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26.2.3 二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质（第2课时·待定系数法） 教学设计
课题 26.2.3 二次函数 y=ax +bx+c 的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用待定系数法求二次函数的解析式； （2）经历观察、归纳的过程，经历对实际问题情境分析确定二次函数解析式的过程，理解并掌握待定系数法。
教学重点 运用待定系数法求二次函数解析式。
教学难点 根据条件恰当设二次函数解析式的形式（一般式与顶点式的选用）。
教学方法 待定系数法、情境分析法、比较归纳法 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成检测反馈5题及教材第40~42页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 1.二次函数 的图象的顶点坐标是______、对称轴是______；当 x=______ 时，y 有最______值，是______。【答案】(-1,8)；x=-1；x=-1；大；8） 2.二次函数 的图象经过点 (-1,2)，则 a=______。【答案】a=2） 3.二次函数 的图象经过点 (1,-2)、(-1,-6)，则二次函数的解析式为______。 【答案】由 a+b-3=-2 与 a-b-3=-6 解得 a=-1、b=2，解析式为 。 （设计意图：由对称轴、顶点、最值与已知点求 a 复习旧知，自然引出由条件确定解析式。） 求顶点、对称轴、最值；由已知点代回求 a、b、c，确定解析式。 复习确定解析式的基础方法，激发求二次函数解析式的需要。
二、探索归纳 【探索归纳】1.用一般式求解析式 y=ax +bx+c(a≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出它们？ 抛物线经过点 (-1,10)、(1,4)、(2,7)，求出这个二次函数的解析式。 设 ，代入三点得三元一次方程组： a-b+c=10；a+b+c=4；4a+2b+c=7。解得 a=2、b=-3、c=5，故解析式为 y=2x -3x+5。 【归纳】已知三点坐标，设一般式 y=ax +bx+c，代入得三元一次方程组求解即得解析式。 2.用顶点式求解析式 y=a(x-h) +k 中有几个待定系数？知道图象上哪几个点的坐标就能求出解析式？ 已知抛物线的顶点坐标为 (1,2)，另一点也在图象上，能求出它的函数解析式吗？（能，设 y=a(x-h) +k 即可。） 【归纳】知道顶点坐标，设顶点式 ，先代顶点坐标定 h、k，再代另一点求 a。教师点拨：另一点应取与顶点横坐标不同的点，以免与顶点重合或产生矛盾。 （设计意图：对比一般式与顶点式，明确待定系数的个数与设解析式的依据。） 列三元方程组解一般式 y=2x -3x+5；探讨由顶点设顶点式求 a。 由具体求解归纳一般式与顶点式的待定系数求法。
三、新知应用 【新知应用】例题　已知一个二次函数的图象过点 (0,-3)、(4,5)、(-1,0) 三点，求这个函数的解析式。 解：设 ，代入三点得：c=-3；16a+4b-3=5；a-b-3=0，解得 a=1、b=-2、c=-3，所求解析式为 。 变式1　已知二次函数的图象过点 (0,-3)、(-1,0)、(3,0) 三点，求解析式。 零点为 -1、3，用交点式设 ，代入 (0,-3) 得 -3a=-3，a=1，故 。 变式2　已知抛物线的顶点为 (1,-4)，且过点 (0,-3)，求解析式。 设顶点式 ，代入 (0,-3) 得 a-4=-3，a=1，故 。 变式3　已知二次函数的图象过点 (0,-3)、(4,5)，对称轴为直线 x=1，求解析式。 设 ，代入 (0,-3)、(4,5) 得 a+k=-3、9a+k=5，解得 a=1、k=-4，故 。 教师点拨：四种设式（一般式、交点式、顶点式、对称轴式）求得同一抛物线 y=x -2x-3，说明“根据条件选设解析式形式，殊途同归”。 （设计意图：一题多设式，比较一般式、交点式、顶点式各适用条件，确定唯一解析式。） 用一般式解例题；用交点式/顶点式/对称轴式解三个变式，比较并确定唯一解析式。 以例题与三个变式落实待定系数法选设解析式。
四、检测反馈 【检测反馈】按下列条件求二次函数解析式： 1.抛物线过点 (-1,9)、(0,5)、(1,7)。 【答案】c=5；a-b=4；a+b=2，解得 a=3、b=-1，即 。 2.当 x=4 时函数有最小值 -3，且抛物线过点 (1,1.5)。 【答案】顶点 (4,-3)，设 ，代入 (1,1.5) 得 9a=4.5，a=，即 。 3.抛物线的对称轴是 x=4，与 x 轴的一个交点是 (9,0)，且函数的最小值是 -8。 【答案】由对称性另一零点 ( -1,0 )，顶点 (4,-8)、开口向上，设 ，代入 (9,0) 得 25a=8，a=，即 。 4.抛物线过点 (-1,1)、(2,1)，且函数的最大值为 2。 【答案】两点等高，对称轴 x=，顶点 ( ,2)、开口向下，设 ，代入 (-1,1) 得 ，即 。 5.抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 8 个单位，且顶点是 M(1,5)。 【答案】对称轴 x=1，两交点 x=1±4，即 (-3,0)、(5,0)；顶点 (1,5)、开口向下，设 ，代入顶点得 -16a=5，a=-，即 。 （设计意图：五道检测覆盖一般式、顶点式（最值）、对称轴式、两点等高式、交点距离式，当堂检验灵活设式。） 分别按五类条件设适度形式，代点或联立方程组求 a、b、c（或 h、k）。 当堂落实待定系数法按条件选设解析式。
五、课堂小结 【课堂小结】 根据条件灵活用待定系数法确定二次函数解析式：①已知三点坐标，用一般式；②已知顶点坐标，用顶点式；③已知与 x 轴交点，用交点式（两点式）。 解答步骤：设解析式→代条件（点或对称关系）→列方程（组）→求系数→写解析式。 （设计意图：梳理三种设式与解答步骤，突出“审题选式”。） 归纳一般式、顶点式、交点式的适用条件及解答五步。 总结待定系数法选式要点，形成通法。
板书设计
26.2.3 二次函数 y=ax +bx+c（第2课时·待定系数法） 一、待定系数法 设解析式→代条件→列方程→求系数→写式 二、设解析式形式 一般式 y=ax +bx+c（已知三点） 顶点式 y=a(x-h) +k（已知顶点） 交点式 y=a(x-x )(x-x )（已知零点） 三、一题多设·殊途同归 例题与三变式均为 y=x -2x-3 ★ 数学思想：转化·方程思想 学生板演区
教学反思

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