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27.3 实际问题与反比例函数 教学设计
课题 27.3 实际问题与反比例函数 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）能根据实际问题情景建立反比例函数的模型，能灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题； （2）体会数学建模思想的构建，体会数学知识的现实意义，提高分析与解决问题能力，培养应用意识。
教学重点 从实际问题中建立反比例函数模型，运用意义和性质解决实际问题。
教学难点 根据具体实际问题的情景建立反比例函数模型。
教学方法 情境探究、建模、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件
课后练习 完成检测反馈3题及教材第74~76页习题。 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情境 【创设情境】 问题1　填空： (1) 反比例函数的定义是：形如 （k 为常数，k≠0）的函数。 (2) 反比例函数的图象是双曲线，当 k>0 时位于第一、三象限；当 k<0 时位于第二、四象限。 (3) 待定系数法求反比例函数解析式的步骤：设式→代入一点的坐标求 k→写出解析式。 问题2　公元前 3 世纪，有位科学家说“给我一个支点，我可以撬动地球”，你们知道他是谁吗？这蕴含什么原理？ 这是阿基米德的名言，蕴含杠杆原理；杠杆平衡时，动力与动力臂的乘积等于阻力与阻力臂的乘积。 杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂。 问题3　电学知识告诉我们，用电器的功率 P（W）、两端的电压 U（V）以及用电器的电阻 R（Ω）有关系 ，这个关系也可写为 或 。当电压 U 一定时，P 与 R 成反比例。 （设计意图：复习反比例基础，以“撬动地球”与电学引出生活中成反比例的量。） 填空复习反比例定义、图象与待定系数法；结合名言、杠杆与公式 PR=U 认识反比例关系。 激活旧知，用生活与物理实例引出反比例建模。
二、探索归纳 【探索归纳】例1　码头装卸作业中的反比例关系。 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。 (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v（t/h）与卸载完所有货物的总时间 t（h）之间有怎样的函数关系？ (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”先求货物总量，再由“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”得解析式。 解：(1) 货物总量为 700×9=6300（t），故 ；(2) 把 t=6 代入得 （t/h）。对函数 ，当 t>0 时 t 越小 v 越大，故不超过 6 h 卸载完，平均每小时至少卸载 1050 t。 例2　撬动石头的杠杆问题（背景同问题2 的杠杆原理）。 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。 (1) 动力 F（N）与动力臂 l（m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 解：(1) 由杠杆原理得 Fl=1200×0.5=600，故 ；当 l=1.5 时 （N），即至少需要 400 N 的力；(2) 当 F=200 时由 200= 得 l=3（m），3-1.5=1.5（m），故动力臂至少要加长 1.5 m。 例3　功 W=Fs 中的反比例关系。 在力 F（N）作用下，物体沿力的方向发生位移 s（m），力 F 所做的功 W（J）满足 W=Fs。当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图。 (1) 当力 F 为 10 N 时，求 F 所做的功 W；(2) 写出 s 关于 F 的函数解析式； (3) 在做功相同的情况下，要使物体的位移小于 100 m，求力的范围。 解：(1) 由图知 F=10 N 时 s=50 m，故 W=Fs=10×50=500（J）；(2) 由 (1) 得 ；(3) 将 s=100 代入得 F=5（N），因 s 随 F 增大而减小，故位移小于 100 m 时力 F 大于 5 N。 例4　客车行驶速度与时间（图象综合）。 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（km/h）与行驶全程用时间 t（h）的函数关系如图，其中 60≤v≤120。 (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围。 解：(1) 甲、乙间路程为定值。由图知 t=2 时 v=120，故路程 120×2=240（km），；当 v=60 时 t=4，又 v 随 t 增大而减小，故 2≤t≤4；(2) 8 时至 10 时 40 分历时 h，代入得 v=90（km/h）；8 时至 11 时历时 3 h，代入得 v=80（km/h），故 80≤v≤90。 方法小结：读图求解析式（代点求 k）+ 结合增减性与定义域确定取值范围。 （设计意图：通过卸货、杠杆、功、行程四例展示反比例函数建模与图象应用。） 列货物总量求卸载速度 v 与时间 t 的关系式及 6 小时内最小卸载量；由杠杆原理求动力 F 与动力臂 l 的关系式及加长量；从图象读点求功 W 与位移 s 关于力 F 的解析式；读图求平均速度 v 关于时间 t 的解析式与速度范围。 让学生完整经历“建模—求解析式—利用增减性与定义域求解”全过程。
三、新知应用 【新知应用】 1.某玻璃器皿制造公司要制造容积为 1 L（1 L=1 dm ）的圆锥形漏斗。 (1) 漏斗口的面积 S（dm ）与漏斗的深度 d（dm）有怎样的函数关系？(2) 如果漏斗口的面积为 100 cm ，则漏斗的深为多少？ 解：圆锥体积 V=Sd=1，故 ；(2) S=100 cm =1 dm ，代入得 d=3（dm）=30 cm。 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 km/h 的平均速度用 6 h 到达目的地。 (1) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？(2) 如果该司机必须在 4 h 之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？ 解：路程 80×6=480（km），故 ；(2) t≤4 时 v≥（km/h），即返程平均速度不能小于 120 km/h。 3.新建住宅楼外表面需贴瓷砖，表面面积为 5×10 m 。 (1) 所需瓷砖块数 n 与每块瓷砖面积 S（m ）有怎样的函数关系？ (2) 采用灰、白、蓝三种瓷砖（每块面积 80 cm ），数量比为 2∶2∶1，需要三种瓷砖各多少块？ 解：(1) ；(2) 每块 80 cm =0.008 m ，共需 块；按 2∶2∶1 分，灰白蓝各 250000、250000、125000 块。 （设计意图：以漏斗、返程、瓷砖三题当堂训练建模与求解。） 由圆锥体积求漏斗面积 S 与深度 d 的关系式并代面积求深；求返程速度 v 与时间 t 的关系式及最小速度；求瓷砖数 n 与每块面积 S 的关系式并分配三色瓷砖块数。 当堂落实几何、行程、工程类反比例建模。
四、检测反馈 【检测反馈】 1.已知甲、乙两地相距 s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则行驶时间 t（h）关于速度 v（km/h）的函数图象是（　　） 由 t=（s>0，v>0）知为第一象限递减的双曲线，选 C。 2.在某一电路中，电源电压 U 保持不变，电流 I（A）与电阻 R（Ω）之间的函数关系如图所示。 (1) 写出 I 与 R 之间的函数解析式；(2) 当电路中电流不超过 12 A 时，电路中电阻 R 的取值范围是多少 Ω？ 解：由欧姆定律 ，读图代入点求 ；(2) I≤12 时 （Ω），即电阻 R 大于或等于 3 Ω。 3.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积 V（m ）变化时，气体密度 ρ（kg/m ）随之变化。已知 ρ 与 V 成反比例，图象如图所示。 (1) 求 ρ 关于 V 的函数解析式；(2) 求 V=9 m 时二氧化碳的密度 ρ。 解：设 ，读图代入点得 k=9.9，故 ；(2) V=9 时 （kg/m ）。 （设计意图：以行程、电学、密度三题当堂检测建模与图象读图应用。） 判别时间 t 与速度 v 的函数图象；由欧姆定律与图象求电流 I 与电阻 R 的关系式及 R 的取值范围；读图确定密度 ρ 关于体积 V 的解析式并求 V=9 时密度。 当堂落实应用图象、公式建模求解的能力。
五、课堂小结 【课堂小结】 1.知识小结：面积一定时，矩形的长与宽成反比；面积一定时，三角形一边长与这边上高成反比；体积一定时，柱体底面积与高成反比等。建立反比例函数模型解决实际问题时，要注意自变量的取值范围。 2.思想方法小结：深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。 （设计意图：归纳常见反比例关系与建模思想。） 回顾反比例建模的常见模型、自变量范围与数形结合思想。 结构化小结建模应用与思想方法。
板书设计
27.3 实际问题与反比例函数 〇 实际问题 → 数学模型（反比例函数） 例1 卸货 ｜例2 杠杆 例3 功 ｜例4 行程 建模步骤 审出等量→设变量→求 k→写解析式→结合增减与定义域作答 ★ 思想：数学建模·数形结合·转化 学生板演区
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