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27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 教学设计
课题 27.2 反比例函数的图象和性质 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）能运用反比例函数图象与性质比较大小，能用待定系数法求解析式，理解反比例函数中 k 的几何意义，解决综合问题； （2）经历观察、分析、交流等过程，积累函数学习经验，提高解决函数综合题的能力。
教学重点 运用函数图象和性质解决较综合的问题。
教学难点 灵活运用函数图象和性质解决较综合的问题。
教学方法 数形结合、待定系数法、几何意义探究、综合应用 教学准备 多媒体课件、几何画板
课后练习 完成检测反馈5题及教材第71~72页练习。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 1.请判断点 A(3,2)、B(-3,-2)、C(2,3)、D(-2,-3) 是否在同一个反比例函数的图象上？能求出这个函数的解析式吗？它的图象位于第几、第几象限？每一象限内 y 随 x 的增大而增大还是减小？ 各点横纵坐标之积均为 6，故都在反比例函数 的图象上；k=6>0，图象位于第一、第三象限，每一象限内 y 随 x 的增大而减小。 2.复习回顾：(1) 反比例函数的图象是双曲线；(2) k>0 时位于一、三象限且每象限内增大而减小；k<0 时位于二、四象限且每象限内增大而增大。 思考：在解答第 1 题时你还有哪些新发现？ 小结：1.反比例函数图象关于原点中心对称；2.判断点是否在图象上，只需看该点横纵坐标之积是否等于常数 k；3.点的横纵坐标同号则 k>0、图象在一、三象限；异号则 k<0、图象在二、四象限。 （设计意图：复习图象与性质，巩固数与形的对应，为本课 k 的几何意义作过渡。） 计算 A-D 各点横纵坐标之积并判是否在同一反比例图象上；回顾图象位置与增减性，归纳三条新发现。 回顾图象、性质与点的判断，承上启下。
二、探索归纳 【探索归纳】例1（教材 P70 例1）　已知反比例函数的图象经过点 A(-2,4)。 (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？(2) 点 B(1,-8)、C(-1,8)、D(2,4) 是否在这个函数的图象上？ 解：设 ，由 A(-2,4) 得 ，故 。 (1) k=-8<0，图象位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大； (2) B：1×(-8)=-8=k，在图象上；C：(-1)×8=-8=k，在图象上；D：2×4=8≠-8，不在图象上。 例2（教材 P71 例2）　结合教材图象完成：由两交点横坐标，可判定函数增减情况等（详见教材解答）。 例3（补充）　如图，P 是反比例函数图象上一点，由点 P 分别向 x 轴、y 轴引垂线，阴影部分面积为 3，求这个反比例函数的解析式。 提问1：阴影部分是什么图形？如何求面积？提问2：求解析式需知道什么条件？提问3：点 P 在第几象限？坐标与阴影图形的长和宽有何关系？ 设 P(x,y)。垂线与两坐标轴围成矩形 OAPB，面积 。P 在第一象限，S=xy=3；又 P 在反比例图象上，故 ，解析式为 。 小结：由反比例函数图象上任一点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积为 |k|（即 k 的几何意义）。 思考：任取一点垂直向一坐标轴作垂线构成三角形的面积是多少？ △AOP 的面积为矩形面积的一半 。 （设计意图：由例1例2复习解析式与图象，由例3揭示 k 的几何意义。） 用待定系数法求 k 判断点的位置；推导矩形面积 S=|x|·|y|=xy=3 得解析式；计算三角形面积为 |k|/2。 以例1-3落实解析式求定与 k 的几何意义。
三、新知应用 【新知应用】补充练习 1.正比例函数 的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是 2，求 x=-3 时 y 的值。 交点在 y =x 上且 y=2，故横坐标 x=2；代入反比例得 ，即 ，当 x=-3 时 。 2.已知 A 是反比例函数 图象上的一点，AB⊥x 轴于 B，且 △ABO 的面积是 3，则 k 的值是______。【答案】S△==3，|k|=6，k=±6 3.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 A(m,2)、B(-2,n)，一次函数图象与 y 轴交于点 C。 (1) 求一次函数解析式；(2) 求 C 点坐标；(3) 求 △AOC 的面积。答案：由 A(1,2) 与 B(-2,-1) 得一次函数 ；(2) 与 y 轴交于 C(0,1)；(3) 。 （设计意图：通过交点、三角形面积、双函数综合三题应用性质与几何意义。） 求交点横坐标与 k 并代值；由三角形面积为 |k|/2 求 k；由两点求一次函数并求与 y 轴交点及三角形面积。 综合运用反比例性质、几何意义与求交点。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.已知反比例函数 的图象过点 (1,-2)，则 k 的值为（　　）A.2　B.-1　C.1　D.-2【答案】k=1×(-2)=-2，选 D】 2.反比例函数图象上有两点 (x ,y )、(x ,y )，且 x y 　B. y 五、课堂小结 【课堂小结】反比例函数图象及性质的运用： (1) k 的符号决定图象所在的象限；(2) y 随 x 的变化趋势由 k 决定——k>0 时在每一象限内 y 随 x 的增大而减小、k<0 时在每一象限内增大而增大（注意“在每一象限内”的限制）； (3) 常数 k 的几何意义是：图象上一点向两坐标轴作垂线围成矩形的面积 ；(4) 图象上任一点向一坐标轴作垂线，与原点所构成三角形面积 。 （设计意图：总结 k 的符号、增减决定与几何意义，深化综合运用。） 归纳 k 符号定位置、增减由 k 决定、几何意义为矩形 |k| 与三角形 |k|/2。 结构化总结 k 的几何意义与性质应用。
板书设计
27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 一、解析式 待定系数：代点求 k 例1：A(-2,4)→k=-8→ 二、k 的几何意义 矩形面积 = |k| 三角形面积 = |k| 的一半 例3：矩形面积 3 → k=3 → 三、综合应用 交点·增减比较·对称点·三角形面积 ★ 数学思想：数形结合·几何意义 学生板演区
教学反思

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