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26.2.3 二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质（第1课时） 教学设计
课题 26.2.3 二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 y=a(x-h) +k 的联系； （2）会用配方法（或待定系数法）实现一般式与顶点式互化，从而确定图象的顶点和对称轴； （3）能判断 y=ax +bx+c 的图象特征与参数 a、b、c 的关系；经历观察、猜测、探索、验证、应用的过程，渗透数形结合的转化与迁移。
教学重点 二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质；图象特征与参数 a、b、c 的关系。
教学难点 二次函数 y=ax +bx+c 与 y=a(x-h) +k 互相转化后研究图象和性质。
教学方法 配方法、待定系数法、数形结合、探究归纳法 教学准备 多媒体课件、坐标纸、直尺
课后练习 完成检测反馈4题及教材第39~40页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 问题1　填空： (1) ； (2) ； (3) 。（利用完全平方式配方） 问题2　分别说出下列抛物线的对称轴、顶点坐标和函数的最大（小）值。 (1) y=(x+1) -2：对称轴 x=-1、顶点(-1,-2)、最小值 -2。 (2) y=-3(x-2) +□（□为常数）：对称轴 x=2、顶点(2、□)、开口向下，有最大值 □。) （设计意图：以配方法填空和顶点式求性质两问，复习顶点式并暴露配方需求。） 完成完全平方式配方填空；由顶点式直接说出对称轴、顶点与最值。 复习配方法及早成配方需求，链接顶点式与一般式。
二、探索归纳 【探索归纳】探究1　由一般式求顶点坐标 (1) 你能直接说出函数 的图象的对称轴和顶点坐标吗？（不能）(2) 你有办法解决吗？（配方法） 配方：，故对称轴 x=1、顶点(1,1)。 小试牛刀： (1) 求出抛物线 的对称轴及顶点坐标，并画出函数图象。 用配方法求得 ，对称轴 x=6、顶点(6,3)。 探究2　推导一般式 y=ax +bx+c 的对称轴与顶点 配方全过程：,整理得顶点式 。 由此：对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 研读 y=ax +bx+c(a≠0) 的图象与性质表：开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最大（小）值。 探究3　图象特征与参数 a、b、c 的关系（填表） a 决定开口方向（上正下负）；a、b 共同决定对称轴位置（左同右异）；c 决定与 y 轴交点位置（上正下负）。 （设计意图：从具体配方到一般配方，归纳顶点式、对称轴、最值与参数关系。） 对 y=x -2x+2 配方求顶点；小试牛刀求 y= x -6x+21 顶点并作图；推导 y=ax +bx+c 配方得对称轴、顶点及性质表，填参数 a、b、c 作用表。 由具体到一般获得一般式图象性质与参数关系。
三、新知应用 【新知应用】 通过配方变形，说出函数 y= x -6x+21 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ ，故开口向上、对称轴 x=6、顶点(6,3)、最小值 3。 配方变形过程（利用图象对称性列表、描点、连线）： 列表（借对称性取 x 从 3 到 9）：x=3、4、5、6、7、8、9 时 y=7.5、5、3.5、3、3.5、5、7.5。 由图象可知：(1) 在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；(2) 在对称轴右侧，抛物线从左到右上升。 教师小结：直接画 y=ax +bx+c 的图象，用“配方→定点（顶点与对称轴）→列表（对称取值，先顶点后两侧）→描点连线”的步骤，并可由顶点与开口快速得图象性质。 （设计意图：完整经历配方、列表、描点、读图，落实“数形互化”。） 对 y= x -6x+21 配方并说出开口、对称轴、顶点、最值；按对称性列表描点连线；读图归纳两侧增减性。 以 y= x -6x+21 为例，落实配方—作图—读图，渗透数形结合。
四、检测反馈 【检测反馈】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1) ：开口向上、对称轴 x=-、顶点(-,-）。 (2) ：开口向下、对称轴 x=-1、顶点(-1,1)。 (3) ：开口向下、对称轴 x=2、顶点(2,0)。 (4) ：开口向上、对称轴 x=4、顶点(4,-5)。 （设计意图：通过四道配方求开口/对称轴/顶点，当堂检测一般式性质。） 分别对四道二次函数配方，写出开口方向、对称轴和顶点坐标。 当堂落实配方法求顶点与对称轴。
五、课堂小结 【课堂小结】 当 a>0 时开口向上，当 a<0 时开口向下；对称轴是 ，顶点坐标是 。 由 y=ax +bx+c 的图象可以看出： (1) 若 a>0，当 x<- 时 y 随 x 增大而减小，当 x>- 时 y 随 x 增大而增大； (2) 若 a<0，当 x<- 时 y 随 x 增大而增大，当 x>- 时 y 随 x 增大而减小。 最值：当 x=- 时，y 取得最值 （a>0 取最小、a<0 取最大）；见板书参数作用表。 （设计意图：系统梳理对称轴、顶点、最值与增减性，强化“上正下负、左同右异”口诀。） 归纳 y=ax +bx+c 的开口、对称轴、顶点、最值与增减性分界（对称轴 x 等于负 2a 分之 b）。 总结一般式性质及参数作用，突出转化与数形结合。
板书设计
26.2.3 二次函数 y=ax +bx+c（第1课时） 一、配方化顶点式 顶点式： 二、对称轴与顶点 对称轴：x= 顶点：( -, ) 三、增减性 对称轴为分界：a>0 左降右升；a<0 左升右降 四、参数与图象 a 上正下负·a,b 左同右异·c 上正下负 ★ 数学思想：数形结合·配方转化 学生板演区
教学反思

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