1 的图象？ 学生：先向左平移 1 个单位得 y=(x+1) ，再向下平移 1 个单位得 y=(x+1) -1。教师顺势引出课题：二次函数 y=a(x-h) +k 的图象和性质。 （设计意图：由已知平移贯通 h 与 k 的复合，自然过渡到 y=a(x-h) +k。） 思考并说出由 y=x 组合平移得到 y=(x+1) -1 的路径。 以复合平移引入 y=a(x-h) +k，衔接上节课内容。
二、探索归纳 【探索归纳】1.探究 在同一坐标系中画出 y=-x 、y=-x -1、y=-(x+1) -1 的图象，指出它们的开口方向、对称轴及顶点。 通过观察图象探究：(1) 抛物线 y=-x 经过怎样的变换可以得到 y=-(x+1) -1？ （先向左平移 1 个单位得 y=-(x+1) ，再向下平移 1 个单位得 y=-(x+1) -1。） (2) 对于抛物线 ：当 x≤-1 时 y 随 x 增大而减小；当 x≥-1 时 y 随 x 增大而增大；当 x=-1 时取得最大值 -1。 2.观察归纳 观察三抛物线开口方向、对称轴、顶点，猜想 y=a(x-h) +k 的开口方向、对称轴与顶点坐标。 归纳：(1) 抛物线 与 的形状相同、位置不同；把 上下、左右平移可得 ，平移方向与距离由 h、k 决定。 (2) 特点：开口方向由 a 决定（a>0 向上、a<0 向下）；对称轴为直线 x=h；顶点坐标为 (h,k)。 （设计意图：由具体三抛物线观察、比较，归纳 y=a(x-h) +k 的开口、对称轴与顶点。） 画三抛物线并指出属性，探究 y=-(x+1) -1 的变换与增减性，归纳 y=a(x-h) +k 的开口、对称轴、顶点及平移规律。 通过作图—比较—归纳，获得 y=a(x-h) +k 的性质。
三、新知应用
喷水池例 【新知应用】例（喷水池拱水抛物线） 例　要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高、高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，问水管应多长？ 【分析】建立直角坐标系，由题意可得抛物线顶点坐标为 (1,3)，且抛物线经过点 (3,0)。画抛物线草图，设解析式为 （0≤x≤3）。 将点 (3,0) 代入得 ，解得 ，故抛物线的解析式为 。 水管应多长，即求 x=0 处水柱的高度： （m），即水管应长 m。 教师引导点拨：也可让抛物线的最高点落在直角坐标系的原点上，这样建立坐标系解析式更简单；无论怎样建系，虽然解析式不同，但最终结果（水管高度）是相同的。 （设计意图：以喷水池实际建模，用顶点式求系数并求管长，落实顶点确定解析式。） 由顶点(1,3)与点(3,0)建立顶点式，代点求得系数 a（负四分之三），再求 x=0 时所对应的 y 值确定水管长。 通过喷水池模型，掌握用顶点式求解析式及求函数值。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.抛物线 的开口方向______、对称轴是______、顶点坐标______，可看作抛物线 向左平移 2 个单位再向上平移 4 个单位；当 x<-2 时 y 随 x 增大而减小，x>-2 时增大；当 x=-2 时取得最小值 4。） 2.函数 的图象与 x 轴的交点坐标是______、与 y 轴的交点坐标是______、开口方向______、顶点坐标______、对称轴______；关于 x 轴对称的抛物线解析式是______，关于 y 轴对称的抛物线解析式是______，关于原点对称的抛物线解析式是______。 ，故顶点(1,0)、开口向下、对称轴 x=1、与 x 轴交于(1,0)、与 y 轴交于(0,-1)。关于 x 轴对称： ；关于 y 轴对称：；关于原点对称：。 （设计意图：以性质填空与轴对称变换检测 y=a(x-h) +k 图象的理解与运用。） 填写 y=3(x+2) +4 的属性与平移路径；对 y=-x +2x-1 求交点、顶点并写三种对称变换后的解析式。 当堂检测顶点式下开口、对称轴、顶点的运用及对称变换。
五、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.二次函数 y=a(x-h) +k 的图象画法（列表—描点—连线）；2.其开口方向、对称轴、顶点坐标；3.y=ax 与 y=a(x-h) +k 的图象位置关系（平移）。 顶点 (h,k)、对称轴 x=h、开口由 a 决定、形状由 |a| 决定；由 通过 h、k 决定方向的平移得到。 （设计意图：结构化总结画法、性质与平移关系，为后续一般式化顶点式铺垫。） 学生归纳 y=a(x-h) +k 的画法、开口、对称轴、顶点及与 y=ax 的位置关系。 总结顶点式知识，强调数形结合与运动变化思想。
板书设计
26.2.2 二次函数 y=a(x-h) +k（第2课时） 一、顶点式 y=a(x-h) +k 开口：a>0 上 / a<0 下 对称轴：直线 x = h 顶点：(h,k) 二、与 y=ax 的关系 形状相同·位置不同（平移） 由 h、k 决定平移方向与距离 三、应用 顶点式求解析式（喷水池·水管长2.25m） 轴对称/中心对称变换解析式 ★ 数学思想：数形结合·运动变化 学生板演区
教学反思

展开更多......

收起↑