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27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 教学设计
课题 27.2 反比例函数的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）会用描点法画反比例函数图象；理解反比例函数的性质； （2）通过观察图象分析、探究性质，养成探究、归纳及概括的能力。
教学重点 画反比例函数图象，理解反比例函数的性质。
教学难点 画反比例函数图象，并应用反比例函数的性质。
教学方法 描点作图、合作探究、数形结合、归纳对比 教学准备 多媒体课件、几何画板、坐标纸
课后练习 完成检测反馈6题及教材第9~11页相应练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 1.校园内一块长方形草坪面积为 200 m ，它的长 y（m）与宽 x（m）之间满足什么函数关系？当长 y 增加时，宽 x 将怎样变化？ 由面积=长×宽得 （x>0），这是反比例函数；长 y 增大时，宽 x 减小。 2.复习回顾：(1) 正比例函数 y=kx（k≠0）的图象是什么？性质有哪些？二次函数呢？(2) 画函数图象的方法是什么？一般步骤（列表、描点、连线）及注意事项。 （设计意图：以草坪引出反比例函数图象探究，复习正比例图象为类比作准备。） 由草坪面积列反比例式并分析变化；复习正比例、二次函数图象与描点法步骤。 激活已有知识，为描点画反比例图象铺路。
二、探索归纳 【探索归纳】探究活动1　　请在同一直角坐标系中画出如下两函数的图象。 画出 与 的图象。 （学生独立完成作图、分小组交流，教师用计算机演示图象生成与变化过程。） 观察思考：①所取点有什么特点？图象有什么特点？②与一次函数图象有何不同？③图象与坐标轴有没有交点？④形状、位置、变化趋势怎样？⑤两图象有什么共同特征？ 归纳：(1) 两支函数图象都由两支曲线组成；(2) y 随 x 增大（或减小）时曲线越来越接近坐标轴，但永远与坐标轴没有交点；(3) 图象位于第一、第三象限， 位于第二、第四象限；(4) 在同一坐标系内，两图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称。 探究活动2　　试画出如下两函数的图象。 画出 与 的图象。 可以利用反比例函数图象的对称性，取一些特殊的点画图（选点关于原点对称、成对取点描出）。 探究活动3　　类比正比例函数的性质，归纳反比例函数的性质。 再分别观察 、 与 、 的图象（用几何画板展示不同双曲线）后归纳： (1) 反比例函数 （k≠0）的图象是由两支曲线组成的双曲线； (2) 当 k>0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大； (3) 与 （k≠0）的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称；(4) 随着 |k| 的增大，双曲线相对于坐标原点越来越远。 （设计意图：通过探究1-3，从描点画图到归纳性质，理解双曲线特征与增减性。） 同桌合作描点画两支双曲线图象并讨论观测题；利用对称性画另一对双曲线；小组归纳反比例性质四要点。 让学生经历描点—观察—归纳，把握双曲线图象与性质。
三、新知应用 【新知应用】 1.反比例函数 （x 的指数为 -1 型）的图象在第二、第四象限，求实数 m 的值，并指出 y 随 x 的变化情况。 【答案】由二、四象限得系数 m-1<0，求得 ，此时 m-1<0 符合，故每一象限内 y 随 x 的增大而增大。 2.若反比例函数 的图象在第二、第四象限，则实数 k 的取值范围是（　　）A. k>-1　B. k<-1　C. k=-1　D. k>0。【答案】B（k+1<0，k<-1） 3.若点 (-2,y )、(-1,y )、(2,y ) 都在反比例函数 的图象上，则（　　）A. y >y >y 　B. y >y >y 　C. y >y >y 　D. y >y >y 。【答案】y =6>y =3>y =-3，选 B 4.在江边公园要种植一块面积 400 m 的矩形草坪，设长为 y（m）、宽为 x（m）。 (1) （x>0）；(2) 画出该函数图象；(3) 若限定草坪宽大于 5 m 且不超过 20 m，求草坪长的范围。 (3) 当 x=5 时 y=80、x=20 时 y=20，y 随 x 增大而减小，故 20≤y<80，即长不小于 20 m 且小于 80 m。 （设计意图：通过参数、取值、比较与草坪图象四题，落实性质的应用与数形结合。） 由象限定系数符号求 m 与 k 范围；代点比较三纵坐标大小；列草坪函数、画图并求长取值范围。 应用反比例性质求参数、比较与建模，检验数与形结合。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.函数 的图象在第______象限，每一象限内 y 随 x 的增大而______。【答案】一、三；减小】 2.函数 的图象在第______象限，每一象限内 y 随 x 的增大而______。【答案】二、四；增大】 3.函数 ，当 x>0 时，图象在第______象限，y 随 x 的增大而______。【答案】一；减小】 4.1000 米长跑比赛中，速度 h 关于时间 t 的图象大致是（　　）【答案】由 （t>0）知为第一象限递减的双曲线。 5.当 k>0 时，函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象是（　　）【答案】 过一、三象限；k>0 时 -k<0， 位于二、四象限，据此选择。 6.在平面直角坐标系中，反比例函数 图象的两个分支分别在（　　）A.第一、三象限　B.第二、四象限　C.第一、二象限　D.第三、四象限。【答案】A】 （设计意图：通过填象限、增减性、速度图、双函数图、象限判断当堂检测。） 填象限与增减性；识别长跑速度-时间图；判断正比例与反比例组合略图；判断双曲线所在象限。 当堂落实图象与性质的读图、判断与运用。
五、课堂小结 【课堂小结】 对比正比例函数与反比例函数： 解析式：正比例 （k≠0）；反比例 （k≠0）。 图象：正比例——过原点的直线；反比例——与坐标轴没有交点的双曲线。 自变量范围：正比例——全体实数；反比例——x≠0 的一切实数。 图象位置：正比例 k>0 一、三象限，k<0 二、四象限；反比例同。增减性：正比例 k>0 增大而增大、k<0 增大而减小；反比例 k>0 每一象限内增大而减小、k<0 每一象限内增大而增大。 （设计意图：用正反比例对比归纳图象与性质，理解两者异同。） 与正比例对比，归纳反比例函数的解析式、图象、范围、位置、增减性。 结构化对比正反比例函数，深化双曲线性质。
板书设计
27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 一、画图 列表→描点→连线（ 等） 二、图象特征 双曲线：两支；与坐标轴不相交 与 关于 x 轴、y 轴对称 三、性质 k>0 一、三象限，每象限内增大而减小 k<0 二、四象限，每象限内增大而增大 |k| 越大，离原点越远 ★ 数学方法：描点·数形结合·类比 学生板演区
教学反思

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