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26.4 实际问题与二次函数（第2课时·利润最值） 教学设计
课题 26.4 实际问题与二次函数 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）能从“总利润＝单件利润×销量”这一基本关系出发，列出函数关系式并确定自变量取值范围，利用二次函数顶点及性质求最值； （2）经历“实际问题→二次函数模型→利用结果解释问题”的过程，体会数学建模思想，发展合情推理，体会数学来源于生活、服务于生活。
教学重点 分析利润问题的数量关系，建立二次函数模型并确定自变量取值范围，运用二次函数最值解决实际问题。
教学难点 理解“涨价”与“降价”模型的统一性，通过顶点公式求实际最值。
教学方法 建模思想、对比归纳、合作探究、数形结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成检测反馈1题及教材第52~54页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 1.如何求二次函数 y=ax +bx+c 的最小（大）值？ 抛物线的顶点是最低（高）点，当 x= 时，y 取得最小（大）值 。 2.简述用二次函数解决实际问题的一般步骤（审题意→设未知量→列函数式→定范围→求最值→作答检验）。 （设计意图：回顾最值公式与解题步骤，为利润建模提供方法储备。） 回顾最值公式（对称轴与顶点纵坐标）并叙解决实际问题的一般步骤。 复习最值求法与解题流程，衔接利润应用题。
二、新知探究 【新知探究】探究1（课本）　某商品现售价每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查：若调整单价（单价为整数），每涨价 1 元，每星期少卖 10 件；每降价 1 元，每星期多卖 20 件。进价每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 先考虑“涨价”策略。设每件商品在 60 元基础上涨价 x 元，则每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件，售价 (60+x) 元，单件利润 (20+x) 元。 列出周总利润（单件利润×销量）：。 因 -10<0，当 x=5 时 y 最大 6250，即涨价 5 元、定价 65 元时，周总利润最大，为 6250 元。 建立“降价模型”（对比学习）。设每件降价 x 元，则每星期多卖 20x 件，实际卖出 (300+20x) 件，售价 (60-x) 元，单件利润 (20-x) 元。 周利润：，当 x=2.5（降价 2.5 元、售价 57.5 元）时最大 6125 元。 对比结论：涨价方案利润 6250 元＞降价方案 6125 元，故定价 65 元时利润最大，最大利润 6250 元。 归纳：用二次函数解决利润问题的一般步骤——(1) 由“总利润＝总售价-总成本”或“总利润＝单件利润×销量”列函数式；(2) 结合实际确定自变量取值范围；(3) 在取值范围内用配方/公式或图象求最大利润；(4) 解决实际问题并检验。 （设计意图：以涨价、降价两模型对比，统一到“单件利润×销量”，强调建立自变量的取值范围。） 填写任务单（少卖件数、销量、售价、销售额、成本），列涨价与降价两模型的函数式并配方求最值，对比后归纳四步法。 通过涨价/降价对比，建立利润函数模型并求最值，形成通法。
三、变式应用 【变式应用】景区旅游食品利润 某景区旅游商店以 20 元/kg 的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售单价不低于 22 元/kg、不高于 45 元/kg，市场调查发现每天的销售量 y(kg) 与销售单价 x(元/kg) 的关系如图。 (1) 求 y 关于 x 的函数表达式；(2) 当销售单价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ (1) 由图象知为分段直线：当 22≤x≤30 时，；当 30≤x≤45 时，。 (2) 日销售利润 。当 30≤x≤45 时，，故 x=35 时 P 最大 450。 检验：第一段在 22≤x≤30 内端点 x=30 时利润为 10×40=400，小于 450，故最大利润仍在售价 35 元/kg 处取得。 答：销售单价定为 35 元/kg 时，每天销售利润最大，最大利润为 450 元。 （设计意图：以分段函数与“单件利润×销量”建模，检验最值是否落在定义域内。） 由图象求分段函数表达式，列利润函数并配方求顶点，比较分段端点利润确定最大利润。 通过景区食品题，落实分段函数建模与定义域内求最值。
四、检测反馈 【检测反馈】（2025·大庆中考）红色研学文创纪念品 大庆博物馆推出 A、B 两种文创纪念品。已知 2 个 A 和 3 个 B 的成本和是 155 元，4 个 A 和 1 个 B 的成本和是 135 元。一套由 A、B 各一个组成，每套售价不低于 65 元且不高于 72 元（为整数）。售价为 72 元时每天可售 80 套；每降价 1 元，销量增加 10 套。设每天利润为 W(元)，每套售价为 a 元（65≤a≤72）。 (1) 分别求出 A、B 每个的成本；(2) 求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大。 (1) 设 A 成本 x、B 成本 y，则 2x+3y=155；4x+y=135，解得 x=25、y=35，即 A 每个 25 元、B 每个 35 元。 (2) 每套成本 60 元，售价 a 元，单套利润 (a-60) 元；销量为 80+10(72-a)=800-10a，故 。因顶点 a=70 恰在 65≤a≤72 内且为整数，故 a=70 时 W 最大 1000。 （设计意图：以中考压轴题检测“单件利润×销量”建模与定义域内顶点求最值。） 列二元一次方程组求 A、B 成本，再列利润函数配方，判断顶点是否在定价范围内取最值。 当堂落实联立方程组与利润函数最值求解。
五、课堂小结 【课堂小结】 1.回忆解决利润问题的过程：列“单件利润×销量”函数式→定取值范围→配方/公式求最值→检验作答。2.注意：分清涨价与降价、单位利润的变化，求出的最值是否在自变量取值范围内。 （设计意图：总结利润建模步骤与易错点，强化建模与最值检验。） 归纳利润问题建模步骤与注意事项（涨价降价、定义域、最值检验）。 结构化总结利润问题通法，深化建模思想。
板书设计
26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 一、建模要点 总利润＝单件利润×销量 单件利润＝售价-进价 注意自变量取值范围 二、涨价与降价统一 涨价 y=-10(x-5) +6250（x=5 最大） 降价 y=-20(x-2.5) +6125（x=2.5） 结论：定价 65 元利润最大 6250 三、四步法 列式→定范围→求最值→检验作答 变式·大庆中考：W=-10(a-70) +1000 ★ 数学思想：建模·最优化 学生板演区
教学反思

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