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第4章 图形的轴对称
4.3 角的平分线
一、学习目标与素养指向
能按规范步骤用尺规作已知角的平分线，并用三角形全等说明作图的正确性。
能准确说出角平分线性质与判定的条件和结论，并在图形中识别表示距离的垂线段。
能根据证明目标补作垂线或连接角的顶点与角内一点，形成条件完整的推理过程。
能解决与角平分线有关的简单计算、证明和尺规作图问题，并检查图形标记与证明依据是否一致。
素养指向　几何直观、推理能力、空间观念和应用意识。
二、课时安排与可观察成果
课时 核心任务 可观察的学习成果
第1课时 尺规作角平分线；角平分线性质的形成与证明 能完成规范作图；能识别垂线段并说明角平分线上的点到角的两边的距离相等。
第2课时 角平分线的判定；性质与判定的综合应用 能根据已知和结论选择性质或判定；能补作辅助线并完成简单证明。
三、重点与高频考点
★重点　角平分线性质与判定的条件、结论方向相反，使用前必须逐项核对。
★高频　尺规作角平分线并说明作图依据，常考作图痕迹、三组相等线段及边边边判定。
★高频　在三角形中利用角平分线性质得到点到两边的距离相等，再结合全等或线段和差求值。
★高频　由角内一点到两边的距离相等判定角平分线，常与角度计算或三条角平分线相交问题结合。
★规范　“距离相等”应写成两条垂线段的长度相等，不能写成点到角两边上任意两点的距离相等。
四、课前衔接与诊断
点到直线的距离怎样表示？
射线OP平分∠AOB，用角的相等关系怎样表示？
判定两个直角三角形全等，可以使用哪些已经学习过的方法？
尺规作图中的“保留作图痕迹”具体指什么？
诊断答案　1. 从点向直线作垂线，垂线段的长度；2. ∠AOP=∠POB；3. 根据已有条件选择边边边、边角边、角边角、角角边或斜边和一条直角边；4. 保留作图所画的弧及交点。
五、分课时核心探究
探究一｜尺规作角的平分线
探究问题　只使用无刻度直尺和圆规，怎样把一个已知角分成两个相等的角？作图为什么可靠？
形成过程　以角的顶点O为圆心、适当长为半径画弧，分别交角的两边于A、B；再分别以A、B为圆心，以大于AB一半的同一长度为半径画弧，两弧在角的内部交于点M；作射线OM。作图中OA=OB，AM=BM，OM为公共边，所以△OAM与△OBM满足三边分别相等。
规范结论　由△OAM≌△OBM，可得∠AOM=∠BOM，因此射线OM是∠AOB的平分线。作图的依据是三角形全等的判定和全等三角形对应角相等，不是目测两角大小相同。
条件与边界　第二次画弧的半径必须相同，并且要使两弧能够在角的内部相交。作图痕迹应保留；若题目要求作射线，不能只画一条有限长线段。
即时任务　在练习图中补齐作图弧，并依次写出OA=OB、AM=BM、OM=OM以及△OAM≌△OBM，说明每一条等量来自哪里。
尺规作角平分线的规范步骤（示意图不作为测量依据）
探究二｜角平分线上的点到角的两边距离相等
探究问题　点P在∠AOB的平分线上。从P向角的两边分别作垂线PM、PN，能得到怎样的数量关系？
形成过程　由于PM⊥OA、PN⊥OB，可得∠OMP=∠ONP=90°；又因为OP平分∠AOB，所以∠MOP=∠NOP；OP为公共边。由两角及其一边分别相等，可得△OMP≌△ONP，进而得到对应边PM=PN。这里PM、PN分别表示点P到OA、OB的距离。
规范结论　角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号表达为：若OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，则PM=PN。
条件与边界　“距离”必须用垂线段长度表示。P到边OA的距离不是PO，也不是P到射线上任意一点的线段长度。点P必须在角的平分线上，M、N必须是垂足。
即时任务　若PM=4 cm，直接求PN；再说明当只知道P在∠AOB内部但不知道OP是否平分该角时，为什么不能推出PM=PN。
角平分线性质中的两条距离（示意图不作为测量依据）
探究三｜到角的两边距离相等的点在角的平分线上
探究问题　在∠AOB内部有一点P，已知P到OA、OB的距离相等，能否判断P的位置？
形成过程　作PM⊥OA于M、PN⊥OB于N。△OMP和△ONP是直角三角形，OP为公共斜边，PM=PN。由斜边和一条直角边分别相等，可判定△OMP≌△ONP，因此∠MOP=∠NOP。因为M在OA上、N在OB上，所以∠AOP=∠POB。
规范结论　角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。符号表达为：P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则OP平分∠AOB。
条件与边界　判定结论强调点P在角的内部。性质与判定的条件、结论方向相反：性质由“在角平分线上”推出“距离相等”；判定由“距离相等”推出“在角平分线上”。
即时任务　给出PM=PN的图形，先连接OP，再按“两个直角—公共斜边—一条直角边”整理条件，用完整的中文语句写出全等证明。
角平分线判定的证明结构（示意图不作为测量依据）
探究四｜性质与判定的选择及辅助线
探究问题　证明一个点到角的两边距离相等，或证明一条射线平分一个角时，分别应怎样组织图形和依据？
形成过程　目标为两段距离相等时，应先确认点在角平分线上，再从该点向角的两边作垂线，用角平分线性质得到结论。目标为两个角相等时，可以先寻找角内一点到两边距离相等，再用判定得到角平分线。若题目没有垂足，通常需要补作垂线，把“距离”转化为直角三角形中的直角边。
规范结论　常用路径一：角平分线→作垂线→距离相等。常用路径二：距离相等→连接顶点与该点→判定角平分线。两条路径都必须先写清垂直关系和垂足。
条件与边界　不能看到图形近似对称就直接写角相等或线段相等；也不能把角平分线的性质错误表述成“角平分线上的点到角的两边上的点距离相等”。
即时任务　面对“已知OC平分∠AOB，点P在OC上”的题目，先圈出可直接使用的性质；面对“PM=PN”的题目，先判断是否已给出P在角内部以及PM、PN分别垂直两边。
角平分线性质与判定的条件方向（示意图不作为测量依据）
六、性质、判定与辅助线的逻辑链
1. 先辨认推理方向　已知点在角平分线上、要求证明两段距离相等，使用性质；已知角内一点到两边的距离相等、要求证明射线平分角，使用判定。
2. 把距离落实为垂线段　题目中的“到角的两边的距离”必须由分别垂直于角两边的线段表示。没有垂直条件，就不能把普通线段长度当作距离。
3. 辅助线服务于定理条件　要求证明距离相等时，常从角平分线上的点向角的两边作垂线；要求证明角被平分时，常连接角的顶点与满足等距条件的角内一点。
4. 证明不能依赖图形外观　图中看起来相等、垂直或对称的关系，只有题目给出或已经推导后才能使用。示意图不作为测量依据。
七、教材结论、成立条件与使用范围
1. 点到直线的距离　从直线外一点向这条直线作垂线，这个点到垂足的线段叫作点到直线的垂线段，垂线段的长度叫作点到直线的距离。
2. 角平分线的性质　角平分线上的点到角的两边的距离相等。使用时必须同时确认点在角平分线上、两条线段分别垂直角的两边。
3. 角平分线的判定　角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。使用时必须确认点在角的内部、两条距离对应角的两边。
4. 尺规作图　两次等半径画弧分别得到两组相等线段，再利用公共边，通过边边边证明两个三角形全等，从而说明所得射线平分已知角。
八、方法模型与规范路径
题目目标 常用辅助线或依据 规范检查
作已知角的平分线 两次等半径画弧，连接角的顶点与两弧交点 保留弧；证明时写出三组对应边相等。
证明两段距离相等 从角平分线上的点向角的两边作垂线 垂足、直角和点在角平分线上的条件缺一不可。
证明一条射线平分角 证明角内一点到角两边的两条垂线段相等 先确认点在角内，再使用判定。
求线段或角度 先由性质或判定建立相等关系，再列式计算 计算结果要代回原关系检验。
课堂效果检测（3—5分钟）
第1、2题共用图（示意图不作为测量依据）
根据共用图，PM与PN有怎样的数量关系？写出依据。
若PM=2x+1，PN=4x-5，求x。
判断：点P在∠AOB内部，只要PM=PN，就能判定OP平分∠AOB。（　　）
尺规作角平分线时，证明两个三角形全等通常使用哪一种判定方法？
检测答案　1. PM=PN，依据是角平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 2x+1=4x-5，x=3；3. ×，还要确认PM、PN分别垂直角的两边；4. 边边边。
本课小结
尺规作图：两次等半径画弧构造三组对应边相等，用边边边说明作图正确。
性质：点在角平分线上，加上两条垂线，可推出两条距离相等。
判定：点在角内部，加上到两边的距离相等，可推出该点在角平分线上。
辅助线：证明距离相等时作垂线；证明角被平分时连接角的顶点与角内等距点。
检查：垂足是否正确、对应关系是否一致、图中是否提前标记待证结论。
课后分层巩固（建议10—12分钟）
基础巩固：点P在∠AOB的平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=3x-1，PN=x+5，求x。
方法迁移：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∠AOB=86°，求∠AOP。
规范作图：用尺规作一个已知角的平分线，保留作图痕迹，并在作图旁写出证明两个三角形全等所需的三组相等线段。
综合说理：在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。证明DE=DF，并说明每个条件的作用。
参考答案　1. 由PM=PN得3x-1=x+5，x=3；2. OP平分∠AOB，所以∠AOP=43°；3. 作图略，三组关系为OM=ON、MC=NC、OC=OC；4. D在角平分线AD上，DE、DF分别是D到AB、AC的距离，由角平分线性质得DE=DF。

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