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30.1.2 圆的切线 第1课时 教学设计
课题 30.1.2 圆的切线（第1课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 （1）能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理； （2）掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题。
教学重点 探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题。
教学难点 探索圆的切线的判定方法，以及解决相关问题时怎样添加辅助线。
教学方法 动手操作、问题探究、反证教学、讲练结合、师生互动 教学准备 多媒体课件、三角尺、圆规
课后练习 教材第155页习题30.1第4~6题 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、动手操作
（复习导入） 【动手操作】请同学们在纸上画☉O 和圆上一点 A，并思考：根据所学知识，如何画出这个圆过点 A 的一条切线？能画几条？有几种画法？你又怎么确定你所画的这条直线就是☉O 的切线？ （教师巡视，提示学生从“过点 A 作半径的垂线”入手，体会一次只能确定一条切线。） 在纸上画☉O 和圆上一点 A，尝试作出过点 A 的切线，并举手说明作图方法。 以动手操作为切入口唤起作图经验，制造“如何判定切线”的认知冲突，引出本课学习课题。
二、新知探究
1.切线的判定定理 【探索思索】1. 如图，在☉O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？ 因为 l⊥OA，OA 为半径，所以圆心 O 到直线 l 的距离等于半径，即 。 2. 追问：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系？你能发现此问题与上节课所学内容的联系吗？ 由上节课结论“相切 ”可得：此时直线和圆相切。） 3. 探索归纳切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 文字语言：经过半径的______并且______这条半径的直线是圆的切线； 几何语言：如上图，∵ OC 为半径，且 OC⊥AB，∴ AB 与☉O 相切于点 C。 4. 反例辨析：观察下面两个图形，直线 l 都不是圆的切线。由此说明：判定定理中的两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可。 5. 讲解教材第 152 页练习第 1 题，请学生先独立寻找解题思路，教师再引导，最后小结解题基本模式（连半径、证垂直）。 观察图，求圆心 O 到直线 l 的距离并得出 d=r；结合上节课“相切 d=r”归纳判定定理；辨析反例说明两条件缺一不可；完成教材第152页练习第1题。 通过“距离 d=r→相切”的量化推理引出判定定理，突破重点；以两个反例突破“两条件缺一不可”这一易错点。
三、新知探究
2.切线的性质定理 1. 教师引导思考：如图，如果直线 l 是☉O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？ 2. 反证法证明：直接证明比较困难，可用反证法。假设半径 OA 与 l 不垂直，如图，过点 O 作 OM⊥l，垂足为 M，根据垂线段最短的性质有 ：，即 ，此时直线 l 与☉O 相交，这与已知直线 l 与☉O 相切矛盾，所以假设不正确，即半径 OA 与直线 l 垂直。 3. 归纳切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4. 讲解教材第 151 页例 2，规范证明步骤。 5. 拓展辨析：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他结论时使用。二者恰好互逆。 猜想性质并尝试说理；跟随反证法证明：填出“OM四、巩固练习 【当堂检测】1. （选择题）下列直线是圆的切线的是（　　） A. 与圆有公共点的直线　　B. 到圆心的距离等于半径的直线　　C. 垂直于圆的半径的直线　　D. 过圆的直径外端点的直线 答案：B。 2. （填空题）如图，已知直线 EF 经过☉O 上的点 E，且 OE=EF，若∠EOF=45°，则直线 EF 和☉O 的位置关系是______。 答案：相切。理由：OE=EF 且∠EOF=45°，可得 ，即 OE⊥EF，，所以相切。 3. （证明题）如图，AB 是☉O 的直径，∠PAB=90°，连接 PB 交☉O 于点 C，D 是 PA 边的中点，连接 CD。求证：CD 是☉O 的切线。 答案提示：连接 OC、OD。由 D 为 PA 中点、O 为 AB 中点，得 OD∥PB；由 AB 为直径、C 在圆上得 ∠ACB=90°，从而证得 OD⊥AC，再由 CD=OC 得 OC⊥CD，故 CD 是☉O 的切线。 4. 教材第 152 页练习第 2、3 题。 独立判断选择与填空并说明依据；完成证明题并按“连半径、证垂直”规范书写；完成教材练习第2、3题。 当堂巩固判定与性质定理的运用，训练证明切线的基本模式；证明题落实“连半径、证垂直”的辅助线策略。
五、课堂小结
与布置作业 【课堂小结】1. 知识总结：两个定理——切线的判定定理是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理是圆的切线垂直于过切点的半径。 2. 方法总结： （1）证明切线的性质定理所用的方法是反证法； （2）证明切线的方法：① 当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，再证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；② 当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”； （3）在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线。 【布置作业】教材第 155 页习题 30.1 第 4~6 题。 梳理两个定理的内容与使用情境，总结“连半径、证垂直”“作垂直、证半径”等方法，记录作业。 结构化小结两个定理及其互逆关系，总结证明切线的方法与常用辅助线，形成完整知识结构。
板书设计
30.1.2 圆的切线（1） 一、切线的判定定理 经过半径外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线 （两个条件缺一不可） 二、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 反证法：假设→矛盾→结论 三、证明切线的方法 ① 连半径、证垂直 ② 作垂直、证半径 四、判定与性质的使用 未知相切→证相切（判定） 已知相切→用性质（互逆） 板演区 学生板演区
教学反思

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