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26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计
课题 26.3 二次函数与一元二次方程 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）通过探索，理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系； （2）能运用二次函数的图象和性质解决实际问题，增强用数学的意识。
教学重点 理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系，能运用二次函数图象与性质解决实际问题。
教学难点 由图象与 x 轴交点个数沟通一元二次方程根的判别式，运用数形结合解决实际问题。
教学方法 类比法、图象法、数形结合、探究归纳法 教学准备 多媒体课件、坐标纸、直尺
课后练习 完成检测反馈4题及教材第47~49页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 1.解一元一次方程 x+1=0；2.画一次函数 y=x+1 的图象，并指出它的图象与 x 轴有几个交点、交点的横坐标是什么。 学生解方程得 x=-1；图象与 x 轴交于一点，横坐标为 -1。 问题1　一元一次方程 x+1=0 与一次函数 y=x+1 有什么联系？ 关于 x 的一元一次方程 ax+b=0 的解，就是一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴交点的横坐标；反之也成立。 （设计意图：类比一次，建立“方程的解=函数图象与 x 轴交点横坐标”的观念，迁移到二次。） 解 x+1=0，画 y=x+1 图象并指出与 x 轴交点横坐标，归纳一次方程与一次函数图象的关系。 通过一次类比，为二次函数与一元二次方程的联系作铺垫。
二、探索归纳 【探索归纳】问题2　下列二次函数图象与 x 轴有没有公共点？若有，求出公共点横坐标；当 x 取该横坐标时函数值是多少？ (1) ；(2) ；(3) 。 由图象发现： (1) 与 x 轴有两个公共点，横坐标 -2、1，此时函数值为 0，故方程 的根为 -2、1； (2) 与 x 轴有一个公共点 x=3，此时函数值为 0，故方程 有两个相等的实数根 3； (3) 与 x 轴没有公共点，故方程 没有实数根。 问题3　完成下表，沟通二次函数与一元二次方程的根的判别式： 图象与 x 轴交点个数：2 个 两不等实数根 Δ>0；1 个 两相等实数根 Δ=0；0 个 无实数根 Δ<0。 其中判别式 。 （设计意图：由具体抛物线的交点个数归纳判别式与根的三种关系，形成数形对应。） 观察三抛物线交点个数与横坐标，写出对应一元二次方程的根；完成图像交点、方程根数、判别式三者对应表。 通过探图—求根，归纳二次函数图象交点与方程根的三种联系。
三、新知应用 【新知应用】例1　如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出，其飞行路线是一条抛物线。不考虑空气阻力时，飞行高度 h(m) 与飞行时间 t(s) 满足 h=20t-5t 。 。 考虑以下问题：(1) 能否达到 15 m？如能，需要多少飞行时间？(2) 能否达到 20 m？(3) 能否达到 20.5 m？为什么？(4) 球从飞出到落地要用多少时间？ (1) 令 ，即 ，(t-1)(t-3)=0，t=1 或 3，故 1 s 和 3 s 时高度都为 15 m； (2) 令 ，即 ，(t-2) =0，t=2，故仅在 2 s 时高度达到 20 m； (3) 令 ，即 ，Δ=400-410<0，无实数根，故不能达到 20.5 m； (4) 落地时 h=0：，5t(4-t)=0，t=0 或 4，故球从飞出到落地需 4 s。 议一议：结合图象回答——为什么有两个时间高度是 15 m？为什么仅一个时间高度是 20 m？二次函数图象与一元二次方程的解有什么关系？ 抛物线与定高直线 y=m 的交点个数，对应方程 h=m 的根的个数，从而沟通图象与方程。 例2　利用函数图象求方程 x -2x-2=0 的实数根（结果保留小数点后一位）。 画出 的图象，它与 x 轴公共点的横坐标约为 -0.7、2.7，故方程根为 、。 教师点拨：还可逐步缩小根所在的范围逼近精确值，体会“图象法—估计根”的过程。 （设计意图：以小球高度与图象求根两个实例，落实方程与函数问题的相互转化。） 对 h=20t-5t 求 15、20、20.5、0 各高度的对应时间；画 y=x -2x-2 图象估根并回答图象与方程的对应关系。 以例1、例2将方程求解转化为图象交点问题，渗透数形结合。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.抛物线 与 x 轴的交点个数有（　　）A.0 个　B.1 个　C.2 个　D.3 个【答案】Δ=16>0，选 C） 2.根据表格的对应值，判断方程 ax +bx+c=0 一个解 x 的范围是（　　）当 x=2.23、2.24、2.25、2.26 时 y=-0.06、-0.02、0.03、0.09。 【答案】y 在 2.24 时 -0.02、2.25 时 0.03 异号，根在 2.24 与 2.25 之间，故选 C。 3.已知二次函数 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是______。【答案】函数为二次则 k≠0，Δ=4-4k≥0，故 k≤1 且 k≠0） 4.抛物线 y=ax +bx+c 的图象如图所示，请根据图象回答： (1) 方程 ax +bx+c=0 的解是 x=-1 或 x=3（图象与 x 轴交于 (-1,0)、(3,0)）； (2) 图象开口向下，当 -10；(3) 当 x<-1 或 x>3 时 y<0。 （设计意图：以交点个数、范围估根、参数取值范围、图象解不等式当堂检测本课联系。） 判断与 x 轴交点个数、由对应值判根范围、求参数范围、由图象写方程解与 y 的正负区间。 当堂落实图象交点、判别式与不等式读图。
五、课堂小结 【课堂小结】 (1) 若抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴有公共点，公共点横坐标为 x0，则当 x=x0 时函数值为 0，即 x=x0 是方程 ax +bx+c=0 的一个根。 (2) 图象与 x 轴的位置关系有三种（无公共点、一个、两个），对应方程根的三种情况（无实根、两等根、两不等根），由判别式 Δ 判定。 （设计意图：归纳交点即根、根由 Δ 判定，突出“数形结合与类比”。） 归纳抛物线交点横坐标即方程根，及交点个数—根的种数—判别式三种对应。 总结本课联系，渗透类比与数形结合思想。
板书设计
26.3 二次函数与一元二次方程 一、图象交点与方程根 交点横坐标 方程的根 二、三种对应关系 2个交点 两不等根 Δ>0 1个交点 两等根 Δ=0 0个交点 无实根 Δ<0 三、应用 例1 小球 h=20t-5t 的高度·落地 例2 图象法求 x -2x-2=0 的根 ★ 数学思想：数形结合·类比转化 学生板演区
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