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30.1.2 圆的切线 第2课时 教学设计
课题 30.1.2 圆的切线（第2课时） 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 第2课时 课型 新授课
教学目标 （1）理解切线长的概念，会过圆外一点作圆的两条切线； （2）经历探索切线长定理的过程，掌握切线长定理，并能应用其进行有关的计算和证明。
教学重点 切线长定理及其运用。
教学难点 切线长定理的导出及其证明，以及运用切线长定理解决一些实际问题。
教学方法 动手操作、猜想证明、小组探究、讲练结合、师生互动 教学准备 多媒体课件、三角尺、圆规、直尺
课后练习 课本第154页练习 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 【复习导入】1. 点和圆有几种位置关系？2. 直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理分别是什么？ 教师点评： （1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内 ；点在圆上 ；点在圆外 。 （2）直线和圆的位置关系同样有三种：直线 l 与☉O 相交 ；相切 ；相离 。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 口答点和圆、直线和圆的位置关系及判断依据（d 与 r 比较），复述切线的判定定理与性质定理。 回顾位置关系的定量判据与切线两定理，为从“过点作切线”引出切线长概念作好知识铺垫。
二、新知探究
1.过圆外一点作切线 【探究新知】1. 过圆外一点作圆的切线 由上节可知：过☉O 上任一点 A 都可以作一条切线，并且只有一条。提出三个问题并组织学生操作思考： 问题1：过圆外一点 P 能作圆的几条切线？——能作出 2 条，即在圆上确定一点 A 使 ∠OAP=90° 即可。 问题2：作出的直线 PA 为什么是☉O 的切线？——∵ OA 为半径，∠OAP=90°，∴ PA 为☉O 的切线。 问题3：如何作出这条直线？师生共同解决，教师板书作法：1. 连接 OP，作 OP 的垂直平分线交 OP 于点 M；2. 以点 M 为圆心、MP 为半径作弧交☉O 于点 A；3. 作直线 PA，则 PA 即为所求；同理可作出另一条切线 PB。 动手过圆外一点 P 作出两条切线，思考切线的生成原理；依据“过半径外端且垂直于半径”说明 PA、PB 为何是切线。 通过作图体验切线长的真实情境，使学生理解“过圆外一点恰作出两条切线”，为切线长定义服务。
二、新知探究
2.切线长定理 2. 切线长定理 （1）切线长：把 PA 或 PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）问题1：同学们根据上面的圆能得到哪些猜想？——猜想 PA=PB，OP 平分 ∠APB。 问题2：用文字语言如何表述？——从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 问题3：如何证明？引导学生写出已知、求证，并留时间让学生尝试证明。 例1　如图，已知 PA、PB 是☉O 的两条切线。求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB。 证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，∴ OA⊥AP，OB⊥BP，又 OA=OB，OP=OP， ∴ Rt△AOP ≌ Rt△BOP，故 PA=PB，∠OPA=∠OPB。于是得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 由操作归纳猜想 PA=PB、OP 平分∠APB 并将其文字化；写出已知、求证并独立证明例1，归纳切线长定理。 从作图到猜想、再到证明获得切线长定理，完整经历“观察—猜想—证明”的过程，突破难点。
三、新知应用
（课本P153例3） 【新知应用】白板出示课本 P153 例 3，组织学生独立思考、尝试完成，再小组交流、抽组展示。 师生归纳解题策略： （1）有切点时，连接切点和半径，转化为直角三角形，然后进行有关的计算求得 PA 的长； （2）由同一点作出的两条切线，想到切线长定理，得 PA=PB，∠APB=2∠APO=60°，从而得△PAB 是等边三角形，进而问题解决。 独立思考例3并尝试完成，小组交流做法，展示并相互补充，共同归纳解题策略。 通过例3巩固切线长定理的应用，训练“连切点和半径造直角三角形”与“切线长定理证等边三角形”两种模式。
四、巩固新知 【当堂检测】1. 如图，AB、AC、BD 是☉O 的切线，P、C、D 为切点，如果 AB=7，AC=4，则 BD 的长为（　　） A. 3　　B. 2　　C. 2.5　　D. 1.5 答案：A。由 A、B 处切线长相等，AP=AC=4，得 PB=AB AP=7 4=3，故 BD=BP=3。 2. 如图，PA、PB 是☉O 的切线，A、B 为切点，AC 是☉O 的直径，若∠P=54°，则∠BAC 的度数为______。 答案：27°。理由是△PAB 为等腰三角形，得∠PAB=63°，又 AC 为直径、∠ABC=90°，由弦切角得∠BAC=27°。 3. 如图，PA、PB 是☉O 的切线，A、B 为切点，连接 OA、OB，过点 O 作 OC∥PA 交 PB 于点 C，过点 C 作 CD⊥AP，垂足为 D。 （1）求证：OC=AD；（2）若☉O 的半径是 3，PA=9，求 OC 的长。 【解析】（1）由切线性质和作图知 OA⊥PA，OB⊥PB，OC∥PA，CD⊥AP，故 ∠OAD=∠CDA=∠OCD=90°，四边形 OADC 是矩形，得 OC=AD。 （2）设 OC=AD=x，由矩形知 OA=OB=CD=3，PD=PA AD=9 x；由 OC∥PB 得 ∠OCB=∠P，又 ∠OBC=∠CDP=90°，OB=CD，故 △OCB≌△CPD，BC=PD=9 x。 在 Rt△OCB 中，由勾股定理得 , 即 ，解得 x=5，故 OC=5。 （设计意图：综合运用切线性质、矩形与全等、勾股定理建立方程求解。） 独立完成选择、填空并说明依据；完成证明与计算题，规范书写“由切线得垂直、证全等、用勾股定理解方程”的过程。 当堂巩固切线长定理与切线性质的综合应用，通过全等、矩形、勾股定理训练推理与计算能力。
五、课堂小结 【课堂小结】1. 本节课学习了哪些知识？用到哪些数学思想方法？2. 在做题过程中要注意哪些问题？ 小结要点： （1）切线长概念：从圆外一点到切点之间线段的长； （2）切线长定理：从圆外一点可引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角； （3）方法：有切点就连切点和半径造直角三角形；综合运用切线性质、全等与勾股定理进行计算和证明。 梳理切线长定义与定理，总结“有切点连半径、综合性质求长”的解题方法与易错点。 结构化小结切线长概念、定理及综合应用方法，强化与切线性质的联动，建构完整认知。
六、布置作业 【布置作业】课本 P154 练习（必做）；选做：综合运用切线长定理与直角三角形的计算题。 记录作业，课后完成并归纳切线长定理的用法。 分层作业，必做巩固基础，选做拓展综合应用能力。
板书设计
30.1.2 圆的切线（2）——切线长定理 一、过圆外一点作切线 作法：连OP→作垂直平分线 →以MP为半径作弧→作切线 过一点恰作两条切线 二、切线长的定义 圆外一点到切点的线段长 三、切线长定理 切线长相等；连线平分夹角 ∵ PA、PB 切☉O ∴ PA=PB，OP 平分∠APB 四、应用方法 有切点→连半径→Rt△ 切线长相等→等边三角形 例3、巩固练习 板演区 学生板演区
教学反思

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