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参考答案
(一) 分层巩固训练 A 组
题号 参考答案
1 (1) ; (2) -; (3) 9; (4) -8
2 (1) 原式 = = 4; (2) 原式 = = ; (3) 原式 = = ; (4) 原式 = =
3 (1) 原式 = ; (2) 原式 = =
4 (1) 5×; (2) 7.2×; (3) 6.4×
5 (1) 原式 = 1 + = ; (2) 原式 = 1 - 4 = -3
6 (1) 原式 = × = ; (2) 原式 = ÷ = =
(二) 分层巩固训练 B 组
题号 参考答案
7 (1) 原式 = (2×3)×(×) = 6×; (2) 原式 = (6÷1.5)×(÷) = 4×
8 (1) 原式 = - 9 + 1 = -; (2) 原式 = ÷ =
9 化简得 ÷ = = ; 当 x=1, y= 时, 原式 =
10 (1) 原式 = × = ; (2) 原式 = -× = -b
(三) 分层巩固训练 C 组
题号 参考答案
11 = ÷ = ÷2 =
12 由 = + 2 + = 9, 得 + = 7
13 原式 = (8×)÷(4×) = 2×
(四) 课后作业《习题18.4》参考答案
题号 参考答案
1 (1) a≠3; (2) 1÷ = a; × = 1; =
2 (1) 原式 = 1 + - (-27) = (即 28.25); (2) 原式 = - 5×1× = -
3 (1) = ; (2) -; (3) - = -; (4) =
4 1×; 2×; 5.67×; 3.01×
5 (1) 原式 = 10× = 1×; (2) 原式 = (9×)÷(9×) = 1×
6 (1) 原式 = (-)÷() = - = -; (2) 原式 = (-)÷() = -b = -
7 由 x + = 3 得 = + 2 + = 9, 所以 + = 7; 再由 = + 2 + = 49, 所以 + = 47
8 1 滴水的质量 = g = 0.05 g = 5× kg; 水分子数 = (5×)÷(3×) ≈ 1.67× (个); 所需时间 = 1.67×÷(×100) = 1.67× (min)18.4 整数指数幂 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 姓名: ____________ 班级: ____________ 学号: ____________
第十八章 分式 · 2课时 ·
一、学习目标
1. 我能说出幂的符号的演变过程和牛顿的设想, 了解整数指数幂的意义。
2. 我能说出负整数指数幂的规定 = (a≠0), 并会用它把负整数指数幂化为正整数指数幂。
3. 我能正确运用整数指数幂的 3 条运算性质进行幂的运算, 并把结果化成正整数指数幂的形式。
4. 我会用科学记数法表示小于 1 的正数, 会用负整数指数幂解决简单的实际问题。
【学习重点】 负整数指数幂的意义与整数指数幂的运算性质。 【学习难点】 理解负整数指数幂的产生过程; 科学记数法中 n 的确定。
二、预习导航(先读课本 P158-P163, 再填空)
1. 当 n 是正整数时, = ________(a≠0), 即 是 的________。
2. 由此可知 = ________; = ________; = ________。
3. 引入负整数指数幂后, 正整数指数幂的 5 条运算性质可合并为 3 条:
× = ________; = ________; = ________(m, n 都是整数, 底数不为 0)。
4. 0 的负整数次幂________(填"有"或"没有")意义, 因为 0 没有________。
5. 用科学记数法表示较大的数: 300 000 000 = ________; 一般形式 a× 中 1≤a<10, n 是________。
6. 仿照 0.1 = 填空: 0.01 = ________; 0.001 = ________; 0.000 1 = ________。
7. 小于 1 的正数可以用科学记数法表示为________(1≤a<10, n 是正整数); n 等于原数左边第一个非 0
数字前面________的个数(包括小数点前面的那个 0)。
8. 用科学记数法表示: 0.000 008 = ________; 0.000 000 000 335 = ________。
我的作答:
三、课内探究
第 1 课时 · 整数指数幂与负整数指数幂(课本 P158-P161)
活动一 情境引入与溯源
图18.4-1 18.4 整数指数幂 · 情境引入
1. 随着我们认识的数的范围不断扩大, 数的运算也在不断推广。想一想: 加法是怎样从非负整数范围
推广到有理数范围的 受此启发, 对于幂的运算 , 指数能不能也从正整数推广到更大的范围
2. 想一想, 填一填(整式乘法中已学): 当 a≠0 时, = ______; 正整数指数幂的运算性质共有____条。
图18.4-2 溯源: 幂的符号的演变与牛顿的设想
3. 牛顿在 1676 年设想把 1, , , , … 写成 , , , , …。
你认为他的设想合理吗 说一说你的理由: __________________________________________________。
我的作答:
活动二 负整数指数幂的规定是怎么来的(课本 P159)
1. 计算 ÷ (a≠0), 用两条路径分别算一算。
路径一(用分式的约分): ÷ = = ________ … ①
路径二(去掉除法性质中 m>n 的限制): ÷ = = ________ … ②
图18.4-4 负整数指数幂的规定
2. 比较 ①② 两式, 要让 ÷ = 对 ÷ 也成立, 只需规定 = ________。
一般地, 当 n 是正整数时, = ________(a≠0), 即 是 的________。
图18.4-5 负整数指数幂与倒数
3. 抢答: = ______; = ______; = ______; = ______。
4. 判断: 有意义吗 为什么 ______________________________________________________________。
我的作答:
活动三 例1 探究: 整数指数幂的运算(课本 P160)
例1 计算: (1) ÷; (2) ; (3) ; (4) ×。
提示: 第(1)题用同底数幂相除, 指数相减, 最后化为正整数指数幂;
第(2)题分式的乘方 = 分子分母分别乘方, 再把负指数化为倒数;
第(3)(4)题注意积的乘方要"每个因式分别乘方", 幂的乘方要"指数相乘"。
图18.4-6 例1 整数指数幂的运算
我的作答:
活动四 整数指数幂的运算性质(课本 P160-P161)
1. 引入负整数指数幂与零指数幂后, 正整数指数幂的运算性质还能用吗 用具体例子验证:
(1) × = = = ________; 又 × = × = ________。两法结果________。
(2) × = = ________; 又 × = × = ________。两法结果________。
图18.4-7 整数指数幂的运算性质
2. 把 5 条性质合并为 3 条(m, n 都是整数, 底数均不为 0):
(1) × = ________; (2) = ________; (3) = ________。
图18.4-8 整数指数幂运算的方法与步骤
我的作答:
活动五 课堂练习(课本 P161 练习)
1. 计算: (1) ÷; (2) ; (3) ×。
2. 计算: (1) ()÷; (2) ÷。
图18.4-9 课堂即时巩固(补充)
我的作答:
第 2 课时 · 用科学记数法表示小于 1 的正数(课本 P161-P163)
活动六 情境引入与规律探究
1. 雾尘、煤烟等的颗粒直径约 0.000 000 1~0.000 001 m; 人类毛细血管的直径约 0.000 008 m;
单层石墨烯的厚度仅有 0.335 nm, 即 0.000 000 000 335 m。这样写数方便吗 有没有更简明的写法
图18.4-10 用科学记数法表示小于 1 的正数
2. 复习并迁移: 300 000 000 = 3×, 一般形式 a× (1≤a<10)。仿照 0.1 = 填空:
0.01 = ; 0.001 = ; 0.000 1 = ; 0.000 01 = 。
3. 归纳: 小于 1 的正数可以表示为 a× 的形式, 其中 1≤a<10, n 是正整数。
例如: 0.002 7 = 2.7×; 0.000 016 2 = 1.62×。
练一练: 0.000 3 = ________; 0.000 020 09 = ________。
4. 若小数点后到第一个非 0 数字前有 8 个 0, 10 的指数是________; 若有 m 个 0, 指数是________。
我的作答:
活动七 例2 探究: 碳纳米管(课本 P162)
碳纳米管是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管, 其直径一般为 2~20 nm。通常一根头发丝的
直径约为 70 μm, 一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍
提示: 先把各单位统一成米 — 1 μm = ________ m, 1 nm = ________ m; 再列式相除, 结果的 a 要满足 1≤a<10。
图18.4-11 例2 用科学记数法比较大小
我的作答:
活动八 课堂练习(课本 P162 练习)与找错活动
1. 用科学记数法表示: (1) 0.000 3; (2) 0.000 020 09; (3) 0.000 000 105。
2. 把科学记数法表示的数还原成小数: (1) 1×; (2) 7.04×; (3) 5.23×。
图18.4-12 课堂即时巩固(补充)
我的作答:
【找错活动】 下面的解法都有错, 请指出错在哪里并改正:
错例1 把 0.000 008 写成 8×。错因: ________; 正解: ________。
错例2 把 0.000 000 000 335 写成 33.5×。错因: ________; 正解: ________。
错例3 = -4。错因: ________; 正解: ________。
图18.4-13 四个真实错例
我的作答:
四、分层训练(与《教师讲义》完全一致)
A 组(基础达标, 必做)
1. 计算: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 。
2. 计算: (1) ×; (2) ÷; (3) ; (4) 。
3. 计算: (1) ; (2) 。
4. 用科学记数法表示: (1) 0.0005; (2) 0.0000072; (3) 0.00000064。
5. 计算: (1) +; (2) -。
6. 计算: (1) ×(); (2) ÷。
我的作答:
B 组(能力提高, 选做)
7. 计算: (1) (2×)×(3×); (2) (6×)÷(1.5×)。
8. 计算: (1) -+; (2) ÷。
9. 先化简, 再求值: ÷, 其中 x=1, y=。
10. 计算: (1) ÷ (a≠0); (2) ×。
我的作答:
C 组(拓展挑战, 挑战)
11. 已知 = 5, = 2, 求 的值。
12. 已知 a + = 3, 求 + 的值。
13. 计算, 结果用科学记数法表示: (0.000 000 008)÷(4×)。
我的作答:
五、课堂小结(填空)
1. 当 n 是正整数时, = ________(a≠0), 即 是 的________。
2. 整数指数幂的运算性质(m, n 都是整数): × = ________; = ________; = ________。
3. 小于 1 的正数的科学记数法: ________(1≤a<10, n 是正整数); n 等于原数左边第一个非 0 数字前面________的个数。
4. 三个必须: 底数必须________; 负整数指数幂必须化成________来理解; 结果必须化成________的形式。
图18.4-14 课堂小结
我的作答:
六、课后作业(课本《习题18.4》P162-P163, 完整还原)
复习巩固
第 1 题 填空:
(1) 若 有意义, 则 a 的取值范围为__________;
(2) 1÷ = ______; × = ______; = ______。
第 2 题 计算:
(1) +-; (2) -5××。
第 3 题 计算:
(1) b×; (2) z÷(-);
(3) ; (4) ×。
第 4 题 用科学记数法表示下列各数:
0.000 01, 0.000 02, 0.000 000 567, 0.000 000 301。
我的作答:
综合运用
第 5 题 计算:
(1) (2×)×(5×); (2) ÷。
第 6 题 计算:
(1) ×(-)÷();
(2) ×(-)÷()。
第 7 题 已知 x + = 3, 求 + , + 的值。
我的作答:
拓广探索
第 8 题 通常分子的质量和体积都很小。已知 1 个水分子的质量约是 3× kg, 1 滴水(以 20 滴水
为 1 g 计)中大约有多少个水分子 假设 10 亿人来数这滴水中的水分子, 每人每分钟数 100 个,
日夜不停, 大约需要多长时间才能数完
图18.4-15 习题18.4 第2、3题的解答
图18.4-16 习题18.4 第6、8题的解答
我的作答:
【完成要求】 ① 每题写出"先算幂(指数相加/相乘)—再化去负指数—最后化正"的过程, 不得只写结果;
② 第 7 题要写"因为 x + = 3, 所以 = 9 ……";
③ 第 8 题先写"1 滴水的质量 = g = 0.05 g = 5× kg", 再列式计算, 结果写"答"并带单位;
④ 订正时把错因写成"负号误解 / 底数遗漏 / 指数混算 / 结果不化 / 单位弄错"中的一类。

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