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第5章 勾股定理与实数
5.5 立方根
一、核心素养目标
【数学抽象】从正方体体积与棱长的关系中抽象出立方根的概念，理解立方根的定义及符号表示
【逻辑推理】通过探究立方根的性质（正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根、0的立方根是0），发展逻辑推理能力
【数学运算】掌握开立方运算，会求一个数的立方根，能用计算器求立方根的近似值
【直观想象】理解立方与开立方互为逆运算，体会立方根与平方根在性质上的异同
二、教学重难点
教学重点：立方根的概念和性质，会求一个数的立方根
教学难点：理解立方根与平方根在性质上的区别（负数有立方根但没有平方根），立方根符号表示中根指数3不能省略
三、教学过程
【导入：复习旧知】（3分钟）
【教师活动】同学们，前面我们学方根。请大家回忆一下：1.平方根的定义是什么？2.你还记得吗？填空：16的平方根是____；的平方根____；0的平方根是____。
【学生活动】回答：1.如果，那么x叫作a的平方根。的平方根是±4；没有平方根；0的平方根是0。
【教师活动】很好！平方根中，正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。那么，如果我们把'平方'换成'立方'，会有什么新发现呢？
【过渡语】今天我们就来学习一种新的运算——立方根。首先明确学习目标：1.了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；2.了解开立方和立方互为逆运算，能用开立方运算求某些数的立方根；3.用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值。
【知识点】平方根复习：正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。
【任务一：立方根的概念——活动1（正方体模型）】（5分钟）
【教师活动】任务一：会用根号表示一个数的立方根。活动1：要做大小不同的正方体模型，正方体棱长如下所示，你能求出它们的体积吗？
【教师活动】已知棱长，求体积，这是立方运算。例如：棱长为2的正方体，体积；棱长为3的正方体，体积。
【学生活动】理解：已知棱长求体积，用立方运算。。
【教师活动】反之，要做大小不同的正方体模型，正方体体积如下所示，你能求出它们的棱长吗？
【教师活动】例如：体积为8的正方体，棱长是多少？因为，所以棱长为2。体积为27的正方体，棱长是多少？因为，所以棱长为3。
【学生活动】回答：已知体积求棱长，就是找一个数，使它的立方等于已知体积。例如体积为8，棱长=2；体积为27，棱长=3。
【知识点】立方运算：已知棱长a，求体积。反过来：已知体积V，求棱长a，使。
【过渡语】已知体积求棱长，就是求一个数的立方根。下面我们正式学习立方根的定义。
【立方根的定义与开立方】（6分钟）
【教师活动】如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫作a的立方根或三次方根。
【知识点】立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫作a的立方根（或三次方根）。
【教师活动】立方根的符号表示：数a的立方根记作，读作'三次根号a'。其中a叫作被开方数，3叫作根指数。注意：根指数3不能省略！
【学生活动】记忆：中的3是根指数，必须写出来。这和平方根符号中根指数2省略不同。
【教师活动】求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方与立方互为逆运算。
【知识点】开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方。立方与开立方互为逆运算。
易错提示：立方根符号中的根指数3不能省略！与平方根符号（根指数2省略）不同。若写成，默认表示平方根（算术平方根），不是立方根。
【过渡语】下面我们通过活动2来练习求立方根。
【活动2：求立方根】（5分钟）
【教师活动】活动2：求下列各数的立方根。(1)1；(2)；(3)；(4)0。
【思路分析】求一个数a的立方根，就是找立方等于a的数x，使。注意：立方根只有一个（与平方根有两个不同）。
【教师活动】(1)因为，所以1的立方根是1，即。
【学生活动】理解：，所以。
【教师活动】(2)求的立方根。因为，所以的立方根是，即。
【学生活动】计算：，所以。
【教师活动】(3)因为=，所以的立方根是，即=。
【学生活动】理解：=，所以负数也有立方根！这与平方根不同。
【教师活动】追问：为什么有立方根，但负数没有平方根？
【学生活动】回答：因为任何实数的立方可以为负数（负数的奇次幂为负），而任何实数的平方都是非负数，所以负数有立方根但没有平方根。
【教师活动】(4)因为，所以0的立方根是0，即。
重点强调：注意平方根与立方根的区别：①正数的平方根有两个（±），立方根只有一个（正数）；②负数没有平方根，但负数有立方根（负的）；③0的平方根和立方根都是0。
【过渡语】从以上例题，我们可以总结出立方根的性质。
【立方根的性质】（5分钟）
【教师活动】通过以上求立方根的过程，你能总结立方根有哪些性质吗？
【学生活动】观察总结：→（正数），=→=（负数），→。
【教师活动】总结：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
【知识点】立方根的性质：1.一个正数有一个正的立方根；2.一个负数有一个负的立方根；3.零的立方根是零。
【教师活动】思考：立方根是它本身的数有哪些？平方根是它本身的数呢？
【学生活动】回答：立方根是它本身的数有1, , 0（因为, =, ）。平方根是它本身的数只有0（因为，≠±1）。
理解要点：立方根是它本身的数有1, , 0三个；平方根是它本身的数只有0一个。这个区别很重要，考试常考。
【过渡语】了解了立方根的概念和性质，下面我们进入任务二，学习如何用开立方运算求立方根。
【教师活动】追问：为什么平方根是它本身的数只有0，而立方根是它本身的数有0, 1, ？
【学生活动】分析： → x()=0 → 或，但时平方根是±1≠1，所以平方根是它本身的只有0。 → x()=0 → 或x=±1，且验证都成立，所以立方根是它本身的有0, 1, 。
【知识点】平方根是它本身的数：0。立方根是它本身的数：0, 1, 。原因：解方程得或1，但不满足平方根定义；解得, ±1，都满足。
【任务二：开立方运算求值】（6分钟）
【教师活动】任务二：能用开立方运算求某些数的立方根。活动：求下列各式的值，你有什么发现？试用式子表示出来。
【教师活动】1. =____，=____，=____，=____，=____。
【学生活动】计算：（因为），=（因为=），（因为），=（因为=），。
【教师活动】发现： = 。即一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。
【知识点】重要性质： = 。即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。
【教师活动】2. =____，=____，=____，=____，=____。
【学生活动】计算：（因为），=，（因为），=。
【教师活动】总结规律： = ，这个性质对任何数a都成立。
判断技巧：利用 = ，可以将负数的立方根转化为正数的立方根再取相反数。例如 = = 。这比直接凑=更快捷。
【过渡语】下面我们进入任务三，学习用计算器求立方根的近似值。
【教师活动】请同学们思考：比较和，它们有什么关系？用具体数字验证。
【学生活动】验证：=，=，所以=。=，=，所以=。由此可得 = 。
【教师活动】非常好！这个性质非常重要，它告诉我们：求负数的立方根，可以先求其绝对值的立方根，再取相反数。
【知识点】利用 = ，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根再取相反数，简化计算。
【任务三：用计算器求立方根近似值】（6分钟）
【教师活动】任务三：用计算器计算各数立方根的近似值。有些数的立方根不是有理数，无法精确表示，需要用计算器求近似值。
【教师活动】请同学们拿出计算器，我们来完成以下表格。观察被开方数的小数点移动与立方根小数点移动的关系。
【教师活动】表格一：x分别为, , 6, 60，对应的。计算：≈，≈，≈，≈。
【学生活动】用计算器计算并填表。观察发现：x的小数点每向右移动1位，的小数点向右移动位，即被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍。
【教师活动】表格二：x分别为100, 10, 1, , ，对应的。计算：≈，≈，，≈，≈。
【学生活动】观察：被开方数变为原来的，立方根变为原来的。即被开方数的小数点每向左移动3位，立方根的小数点向左移动1位。
【知识点】规律：被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点向相同方向移动1位。被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍。
理解要点：立方根的小数点移动规律与平方根不同：平方根是被开方数小数点移动2位→平方根移动1位（因为）；立方根是被开方数小数点移动3位→立方根移动1位（因为）。
【过渡语】下面我们通过练习巩固所学内容。
【练习巩固】（6分钟）
【教师活动】请同学们完成以下练习。
【教师活动】练习1：判断下列说法是否正确。(1)立方根是它本身的数只有0和1；(2)互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；没有意义；(4)没有意义。
【学生活动】判断：(1)错误，立方根是它本身的数有1, , 0三个。(2)正确， = 。(3)错误，=，有意义。(4)正确，无意义，因为负数没有平方根。
【教师活动】练习2：求下列各式的值。；；；。
【学生活动】计算：（因为）； = = （利用性质=）； = = ； = = 。
【教师活动】练习3：用计算器求下列各数的立方根（精确到）。(1)25；(2)。
【学生活动】用计算器计算：≈； = ≈ 。
易错提示：注意区分： = （有意义，负数有立方根）；无意义（负数没有平方根）。这是平方根和立方根最重要的区别之一。
【教师活动】练习4：已知，求x的值。
【学生活动】解：。因为，所以。也可以利用计算器：。
【教师活动】练习5：一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的几倍？
【学生活动】解：设原棱长为a，原体积为。新体积为8，新棱长b满足，所以 =2a。棱长变为原来的2倍。
规律总结：正方体体积变为原来的n倍，棱长变为原来的倍。这是立方根在实际问题中的重要应用。
【过渡语】下面我们来做课堂小结。
【课堂小结】（3分钟）
【教师活动】针对本课关键词'立方根'，你能说一说学到了哪些知识吗？
【学生活动】自由发言：①立方根的定义——如果，则x是a的立方根，记作；②立方根的性质——正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0；③开立方与立方互为逆运算；④立方根符号中根指数3不能省略；⑤ = ；⑥立方根是它本身的数有1, , 0；⑦被开方数小数点移动3位，立方根小数点移动1位。
【教师活动】请一位同学总结立方根与平方根的主要区别。
【学生活动】总结区别：①平方根符号（根指数2省略），立方根符号（根指数3不能省略）；②正数有两个平方根，只有一个立方根；③负数没有平方根，但有立方根（负的）；④平方根是它本身的数只有0，立方根是它本身的数有0, 1, 。
【教师活动】本节课我们学习了立方根的概念、性质、符号表示和运算方法。立方根与平方根既有联系又有区别，希望大家课后认真复习，完成作业。
四、板书设计
立方根
一、立方根的定义
如果，则x叫作a的立方根（三次方根）
记作：，读作'三次根号a'
根指数3不能省略！
二、开立方
求立方根的运算叫开立方
立方与开立方互为逆运算
三、立方根的性质
1. 正数→正的立方根（一个）
2. 负数→负的立方根（一个）
3. 0→0
=
立方根是它本身的数：1, , 0
四、与平方根的对比
平方根：（根指数2省略），±两个，负数无
立方根：（根指数3不省略），一个，负数有
五、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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