资源简介

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《小数除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《小数除法》属于数与代数领域第三学段 “数与运算” 核心内容。依据《义务教育数学课程标准》：能进行简单小数四则运算，感悟整数、小数运算的一致性，发展运算能力与推理意识；结合真实情境选择合理取值策略解决实际问题，区分四舍五入、进一法、去尾法，发展应用意识；全程落实数感、运算能力、推理意识、应用意识核心素养。
教学提示：依托人民币换算、平均分直观模型、商不变规律为载体，引导学生经历情境感知 — 转化推理 — 归纳算法 — 应用拓展完整流程，打通整数除法与小数除法运算逻辑，理解小数除法本质是计数单位的平均分，实现新旧运算知识迁移，提升说理与灵活解题能力。
（二）单元教材内容分析
本单元是整数除法、小数意义、小数乘法的延伸，是完整小数四则运算体系的收官模块，为分数除法、百分数计算奠基。以转化思想为主线，6 课时分层递进：
1.基础笔算层 1：除数是整数的小数除法，掌握商小数点对齐规则，突破末尾余数补 0、整数部分不够商 1 难点；
2.基础笔算层 2：一个数除以小数，借助商不变规律转化为整数除法，规范小数点同步移动；
3.近似取值层：商的近似数，区分四舍五入、进一、去尾三种取值方法，结合生活场景合理取舍；
4.概念拓展层：循环小数，认识有限、无限、循环小数，掌握循环节简便记法；
5.规律探究层：用计算器探索小数除法规律，依托计算工具观察、归纳商的变化规律；
6.综合应用层：小数除法解决实际问题，对比分装、用料、平均单价类应用题，建立除法数学模型。
教材搭配情境列式、竖式演算、错例辨析、小组说理、生活实操活动，兼顾计算技能与实际建模。
（三）学生认知情况
五年级学生已掌握整数除法竖式、商不变性质、小数乘法计算，但存在四大认知障碍：
1.算理理解障碍：混淆商小数点对齐规则；除数是小数时只移动除数小数点、不同步移动被除数；余数后忘记补 0 继续除；
2.概念区分薄弱：分不清有限小数、无限小数，循环节标注易错；不理解除不尽的数学含义；
3.应用思维不足：分不清三种取近似值方法适用场景，分装、布料类问题取值逻辑混乱；
4.学习习惯短板：竖式书写不规范、漏写约等号、缺少验算，不会完整口述转化推理过程。
需借助直观分物模型、对比错例、分层任务、生活实操，突破转化计算、情境取值两大难点。
二、单元目标拟定
1. 经历两类小数除法探究，理解算理，规范竖式，准确对齐商的小数点；能处理余数补 0、整数部分不够商 1、被除数位数不足补 0 等特殊题型，熟练笔算、验算。
2.依托商不变规律，自主归纳 “除数是小数转化为整数” 通用计算法则，打通整数与小数除法运算一致性。
3.掌握四舍五入法求商近似数，能根据生活场景灵活选用进一法、去尾法，区分精确计算与近似计算。
4.认识有限、无限、循环小数，能识别循环节，规范书写循环小数简便记法。
5.借助计算器观察、归纳小数除法算式规律，能直接运用规律写商，发展推理意识。
6.分析平均分、分装、用料、单价类实际问题，建立小数除法解题模型，完整列式、规范作答。
7.在单位转化、数形结合、错例会诊活动中体会转化、迁移、归纳、模型思想；养成认真审题、规范书写、主动验算、严谨说理习惯，感受小数除法在购物、分装、测量中的实用价值。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1. 掌握除数是整数、除数是小数的小数除法笔算方法，准确对齐小数点，规范处理补 0 题型；
2.掌握三种取商近似值方法，能结合生活情境合理选择；
3.认识循环小数、有限 / 无限小数，会读写循环小数；
4.运用计算器发现除法规律，利用小数除法解决生活实际问题。
（二）教学难点
1.理解商不变规律在小数除法中的转化逻辑，同步移动除数与被除数小数点；
2.区分进一法、去尾法、四舍五入适用场景，合理处理商的近似数；
3.完整、有条理口述小数除法转化推理过程，综合计算、近似、概念知识解决复合应用题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
以 “运算一致性” 为内核，围绕三会数学核心素养：会用数学眼光观察平均分现实情境；会用数学思维转化小数除法为整数除法；会用数学语言说清算理、算法、取值思路。
核心主线：整数除法旧知迁移→小数除以整数→除数是小数（转化）→商的近似值→循环小数概念→规律探究→生活应用
核心数学思想：转化、数形结合、归纳、模型、类比。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1. 情境生活化，降低转化理解难度
以跑步均分、编织中国结、羽毛球采购、香油分装、礼盒包装等学生熟悉场景导入，依托元角分、长度单位、分物线段图直观模型，化解小数除法抽象算理，贴合五年级由具象到抽象的认知规律。
2.知识梯度层层递进，思维螺旋上升
整体路径：基础笔算（除数整数）→转化笔算（除数小数）→近似取值→小数概念拓展→规律探究→综合应用，从单一竖式计算逐步过渡到概念辨析、规律推理、建模解题，难度稳步提升，持续训练转化、归纳推理能力。
3.紧抓运算一致性，重视算理说理
全单元贯穿商不变规律，持续引导学生口述 “如何转化、为什么同步扩倍、小数点如何对齐”，打通整数除法与小数除法内在运算逻辑，拒绝机械背诵计算步骤，突出运算本质是计数单位的平均分。
4.错例辨析与分层习题双线配套
每课时设置典型错例会诊环节，针对小数点移动不同步、漏补 0、取值方法混淆、循环节标注错误等高频问题对比纠错；习题分层设计：基础巩固、变式提升、生活拓展，兼顾学困生达标与优等生思维拓展。
5.融合工具教学与生活建模
专门设置计算器探究课时，借助计算工具降低复杂计算负担，聚焦规律观察推理；单独设置综合解决问题课时，重点训练从文字情境提取数学信息、画图拆分数量关系、建立除法数学模型，强化应用意识。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与运算 □方程与代数 □图形与几何 □数据整理与概率统计
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与运算 小数除法 除数是整数的小数除法(1) 1
除数是整数的小数除法(2) 1
除数是整数的小数除法(3) 1
一个数除以小数(1) 1
一个数除以小数(2) 1
小数除法解决实际问题 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 □转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 课型 学习目标 核心任务 评价标准
3.1《除数是整数的小数除法(1)》 新授课 1. 借助人民币单位换算理解 22÷4 算理，掌握基础竖式计算。 2. 明确商的小数点必须和被除数小数点对齐，规范竖式书写。 3. 体会转化思想，能完整口述单位转化推理过程，会基础验算。 探究 1：例题 22÷4，人民币单位换算，把小数除法转为整数除法。 → 探究 2：对照整数除法竖式，自主标注商的小数点位置，总结对齐规则。 → 探究 3：基础笔算、一步平均分应用题练习，小组互说计算道理。 → 1. 能借助单位换算说清小数转整数的计算逻辑。 2. 竖式小数点对齐无错误，书写规范，笔算正确率达标。 3. 能独立完成习题，主动验算，说理完整清晰。
3.2《除数是整数的小数除法(2)》 新授课 1. 通过 5.6÷7 探究，掌握被除数整数部分小于除数时，个位写 0 占位。 2. 整合例 1、例 2、例 3，归纳除数是整数的小数除法完整计算法则。 3. 能综合三类题型笔算、验算，规范完整书写竖式。 探究 1：例题 5.6÷7，观察 5＜7，讨论个位商 0 的必要性。 → 探究 2：三类题型混合笔算，小组总结统一计算步骤。→ 探究 3：错题整理，归类小数点、补 0、个位商 0 三类易错点。 → 1. 整数部分不够除时主动在个位写 0，无格式错误。 2. 能完整归纳除数是整数的小数除法通用计算方法。 3. 混合题型计算正确率达标，验算步骤完整。
3.3《除数是整数的小数除法(3)》 新授课 1. 结合 400÷75 例题，理解小数末尾添 0 大小不变，余数后补 0 继续除。 2. 掌握除到被除数末尾有余数的完整竖式步骤，规避漏补 0 错误。 3. 整合例 1、例 2 题型，对比梳理两类除数整数除法计算要点。 探究 1：例题 400÷75 竖式演算，发现末尾余数，讨论补 0 的数学依据。 → 探究 2：错例辨析：对比 “不补 0 停止计算” 与规范竖式的区别。 → 探究 3：分层笔算训练，完整口述余数补 0 的计算流程。→ 1. 理解余数补 0 算理，计算时主动添 0 继续除，无遗漏。 2. 竖式步骤完整，计算结果准确，能区分例 1、例 2 题型差异。 3. 能有条理说明：有余数时可添 0 继续平均分。
3.4《一个数除以小数(1)》 新授课 1. 依托商不变规律，理解 7.65÷0.85 转化为整数除法的逻辑。 2. 掌握被除数小数位数≥除数时，同步移动小数点的方法。 3. 梳理 “一看、二移、三算” 基础转化步骤，规范竖式。 探究 1：编中国结例题 7.65÷0.85，同时扩大 100 倍转化为整数除法 765÷85。 → 探究 2：提炼转化三步法，配套同类型基础笔算巩固。 → 探究 3：小组口述转化依据，辨析不移小数点的错误。 → 1. 准确说出商不变规律是转化依据，小数点同步移动。 2. 基础题型竖式书写标准，计算结果准确。 3. 能清晰口述小数转整数除法的完整步骤。
3.5《一个数除以小数(2)》 新授课 1. 结合例题 12.6÷0.28，发现除数小数位数多于被除数，理解被除数末尾补 0 的必要性。 2. 掌握被除数位数不足时末尾补 0、同步扩倍的竖式方法。 3. 整合例 4，归纳一个数除以小数完整通用计算法则。 探究 1：出示 12.6÷0.28，对比除数、被除数小数位数，发现被除数位数不足。 → 探究 2：依据商不变性质，探究被除数末尾补 0，同步扩大 100 倍变为 1260÷28。 → 探究 3：对比例 4、例 5 异同，总结完整计算法则，错例会诊漏补 0 题型。 → 1. 能准确判断被除数位数不足，主动在末尾补 0，同步移动小数点。 2. 竖式无漏 0、小数点错位问题，计算结果准确。 3. 能完整总结所有除数是小数题型的统一计算方法。
3.6《小数除法解决实际问题》 新授课 1. 结合 32÷2.7，掌握四舍五入法截取商近似数，计算多除一位再取舍，规范使用≈。 2. 区分进一法、去尾法适用场景，对比香油分装、丝带包装两道应用题。 3. 能根据生活情境自主选择取值策略，规范分步列式、完整作答。 探究 1：32÷2.7，学习四舍五入求商近似值。 → 探究 2：红豆分装 32÷2.7（进一法）、丝带礼盒 25÷1.5（去尾法），线段图梳理数量关系。 → 探究 3：列表对比三种取值方法适用场景，拓展同类变式应用题。 → 1. 求近似数主动多除一位，正确使用约等号，保留小数位数准确。 2. 能区分进一法、去尾法、四舍五入，清晰说明取值理由。 3. 应用题列式完整，答句贴合生活实际，解题思路表述清晰。
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《除数是整数的小数除法(2)》教学设计
学科 数学 年级 五年级 课型 新授课 单元 第三单元
课题名称 除数是整数的小数除法(2) 课时 第2课时
课前思考 学情诊断分析：学生上节课已掌握被除数整数部分够除、商大于 1 的小数除法，牢记 “商的小数点与被除数对齐”；理解小数计数单位、单位转化、竖式基础。本节课首次接触被除数整数部分＜除数、商小于 1的题型，核心易错点：①忽略个位写 0 占位，直接从十分位写商；②写完 0 忘记立刻点小数点，数位错位；③不理解 “0 占位” 的计数单位算理，只会机械记步骤；对比新旧题型、整合完整小数除法法则的归纳推理能力不足，容易混淆三类除数是整数的小数除法。
教材分析：本课为人教版五年级上册第三单元例 2（整数部分不够商 1），承接例 1（整数够除），是除数是整数小数除法三类基础题型的关键一课；依托 “晨跑平均分路程” 生活情境，借助 0.1 计数单位模型理解 “整数部分不足 1 个一，转化几十个十分之一再平均分”，完善小数除法完整计算法则，为后续除数是小数的除法、小数综合应用题奠基。 教学材料选择：多媒体课件、小数计数方格图、课堂探究单、竖式错题辨析卡、分层练习纸、板书竖式模板、口算习题卡。
核心素养目标： 1. 运算能力：理解整数部分不够商 1 时个位商 0 占位的算理，规范完整竖式书写，整合三类除数是整数小数除法通用法则，会用乘法验算，规避漏写 0、小数点错位等典型错误，计算准确规范。 2. 推理意识：对比例 1 与本课算式，自主发现 “整数部分不够商 1” 的特征；通过计数单位说理推导 “个位写 0、点小数点再除”，归纳完整计算步骤，体会新旧除法运算一致性，发展对比、归纳推理。 3. 数感：借助 5.6=56 个 0.1 等计数单位拆分，直观感知 “被除数整数部分小于除数，商小于 1”，建立小数大小与除法结果的对应感知。 4. 应用意识：能运用整数部分不够商 1 的小数除法解决行程、单价、平均分等生活实际问题，养成计算后验算自查习惯。 教学重点：掌握整数部分不够商 1 的小数除法竖式计算方法，牢记 “个位商 0 占位，商的小数点与被除数对齐”。 教学难点：理解整数部分不够商 1 必须写 0 占位的底层算理，明白 0 的数位占位价值；整合所有除数是整数的小数除法通用计算法则。
板块设计 环节目标 学习材料 关键问题 时间 分配
复习导入： 回顾上节课除数是整数的小数除法法则，制造新旧题型认知冲突，铺垫计数单位转化旧知。 课件、口算卡、例 1 竖式复习题 5.6÷7 和上节课 22.4÷4 竖式有什么不一样？5 个一除以 7 够分 1 个一吗？ 5分钟
新知探究： 自主探究 5.6÷7 计算方法，借助计数单位理解个位商 0 的算理，规范竖式书写，学会乘法验算。 探究学习单、竖式板书模板 整数部分 5＜7，不够商 1 该怎么处理？竖式个位为什么必须写 0？56 代表多少个 0.1？怎样验算结果是否正确？ 20分钟
变式深究： 对比三类除数是整数的小数除法（够除、末尾补 0、整数不够商 1），区分不同题型竖式要点，辨析漏写 0、不点小数点典型错题。 变式对比习题、错例板书卡 三种小数除法竖式相同点和不同点分别是什么？计算时最容易漏掉哪一步？ 5分钟
巩固与运用： 分层梯度练习，基础竖式 + 填空说理 + 生活应用题，强化 0 占位、小数点对齐规则，训练验算习惯。 教材做一做、分层练习单、改错卡 计算商小于 1 的小数除法，第一步要先判断什么？如何用乘法检验计算对错？ 5分钟
总结与评价： 梳理完整除数是整数小数除法三步通用法则，总结记忆口诀，课堂互评纠错，梳理知识框架。 思维导图板书、课堂自评表 除数是整数的小数除法完整计算流程是什么？0 占位、小数点对齐、末尾补 0 分别适用什么情况？ 5分钟
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、复习导入 1. 口算旧知填空： ①4.8 里面有（）个 0.1；②0.72 是（）个 0.01 2. 情境导入：王鹏每周计划跑 22.4km，一周 7 天，平均每天跑多少千米？引导列式 22.4÷7。 3. 回顾小数除以整数的计算法则。
1.独立完成填空题。 2. 提取题目路程、时间信息，依据 “总路程 ÷ 天数 = 每天路程” 列出 22.4÷7。 3. 清楚表述小数除以整数的计算方法。 联结上节课小数除法、小数计数单位旧知，通过对比制造认知冲突，明确本节课学习重难点，为算理探究铺垫基础。
二、新知探究 1.抛出核心探究任务：尝试竖式计算 5.6÷7，思考整数 5 除以 7 不够商 1，该如何解决，鼓励画图、单位转化、竖式多种方法。巡视收集学生两种典型错误：①直接在十分位写 8，个位空着不写 0；②算出 8 后忘记点小数点。 2. 分步讲清算理： ①计数单位说理：5.6=5 个一 + 6 个 0.1，5 个一平均分 7 份，每份分不到 1 个一，个位必须写 0 占位； ②0 写完立刻对齐点小数点，把 5 个一转化 50 个 0.1，加 6 个 0.1，合计 56 个 0.1； ③56÷7=8，8 表示 8 个 0.1，写在商的十分位，板书规范竖式：5.6÷7=0.8。 板演完整竖式。 4. 验算教学：提问如何验证 0.8 是否正确，引导用乘法验算：0.8×7=5.6，和被除数相等，计算正确。 5. 同桌互动：互出 1 道整数部分不够商 1 的小数除法算式，互相竖式计算，并口述每一步计数单位含义。 1. 独立尝试竖式计算，小组交流遇到的困难，展示自己的算法与错误写法。 2. 跟随教师用方格图拆分 5.6，理解 “5 个一不够分，个位写 0 占位” 的意义，模仿标准竖式书写，标注 0、小数点、56 个 0.1。 3. 自主完成乘法验算，理解乘除法互逆验算逻辑。 4. 同桌互出题演算，完整口述竖式每一步代表的计数单位，互相纠错。 以自主探究为核心，依托小数计数单位突破难点 “0 占位算理”；规范竖式书写，渗透转化思想；通过互说算理、验算环节落实运算能力，解决学生漏写 0、漏点小数点的高频错误。
三、变式深究 1.出示三道对比竖式：22÷4、22.4÷4、5.6÷7，小组讨论三类除数是整数小数除法的相同、不同点。 2.师生共同小结三类题型通用规则：①按整数除法从高位除；②整数部分不够商 1，个位写0占位，点小数点；③末尾有余数补0继续除；④商的小数点永远与被除数对齐。 1. 小组观察三道竖式，记录三类题型区别：整数够除、末尾有余数、整数不够商 1。 2.齐读整合后的完整计算法则，在练习本标注易错提醒。 脱离直观模型，抽象整合完整小数除法计算体系；区分不同题型竖式差异，为综合计算扫清障碍，发展归纳推理意识。
四、巩固与运用 1.计算下面各题。 (1)6.8÷5 0.54÷6 6.3÷15 3.45÷15 (2)12÷16 2÷25 1.26÷28 0.416÷32 《新编童话集》一套共4本，总价99.8元。平均每本多少钱？ 3. 下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？
4.计算下面各题并用乘法验算。 1.35÷27 0.646÷19
5. 爸爸给舅舅打长途电话一共花了8.4元。他们共通话12分钟，平均每分钟付费多少钱？ 小鹏和爸爸、妈妈去动植物园游玩，买门票共用去108.5元，已知一张成人票与三张儿童票的票价相等，一张成人票多少元？ 分层完成习题，工整书写竖式，每道题主动用乘法验算。 完成竖式填空，口头完整说清算理。 独立分析应用题数量关系，列式计算并写答句。 集体订正错题，分享自己规避漏写 0 的小技巧。 分层习题适配学困生、中等生、优等生；填空说理巩固计数单位算理；生活应用题落实应用意识；验算训练培养严谨计算习惯，强化本节课核心知识点。
五、总结与评价 1. 分层引导回顾：学困生说竖式第一步怎么做；中等生说整数不够商 1 的处理方法；优等生整合三类小数除法完整计算步骤。 2. 师生梳理思维导图，记忆口诀：整数不够先写 0，对齐点上小数点，末尾有余补 0 除，商点对齐被除数，算完乘法来验算。 3. 课堂评价：对竖式书写规范、能完整说算理、主动验算纠错的学生进行表扬，组织同桌互评练习。 1. 分层发言回顾本节课知识点，互相提醒 “个位写 0” 核心易错点。 2. 齐读计算口诀，整理课堂笔记，标注 0 占位、小数点对齐核心要点。 3. 填写课堂自评表，反思自己计算时容易出错的地方。 系统完善除数是整数小数除法知识框架，口诀简化记忆；多元课堂评价激励学生，培养自查反思、严谨计算的数学学习习惯。
板书设计
作业设计 课前预设作业： 填空：0.42 里面有（）个 0.01； 78 个 0.1 是（）。 2.竖式计算 28÷16，口述 “末尾有余数补 0 继续除” 的方法。 3.预习思考：4.5 元平均分给 9 人，每人分到多少钱？尝试列竖式，思考个位如何处理。 课后跟进作业（提升题+拓展题）： 能力提升： 判断对错并订正： ①5.6÷7=8（ ）改正： ②0.72÷8，个位不用写 0，直接商 9（ ）改正： 2.竖式计算并验算：4.8÷6、0.72÷9、1.26÷7、3.6÷12 3.生活题：8 个苹果共重 5.6 千克，平均每个苹果重多少千克？ 拓展迁移： 实践题：记录一件低于 10 元的小商品总价，平均分给 6 个人，写出完整竖式并验算。 思维拓展：一个一位小数除以 8，商小于 1，这个被除数可能是哪些数？举 2 个例子竖式计算验证。
教学反思 1. 预设与课堂实际差距及处理：课前预设学生能迁移上节课小数点对齐规则，但课堂大量学生直接省略个位的 0，直接在十分位写商；部分学生不理解 “0 占位” 作用，认为 0 可以不写。课堂临时增设 “有无 0 竖式结果对比” 板书（5.6÷7 不写 0 得 8，写 0 得 0.8，相差 10 倍），增加 “说 0 的作用” 小组辩论，每道竖式强制先写 0 再点小数点，放慢练习节奏，及时纠正数位认知误区。 2.课堂分层与学性：采用自主探究 + 小组合作模式，全员竖式演算；基础口算、简单竖式提问学困生；算理解释、拓展思考题交由优等生展示；每位学生上台板演、分享错例，兼顾不同运算水平学生发展。 3.现存短板与改进方向：少数学生脱离方格计数直观模型后，无法自主解释 “56 个 0.1” 的由来，机械记 “写 0” 步骤，遇到两位小数如 0.54÷6 容易混淆计数单位。后续课时配套小数方格随堂练习，增加 “竖式标注计数单位” 专项小练习；设计 “找漏 0 闯关习题”，持续数形结合强化算理，减少机械计算失误。
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