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26.4 实际问题与二次函数（第3课时·拱桥问题） 教学设计
课题 26.4 实际问题与二次函数 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第3课时 课型 新授课
教学目标 （1）能对拱桥等实际问题的情景进行分析，建立二次函数模型并用二次函数知识求解，能根据实际意义检验结果是否合理； （2）经历用二次函数解决实际问题的过程，体验数学建模思想，学会用数学方法观察、研究、解决实际问题。
教学重点 把实际生活中的最值（拱桥载荷）问题转化为二次函数的最值问题。
教学难点 读懂题意、找出相关量的数量关系、正确建立坐标系与函数模型。
教学方法 情境探究、建系建模、数形结合、合作归纳 教学准备 多媒体课件、直尺
课后练习 完成检测反馈2题及教材第55~58页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 1.回顾：如图所示的二次函数图象解析式为 y=2x +8x+13。 配方得 ，开口向上，顶点为 (-2,5)。 (1) 该二次函数存在最______（大/小）值，是______。 【答案】小值，是 5（顶点纵坐标即最值）。 (2) 若 -3≤x≤3，函数的最大值、最小值分别为______、______。 【答案】顶点 x=-2 在区间内，最小值 y=5；区间右端 x=3 距对称轴最远，y=2·25+5=55 为最大值。故最小 5、最大 55。 (3) 若 0≤x≤3，函数的最大值、最小值分别为______、______。 【答案】顶点 x=-2 不在 [0,3] 内，函数在 [0,3] 上递增：最小值 y(0)=13，最大值 y(3)=55。 2.思考求函数最值应注意什么？（一看二次项系数符号定大/小；二看顶点是否在给定区间内，必要时比较端点值。） 【情境引入】欣赏一组石拱桥图片，观察桥拱的形状。 （设计意图：复习最值与区间最值，并借石拱桥激活直觉，引出抛物线形。） 配方求最值，并分别求 -3≤x≤3、0≤x≤3 的区间最值；观察石拱桥形状。 复习最值与区间最值，为拱桥抛物线建模作铺垫。
二、探索归纳 【探索归纳】探究　如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m，水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 问题1　把实物抽象为抛物线，可用什么函数表示？水面宽度在函数图象上对应什么？ 由抛物线想到二次函数 y=ax ；水面宽度对应同一高度下抛物线两交点的水平距离。 问题2　怎样建立平面直角坐标系更简洁？ 以抛物线的顶点为原点、对称轴为 y 轴建立坐标系，使解析式简化为 y=ax 。 问题3　由条件求解析式，再求水面下降 1 m 时的宽度。 抛物线过点 (2,-2)，由 -2=a·4 得 ，故 。水面下降 1 m 即 y=-3，取 x= ，水面宽 2 m，比原 4 m 增加 (2-4) m（约 0.9 m）。 【归纳】建立二次函数模型解决拱桥问题的一般步骤： (1) 考察实物（抛物线形）；(2) 选建坐标系；(3) 化距离成坐标；(4) 构建二次函数；(5) 解决实际问题。 （设计意图：通过建立坐标系将拱桥问题归结为指定点的纵坐标求横坐标，体会建模五步。） 建立以顶点为原点的坐标系，由 (2,-2) 求 a，求水面下降后宽度及增加量，并归纳建模五步。 让学生经历“建系→求式→代值求宽度”全过程，形成拱桥问题通法。
三、新知应用 【新知应用】例题　有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米。 (1) 如图所示的坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2) 在正常水位的基础上，当水位上升 h（米）时，桥下水面宽度为 d（米），求 d 关于 h 的函数解析式；(3) 设正常水位时桥下水深为 2 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 米，求水深超过多少米时就会影响船只顺利航行。 (1) 设 ，抛物线过 B(10,-4)，-4=100a，故 ，解析式为 。 (2) 水位上升 h 后水面纵坐标为 -4+h，设水面端点为 D(x,-4+h)，则 -4+h=，解得 x=5，故水面宽 。 (3) 由 d≥18，令 18=，解得 ，即 h==0.76；此时水深 2+h==2.76。故水深超过 2.76 米时，水面宽度小于 18 米，将影响船只顺利航行。 （设计意图：以拱桥例题落实“建系→求式→表示 d 与 h→由限宽反求水深”的完整模型。） 求二次项系数得解析式，由水位变化表示 d 关于 h 的函数，并解 d=18 反求临界水深。 通过跨度为 20 m 的拱桥落实建模五步与最值临界判断。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.某涵洞是抛物线形，其截面如图，测得水面宽 AB=1.6 m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2.4 m，试写出涵洞所在抛物线的函数解析式。 以 O 为原点、对称轴为 y 轴，设 ，抛物线过 (0.8,-2.4)，-2.4=0.64a，故 ，解析式为 。 2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽 AB=4 米，顶部 C 离地面高 4.4 米。一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2.8 米，装货宽度为 2.4 米，判断汽车能否顺利通过。 以 AB 中点 O 为原点、y 轴向上建系，设 ，由 C(0,4.4) 得 a=-1.1，故 。货宽 2.4 即货物边缘 x=±1.2，该处拱高 ，故汽车能顺利通过。 （设计意图：以涵洞、大门两题当堂检测建系建模与“代点判断能否通过”。） 对涵洞建系求 a；对大门口建系求解析式并计算 x=1.2 处拱高与货高比较。 当堂落实建系求式与利用函数值判断实际通过性。
五、课堂小结 【课堂小结】 1.本课收获：对抛球、拱桥跨度等实际问题的情景进行分析，建立二次函数模型求解，并据实际意义检验结果是否合理。2.对没有坐标系的实际问题，先选择合适的原点建立坐标系再转化为函数问题。3.加深对建模五步（考察实物→选建坐标系→化距离成坐标→构建二次函数→解决实际问题）的理解。 （设计意图：总结“建系—建模—检验”，体会数学建模思想。） 回顾拱桥建模五步及检验合理性的方法，交流收获与疑惑。 结构化总结建系建模通法，深化建模与应用意识。
板书设计
26.4 实际问题与二次函数（第3课时） 一、建模五步 考察实物→选建坐标系 化距离成坐标→构建二次函数→解决 二、例题 拱桥 设 y=ax 由 B(10,-4) 求 a d=10√(4-h)；水深>2.76 m 影响通航 三、跟踪练习 涵洞、大门建系求解析式 x=1.2 处 y=2.816>2.8→能通过 ★ 数学思想：建系·建模·数形结合 学生板演区
教学反思

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