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30.3 正多边形与圆 教学设计
课题 30.3 正多边形与圆 学科 数学
年级 九年级 教材版本 人教版（2026）
课时 1课时 课型 新授课
教学目标 1. 了解正多边形和圆的有关概念（正多边形的中心、半径、中心角、边心距）； 2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边长、边心距之间的关系，能够应用这些关系进行计算与作图； 3. 体验数学源于生活、又服务于生活，经历观察、发现、探究等数学活动，感悟事物间的相互联系。
教学重点 讲清正多边形和圆的关系，正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，以及正多边形周长、面积的求法。
教学难点 通过图形的分析与运算，理解并熟练运用正多边形半径、中心角、边心距、边长四者之间的数量关系。
教学方法 观察发现、探究归纳、讲练结合、师生互动 教学准备 多媒体课件、三角尺、圆规、直尺
课后练习 教材第164~165页习题1、2、3 板书设计 见板书设计部分
教学过程
教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 【复习导入】请同学们回答下面两个问题： 问题1. 什么叫正多边形？——各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。 问题2. 从你身边举出两三个正多边形的实例；正多边形是轴对称、中心对称图形吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？——实例略；正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形。 （设计意图：复习正多边形的定义，并引导学生观察、发现生活中的正多边形，自然引入本节课题。） 回顾正多边形定义，从身边举出正多边形实例，思考它的对称性与对称轴条数。 复习旧知，由生活实例引出正多边形与圆的关系，激发学习兴趣。
二、新知探究\n1.正多边形与圆 【探究1 正多边形与圆的关系】我们先以正多边形对应顶点连线的交点作为圆心，以点到顶点的距离为半径作圆。如图，正六边形ABCDEF中，连接AD、CF交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆，则顶点B、C、D、E、F 都在这同一个圆上。 因此，正多边形和圆的关系十分密切：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫作这个正多边形的外接圆。 追问：反过来，把圆分成相等的弧，依次连接各分点，得到的多边形为什么一定是正多边形？下面以圆内接正六边形为例加以证明。 观察正六边形顶点与圆心的关系，理解“把圆分成相等弧可得内接正多边形”这一基本结论。 通过作图与观察建立正多边形与圆之间的紧密联系，为证明内接正六边形是正多边形作铺垫。
二、新知探究\n2.证明内接六边形 【探究2 证明：圆内接正六边形是正多边形】如图，把☉O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边形 ABCDEF，证明它是正六边形。 证明：∵ ， ∴ （等弧对等弦）。 又∵∠A＝的度数＝（＋＋＋）的度数＝的度数， ∠B＝的度数＝（＋＋＋）的度数＝的度数， 又，所以∠A＝∠B。 同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A。 又六边形 ABCDEF 的顶点都在 ☉O 上。根据正多边形的定义（各边相等、各角也相等），六边形 ABCDEF 是 ☉O 的内接正六边形，☉O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆。 归纳概念：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心；外接圆的半径叫作正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 通过“等弧对等弦”证明六边相等，再由圆心角关系证明六角相等，并归纳正多边形的中心、半径、中心角、边心距概念。 经历由“弧相等”到“边、角相等”的严格推理，渗透转化思想，同时自然生成正多边形的四个核心概念。
三、典型例题 【典型例题】例1：已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积。 【分析】要求正六边形的周长，只要求AB的长即可。已知条件是外接圆半径，因此应把边长与半径联系起来。如图，连接OA，过点O作OM⊥AB于M，在Rt△AOM中求得AM，再由垂径定理求得AB。正六边形的面积由六个全等的正三角形容积组成。 【解析】 解：由于 ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角∠AOB＝＝60°，又 OA＝OB，所以△OAB 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径 a。 因此，所求正六边形的周长为 。 在 Rt△OAM 中，OA＝a，AM＝AB＝，利用勾股定理，可得边心距 OM＝＝。 ∴所求正六边形的面积 S＝6××AB×OM＝6××a×a＝a 。 （设计意图：通过求正六边形周长与面积，落实“中心角、半径、边长、边心距”间关系的应用。） 探究例1的做法：由中心角60°判断△OAB为等边三角形得边长，再由勾股定理求边心距，最后用正六棱面积公式求面积。 通过例1综合运用中心角、等边三角形与勾股定理，掌握用正多边形概念求周长与面积，突破本节难点。
三、典型例题 【典型例题】例2：利用你手中的工具画一个边长为3 cm的正五边形。 【分析】要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆弧进行五等分，因此，应先求出边长为3的正五边形的半径。 【解析】 解：正五边形的中心角∠AOB＝＝72°。 如图，∠AOM＝36°，OA＝AB÷sin36°＝1.5÷sin36°≈2.55（cm）。 画法：（1）以点O为圆心，OA=2.55 cm为半径画圆； （2）在☉O上顺次截取边长 AB、BC、CD、DE、EA 都等于3 cm； （3）依次连接 AB、BC、CD、DE、EA，则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形。 （设计意图：体验利用“正多边形与圆”的知识画正多边形的过程，培养动手操作能力。） 动手操作，用圆规画圆、把圆周五等分，从而作出边长为3 cm的正五边形，体会“先定半径、再分弦长”的画法。 通过例2让学生掌握“画圆—等分弧—连接顶点”的一般画正多边形方法，学以致用。
四、课堂小结 【课堂小结】本节课应掌握： 1. 正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的中心角、正多边形的边心距； 2. 正多边形半径、中心角、边长、边心距之间的关系（中心角＝360°÷边数；半径、边心距、边长的一半构成直角三角形）； 3. 画正多边形的方法：画圆—均分弧—连接顶点； 4. 运用上述知识解决求正多边形周长、面积等实际问题。 回顾本节课所学概念与结论，梳理正多边形半径、中心角、边心距、边长间的关系及作图方法。 通过小结构建知识网络，强化对正多边形有关概念及其数量关系的理解与记忆。
五、巩固练习 【巩固练习】当堂完成教材第164~165页习题1、2、3。 1. 判断题：下列说法是否正确？（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形。 答案：（1）正确；（2）不正确；（3）不正确。 2. 计算题：求半径为2 cm的正六边形的边长、边心距和面积。 答案：边长＝2 cm；边心距＝ cm；面积＝ cm 。 3. 作图题：用适当的工具作正五边形（仿照例2画法）。 独立完成教材习题，交流检查，重点核对正六边形边长、边心距与面积的求解过程。 通过当堂练习及时巩固概念与数量关系，检验学习效果。
六、布置作业 【布置作业】教材第165页习题4、6、9。 记录作业，课后完成必做题与拓展题。 布置教材精选习题，巩固深化本节知识，体现分层巩固。
板书设计
30.3 正多边形与圆 一、正多边形与圆的关系 把圆分成相等的弧→内接正多边形 该圆：正多边形的外接圆 二、四个概念 中心 半径 中心角 边心距 三、数量关系（Rt△AOM） 中心角 = 360°/边数 OM + AM = OA （半径） AM = 边长/2 四、画正多边形 画圆 → 均分弧 → 连顶点 板演区 学生板演区
教学反思

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